尤明庆的博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/youmingqing 何苦来哉?心不忍耳!

博文

放大和缩小的计算技巧:以确定圆周率为例 精选

已有 7718 次阅读 2017-9-28 10:10 |个人分类:教学|系统分类:教学心得|关键词:手工计算,精度,圆周率

手工计算时代需要基于数据精度考虑具体的计算方式,放大、缩小和求平均,就是技巧之一。

(1)  Basel问题

自然数平方的倒数之和是收敛的,欧拉得到其极限为π2/6

张江敏疯狂的绝技——级数加速收敛的艺术http://blog.sciencenet.cn/blog-100379-1075769.html

级数平方衰减,截断到n项的和Tn,则误差在1/n量级。不过,若想结果精确到小数点后三位,并不需要计算到1000项——对没有计算的余项可进行估算呢。 

若圆周率误差为δ(π+δ)2/6=π2/6+πδ/3+δ2/6,因而级数的误差和与π的误差δ相当。

10项的和T10确定的π 为3.049362,修正1/(10+1) 之后,则π 3.137525

修正1/2(10+1)^2=0.004132后, 得到π=3.141473

与真值3.141593,仅相差 0.000120


(2) 割圆术

半径为1的圆,内接正6边形边长b6= 1

n边形边长bnb2n= sqrt(2 –sqrt(4 – bn))

n=6×2^k边形边长A= sqrt(2 – Bk)式中

Bk =sqrt(2+sqrt(2+…+ sqrt(2+sqrt3) …)), k–1次开方

2n边形面积S2nnbn/2,极限是圆周率π

这就是魏人刘徽公元263年创立的割圆术,其以6 × 2^4= 96边形的边长确定圆周率3.14

通常认为,南朝祖冲之(429~500年)得到圆内接6× 2^11= 12288边形的边长,确定圆周率精确至小数点后7位。这是非常困难的:为了保证π的精度,B11=1.9999……需要16~17位有效数字。祖冲之所著《缀术》失传,具体计算方法难以知道;但他肯定知道有效数字随着边数的增加不断减少,进而研究提高精度的途径。

    刘徽割圆4次至96边形的结果可以写为

S192= S12+(S24S12) +(S48S24) +(S96S48) +(S192S96)

S12=3;而第一次割圆增加量即S24S12 =0.1058285412第二次增加量减少,只是第一次的0.253240倍,第三次、四次增加量是其前次增加量的0.250805和0.250201倍。

割圆引起的面积增加比值D逐次减小而趋于 0.25即1/4继续割圆的面积增加,若以 1/4 的比例计算,即弓形面积为(S192S96)/3是缩小的估算;而以D96的比例计算,即弓形面积为(S192S96)* D96/(1–D96)是放大的估算。于是有3.14159253<π<3.14159313以上数据是Excel 计算的,所列数字都是有效的。

如果以12位数字计算到192边形(k=5),即可得到祖率3.1415926<π<3.1415927即比刘徽多割一次即可。我想,当年祖冲之就是这样做的。

又,若注意到割圆引起的面积增加比值与1/4 的差异也以1/4的比率减小,因而圆周率会接近于下限,即对上下限求平均并不能提高精度;不过,若依据D96估计D192 =0.250050 进而计算(S384S192),即可得到祖率而不必具体计算192边形的边长。

 1/8=0.125,1/6=0.166667,而1/7=0.142857…,那么31/7 22/7就是圆周率的偏大估计。1/7 修改为= 1/(7+1/nn/(7n+1),其在1/8~1/7 之间;选择合适的n可以提高精度。计算5次即可得到祖率355/113

n=10=0.1408451; n=20=0.1418440

n=15=0.1415094; n17=0.1416667

最后可确定n=16=0.1415929

(3)  此情可待成追忆

1994年初搬入两室一厅的新居,有了独立的书房。过年无处可去而翻看旧书,觉得祖冲之似乎不会割圆11次计算圆周率;于是,用十位数字的计算器Casio fx-4500p略作演算,写出“割圆术确定圆周率方法的改进——祖冲之确定圆周率过程之猜测”。敝帚自珍,多次投稿后发表于《安阳师范学院学报》的2003年第2期;也曾在博客介绍http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-776036.html

书上铅笔所写的结果已经不清楚啦。24年也就要过去了。

照片中小册子“夏道行. πe1964年第1版,但是1978年重印的,36千字,定价 0.15元;“张弛.不等式”,58千字,定价 0.22元。也就是二、三两猪肉的钱——其时含骨统肉一斤 0.73元。

1978年暑假后坐船6小时到县城上高中,自己手中也就有了一点零花钱,时常去学校对门的新华书店看看,偶尔也买本书。我觉得读书比做题要好,只是那时候书籍很少啊。

最后给出当年发现的一个结果,只要记得 sqrt(5)=2.236 就行啊




http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-1078100.html

上一篇:潮平两岸阔,风正一帆悬
下一篇:一元函数积分法的应用——谈教材中的例题选取
收藏 分享 举报

26 冯大诚 朱晓刚 刘炜 杨正瓴 鲍海飞 史晓雷 应行仁 姬扬 李颖业 张江敏 李毅伟 文克玲 徐令予 苏德辰 臧筑华 张忆文 魏焱明 黄永义 蒋迅 杨波 王飞 刘钢 张晓良 张云 陈绥阳 罗强

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (12 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2017-11-24 22:48

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007-2017 中国科学报社

返回顶部