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本文对数学分析中的无穷与集合论中的无穷比较如下:
1)在研究的对象上的区别
数学分析中的无穷并未限定于具体的研究对象,所以可以研究任意无限现象,
集合论中的无穷研究以无限集(即集合中元素数目不是有限的集合)中元素数目为对象。
由于数学分析中的无穷具有普遍性,当然也可用来研究无限集中的元素数目。
2)研究方法的区别
数学分析是通过极限理论对无限进行研究的。集合论是通过一一对应来对无限进行研究的。一一对应原先只用于有限集合,但康托将其推广到无限集合。其推广的可靠性并没有得到过严格的证明,反而产生了诸如“整体等于部分”等矛盾。
这个矛盾是客观存在的:根据真子集的定义,任何集合的元素数目必定是多于其真子集的元素的,即整体永远大于部分,但康托却得出了无限集合与其真子集等势的结论,并因此认为无限集合的“整体等于部分”。
客观存在的矛盾并不会因为主观上的不承认(比如说,认为“一点矛盾也没有”)就会自动消失。
3)研究结果的可靠性的比较
数学分析在工业革命、潜艇入海、卫星上天等大量的人类活动中被广泛应用,从未遇到过可以证明其错误的实践活动,因此其结论具有高度的可靠性。
集合论的结论必须与数学分析的结论一致,才能证明自己的可靠性。
以下通过分析一个最简单的例子来比较两者的区别。
当自然数n趋于无限时,无穷大x=n+1与y=n是否相等?
集合论用无限旅馆悖论“证明”了两者完全相等(略)。但数学分析却证明了两者不完全相等:
证明1:x-y=limn→∞ [(n+1)- (n)]=limn→∞ (n+1- n)=limn→∞ (1)=1,即x不等于y。证毕
要注意的是,这是一个∞-∞型不定式,如果无法直接求解,可将其作一些简单的转化,使其变成 0/0 型不定式或∞/∞型不定式,然后用洛必达法则求解。但在这里由于可以直接求解,没有必要多此一举。
证明2:x/y=limn→∞[(n+1)/(n)]→1, 即n→∞时,x→y(x趋于但不等于y) 证毕
这里要注意的是,数学分析只是讨论了极限是否存在,以及如果存在的话该如何求极限的问题,并不研究极限是否能够达到。在实际情况中,极限可能达到也可能达不到。
例如,在证明1中,由于n被消去,所以结果x-y=1实际上与n无关,因此无论n为多少,证明1的结果始终成立,即极限不是渐进式的,因此是可以达到的。
证明2中,在n趋于无限的过程中,只能渐进式地趋于极限1 但达不到1。这一点,只要以n为横坐标,以(n+1)/(n)为纵坐标,画一张图就可以直观地看到。当然,更严格的是直接用极限的ε-N 定义:
对任意ε>0,n>N=1/ε 时|(n+1)/n-1|<ε,显然,这里的ε虽然可以任意小,但不可能等于零(否则会导致分母为零这一与初等数学矛盾的结果,而在严格的科学中,任何矛盾都是绝对不允许存在的),所以极限1只能接近但不可能达到。
因此,在证明2中,x只能趋近于y但不等于y。换言之,证明1,2都表明认为x=y是错的。
在实际问题中,如果只要求最后的近似结果,当然可以认为x近似地等于y。但在推理的长链上,有时候会出现失之分豪、差之千里的情形,因此除非有十分充足的理由,一般不能在推理中将其看作是相等的。
这里笔者有一个建议,对于可达极限,可以用lim…=来表示极限,对于不可达极限,应该用lim…→来表示极限。这样不容易混淆。本文的证明1、2就是这样表示的。
很多问题都是混淆了等于和趋于造成的,有必要分开来,当然这样一来要研究的东西也多了一些。
数学是严格、精确的,正是这种严格性和精确性,才能保证数学的可靠性。
至于集合论的其他结果,与数学分析的差异还要大得多,这里就不一一讨论了。
由此可见,集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突,其可靠性是存疑的。
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