代数学基本定理说：一个n次一元代数方程必有n个根。考虑最简单的情形：x^2+1=0.我们发现在实数的范围内无解。

    为了满足代数学基本定理的要求，人们将数域由一维的实轴扩展至二维的复平面。复平面由以1为单位的实轴和以i(上方程之一根)为单位的虚轴张成。复平面上分布的复数具有两个自由度，在不同情形可取不同表示：

    扩充至复数域后，函数相应由从一个复平面到另一个复平面的映射定义。按此定义之复变函数，相较于原先由实轴间映射所定义的函数，具有更为优美的性质。

    由于复平面扩展的面自由度，复变函数的解析性变成一个非常 non trivial 的性质，需要满足苛刻的条件。然而，若解析条件满足，则回报颇丰，函数之运算和讨论将极为简化。

1.微分学

    考虑复平面上一函数 w=f(z)=u+iv 的微分学，通过要求沿面内所有路径趋向于某一点时具有相同变化率极限，立即可以推导出 Cauchy-Riemann （柯西-黎曼）条件。

该方程是函数在某点解析之必要条件。进一步简单推导可知：

（1）解析函数的实部和虚部是拉普拉斯方程的解，因此均为调和函数。

（2）解析函数的实部和虚部之等值线互垂直，换言之，实部等值线与虚部梯度同向，反之亦然。此性质在渐近积分中的鞍点方法(Saddle Point Method, including Steepest Descent Method and Stationary Phase Method)中大为有用，可以治服积分项振荡的不稳定问题。鞍点法在统计物理中称平均场方法，因此，利用该性质变换积分路线，求算配分函数是一种常用之法。

    易于发现，Cauchy-Riemann 条件等价于函数 w=f(z,z*)=f(z),即函数独立于复变量的共轭。利用此判据，在某些情形，易于判定函数解析性，例如 f(z)=z* 不是解析函数，因为显然函数依赖于z*。

2.积分学

    考虑复平面上函数的积分学。复平面上两点之间的积分值，由于面内连接两点的路径无穷，因此积分值一般具有路径依赖性。若某区域内函数值路径独立，则函数在该区域为解析函数，这是Cauchy定理。

    Cauchy定理可由Cauchy-Riemann条件，结合变面积分为线积分的Green公式直接导出，因此是函数解析性要求的积分版本。

（1）利用Cauchy定理，在解析区域内，人们可以根据需要自由变换积分路线。注意，若两条路径之间变换过程中由函数奇点阻隔，则变换路径前后，积分值有差别，差别由函数在奇点处之留数(residue)给出，此即留数定理（Residue Theorem）。

（2）

此即Cauchy积分：将函数在某点之函数值由围绕该点解析区域内一条封闭路线上的函数取值给出。并且，由Cauchy积分公式可知，不同于实变量定义之函数，复变函数若在某点一次可导，则次次可导。

    Cauchy积分可由 Cauchy 定理通过变换积分路线简单导出，然而其意义非凡。Cauchy积分说：解析函数在某点的取值完全由围绕该点的边界值决定。这一性质深刻，甚至可以联想到 AdS-CFT duality：anti-de Sitter 空间中的引力理论与其边界上定义的共形场论（conformal field theory）之间的对偶性。

    由Cauchy积分可以导出The Argument Principle：

其中，g(z)是解析函数。第一个求和对于所有f(z)的零点，n(C,a)是零点a的多重度。第二个求和对于所有f(z)的极点，n(C,b)是极点b的级数。The argument principle 在涨落诱导相互作用的 Lifshitz theory 中非常有用。