今天是3月14日。到晚上8点钟，也没有见到博文讨论圆周率、纪念祖冲之。不得已，将自己的一篇旧作略作精简贴出来。若有欠妥，需要拍砖，还望高高举起，轻轻放下。 

1   刘徽的割圆术

半径为1的圆，面积为π，周长为2π。圆内接正n边形边长b_n，面积S_n，满足

b_2n= sqrt(2 –sqrt(4 – b_n² ))                                     (1) 

S_2n= nb_n/2                                                               (2)

S_2n< π < S_2n+ (S_2n – S_n)                                          (3)

利用圆面积而不是周长来表示圆周率，祖冲之已经知道。

估计剩余弓形面积或许是实际计算时的本能反应。

AB弧对应弓形面积小于ΔABD, 而略大于 1/3 的ΔABD面积.

正6边形边长b₆= 1；迭代式（1）可以得到6×2^k边形边长A_k

A_k = sqrt(2 – B_k),  式中

B_k =sqrt(2+sqrt(2+…+ sqrt(2+sqrt3) …)) 共k –1 个根号sqrt 

    三国魏人刘徽(公元263年)利用上式计算至圆内接正96边形边长，再由式(2)、(3)得

                3. 141023 <π< 3. 142704

即π= 3. 14二精确到两位小数。这是从几何方法准确求圆周率的首创。一般认为，南朝祖冲之(429~500年)利用割圆术求得圆内接6 × 2^11= 12288边形的边长，从而确定圆周率至

              3. 1415926<π< 3. 1415927

祖冲之所著《缀术》失传，具体计算方法现在已难以知道。

2   割圆术难以提高 π 的精度

    随着 k增大，B_k 接近于2；在计算位数一定时，2 – B_k 即A_k 的有效位数逐渐减少。以十位数字的计算器Casio fx-4500p计算，在 k = 6和k = 7时，由式(2) , ( 3)得

           3. 141556<π< 3. 141660 和 3. 141580<π< 3. 141603

k = 6 时有六位有效数字，而k= 7时只剩下五位有效数字，因此利用十位数字计算时最多只能得到π = 3. 141 ... ...，四位准确数字。继续增大k不能提高圆周率的精度。在极端情况k= 16时，B_k = 2，A_k = 0。如果直接利用割圆术确定π至小数点后面七位(八位精确数字)，则要得到A_ll=0. 000511326922……，共九位有效数字；计算B_ll = 1. 99999……需要16~17位数字。古代利用算筹进行手工开方计算，这样的工作是非常困难的。谁若不信，对一个10位数开平方至10位数。

3   祖冲之确定圆周率方法之揣测

祖冲之知道刘徽的工作，想来会增大割圆次数提高π的精度。实际计算之后，他必然会发现，π的精度不会超过边长的有效数字，而有效数字随着边数的增加不断减少；进而研究 π 的精度即(S_2n – S_n)的变化情况，以确定割圆次数与计算位数。计算表明，(S_2n – S_n)以接近1/ 4的速度减小。计算至n = 96即k = 4，有

                (S₁₉₂ – S₉₆)= 0. 001681944

               (S₉₆ – S₄₈) = 0. 006721572

两者比值δ₉₆ = 0. 250230749。依据前4个数可以知道，δ_n单调减小趋于 1/4。

边数增加，δ介于1/4~δ_n，可以对尚未计算的弓形面积作出一个估计，得到

S_2n + (S_2n – S_n)/3< π < S_2n + (S_2n – S_n) δ_n/(1–δ_n)

n = 96有3.14159276< π< 3. 14159345，以10位数字计算至96边形, 圆周率有6位准确数字。

祖冲之想来会以计算结果和δ=1/4估算弓形面积为(S_2n – S_n)/3；于是，以12位数字计算到192(k = 5)边形即可得到祖率，即比刘徽多割一次即可。又，这相当于以BO为轴的抛物线替换图中圆弧ABC，其面积阿基米德（287 BC -212 BC）已经知道。

1/8=0.125，1/6=0.166667，而1/7=0.142857…，那么3又1/7 即22/7就是圆周率的偏大估计。将1/7 修改为P = 1/(7+1/n) 即n/(7n+1)，其在1/8~1/7 之间；选择合适的n可以提高精度。计算5次即可得到祖率355/113

n=10，P =0.1408451; n=20，P =0.1418440

n=15，P =0.1415094; n= 17，P =0.1416667

最后可确定n=16，P =0.1415929

4   结 语

祖冲之利用算筹进行开方运算，将圆周率精确至小数点后7位，确实是一件非常困难的工作。但对数学本身的贡献，似乎不能与欧几里得(公元前330一前275年)创立平面几何相比。又，埃及人在公元前225年确定地球半径4000英里，希腊人在公元前130年确定地球距月亮236000英里；两者与现代数据3986英里和240000英里相差无几。对别国的古代文明，我们似乎介绍不够。 

1  夏道行. π和e.上海:上海教育出版社，1964. 10~17

2  弗伦奇A P. 牛顿力学(第二册) .人民教育出版社，1982.75~77 

拙稿完成于 1994年春节；曾多次投稿，最后发表于

尤明庆．割圆术确定圆周率方法的改进——祖冲之确定圆周率过程之猜测. 安阳师范学院学报，2003,(2)：11~12, 14.    因公式输入困难， 博文对数学分析作了省略。