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调和以及调和平均(附:惯性和摩擦的影响) 精选

已有 4136 次阅读 2019-3-8 16:01 |个人分类:随笔|系统分类:教学心得| 调和平均, 弹簧, 渗流

昨晚睡前看到一个教学视频“ 3+1 = 3 ”:细线绕过轴承,两侧分别悬挂1个和3个砝码;其无摩擦运动时轴承的受力正好是3个砝码的重量。力学分析没有难度。

 

A 之倒数等于 B C 倒数之和,则称A B C之调和,记为A = B?C 。调和满足交换律和结合律,可以定义数乘,等等。

若干电阻并联,总的等效电阻就是他们的调和。如果考虑支路通过电流的平均值,那么定义平均电阻就是总电阻与支路数目的乘积,即电阻的调和平均值。顺便说一句,电流在各支路的分配正好使总的能量耗费最低——调和意味着优化。

如果船来回两地的速度为V1V2 ,则速度V = V1?V2就是两地距离L 与总用时T的比值;若要评价单程的平均用时,则可采用调和平均值 2V

两个刚度为K1K2的弹簧串联时,总的刚度就是两者之调和K = K1?K2;土层垂直渗流时,总的渗透能力也是各层之调和,渗透能力随层数增加而降低。 

n个正数bj由小到大排列,算术之和总是增大,其平均值肯定大于bn /n,即最大值控制了系统的下限;而调和总是减小,调和平均肯定小于nb1,即最小值控制了系统的上限

对于前述串联弹簧和垂直渗流,要提高总体的刚度或渗透性能,关键是改善系统中性能较低者;反之亦然,如大坝之防渗,只要有一层渗透系数较低即可,小浪底的堆石大坝采用黏土心墙您的系统中各个组成如何影响总体性能呢,又该用何种平均。

附:惯性和摩擦对一个失重试验的影响

试验中加速度约为0.5g,因而砝码在0.3 秒时间的运动距离约为 22 厘米。这实在有些短。如果将天平斜放到桌角使其臂端伸出桌面,将砝码可运动的距离增加到 1 米以上就好了。不过,若真是这样,天平或许就不再能平衡,这个失重的演示试验就不能成立啦。需要知道,轴承旋转部分具有质量,对运动以及细线受力也会产生影响。 

rot.jpg

m2 = 3m而 m =0.2m1,天平右端的实际受力将达到 3.05m1g,对天平而言并不能忽略呢。只是天平臂的转动惯量较大,依稀可见的向右缓慢倾斜被快速下降的砝码所掩盖。

使用固定的圆柱支承细线可以消除上述惯性的影响,但圆柱摩擦可能使试验完全失去可靠性。绕过圆柱半周的细线两侧作用力满足 F2 = kFm2 /m时,

砝码运动的加速度为  g(m2 km1)/(m2+ km1),

支承细线圆柱受力为  F1+F2= 2(1+ k)m1m2g/(m2+ km1)。

在阻力系数  k=2.5 时 上式为 3.82m1g。天平更不能平衡。

塑料绳绕过不锈钢茶杯,两侧茶杯数为25时正好进入临界状态:可保持静止而稍作扰动则滑动。如果绕过圆柱一周半,因2.5*2.5*2.5=15.625,两侧重量的比值达到15也可保持静止啊。

A.jpg

圆柱的摩擦使绳子中张力增大,而张力又引起绳子对圆柱的压力增加即摩擦力的增大:正反馈引起指数形式的增加。下面是课件中的一页上课时当然是设计动画而逐个显示加以解说。

 Euler fri.jpg

料绳绕过不锈钢茶杯半周的阻力系数 k2.5,相应的静摩擦因子μ略大于0.29;若是细麻绳与木杆,μ或许有0.8,则绕圆柱时半周阻力系数为12.3,而一周半则可达到1880 以上呢



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