昨晚睡前看到一个教学视频“ 3+1 = 3 ”：细线绕过轴承，两侧分别悬挂1个和3个砝码；其无摩擦运动时轴承的受力正好是3个砝码的重量。力学分析没有难度。

若 A 之倒数等于 B 与C 倒数之和，则称A为 B 与C之调和，记为A = B?C 。调和满足交换律和结合律，可以定义数乘，等等。

若干电阻并联，总的等效电阻就是他们的调和。如果考虑支路通过电流的平均值，那么定义平均电阻就是总电阻与支路数目的乘积，即电阻的调和平均值。顺便说一句，电流在各支路的分配正好使总的能量耗费最低——调和意味着优化。

如果船来回两地的速度为V₁和V₂ ，则速度V = V₁?V₂就是两地距离L 与总用时T的比值；若要评价单程的平均用时，则可采用调和平均值 2V。

两个刚度为K₁和K₂的弹簧串联时，总的刚度就是两者之调和K = K₁?K₂；土层垂直渗流时，总的渗透能力也是各层之调和，渗透能力随层数增加而降低。 

n个正数b_j由小到大排列，算术之和总是增大，其平均值肯定大于b_n /n，即最大值控制了系统的下限；而调和总是减小，调和平均肯定小于nb₁，即最小值控制了系统的上限。

对于前述串联弹簧和垂直渗流，要提高总体的刚度或渗透性能，关键是改善系统中性能较低者；反之亦然，如大坝之防渗，只要有一层渗透系数较低即可，小浪底的堆石大坝采用黏土心墙。您的系统中各个组成如何影响总体性能呢，又该用何种平均。

附：惯性和摩擦对一个失重试验的影响

试验中加速度约为0.5g，因而砝码在0.3 秒时间的运动距离约为 22 厘米。这实在有些短。如果将天平斜放到桌角使其臂端伸出桌面，将砝码可运动的距离增加到 1 米以上就好了。不过，若真是这样，天平或许就不再能平衡,这个失重的演示试验就不能成立啦。需要知道,轴承旋转部分具有质量，对运动以及细线受力也会产生影响。 

若m₂ = 3m₁ 而 m =0.2m₁，天平右端的实际受力将达到 3.05m₁g，对天平而言并不能忽略呢。只是天平臂的转动惯量较大，其依稀可见的向右缓慢倾斜被快速下降的砝码所掩盖。

使用固定的圆柱支承细线可以消除上述惯性的影响,但圆柱摩擦可能使试验完全失去可靠性。绕过圆柱半周的细线两侧作用力满足 F₂ = kF₁ 。k ≤m₂ /m₁ 时，

砝码运动的加速度为  a = g(m₂– km₁)/(m₂+ km₁)，

支承细线圆柱受力为  F₁+F₂= 2(1+ k)m₁m₂g/(m₂+ km₁)。

在阻力系数  k=2.5 时 上式为 3.82m₁g。天平更不能平衡。

塑料绳绕过不锈钢茶杯，两侧茶杯数为2和5时正好进入临界状态：可保持静止而稍作扰动则滑动。如果绕过圆柱一周半，因2.5*2.5*2.5=15.625，两侧重量的比值达到15也可保持静止啊。

圆柱的摩擦使绳子中张力增大，而张力又引起绳子对圆柱的压力增加即摩擦力的增大：正反馈引起指数形式的增加。下面是课件中的一页，上课时当然是设计动画而逐个显示加以解说。

塑料绳绕过不锈钢茶杯半周的阻力系数 k为2.5，相应的静摩擦因子μ略大于0.29；若是细麻绳与木杆，μ或许有0.8，则绕圆柱时半周阻力系数为12.3，而一周半则可达到1880 以上呢。