苗兵的博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/bmiao

博文

统计物理短评集-4

已有 1813 次阅读 2024-3-30 23:24 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦

1.

    上世纪90年代涨落定理的发现,推动了研究远离平衡态的随机热力学的快速发展。今天,随机热力学已经渐渐表现出一些“统一描述”的苗头,证明是这几年先后出版的简介随机热力学的书:例如 Peliti and Pigolotti, Shiraishi, Sekimoto.

    不同于由微观守恒动力学出发的统计力学,随机热力学由随机动力学出发研究热力学中缺失的动力学。涨落定理基于时间反演给出了远离平衡态统计物理系统满足的一些一般的特征。

    钱敏先生等于1979年出版了专著《可逆马尔可夫过程》。从这本书中可以看到在随机过程理论/非平衡定态统计力学的研究领域里中国学派曾领先国际物理学界多年。读钱敏先生为该书作的绪言,可以读到许多重要的概念,例如:

(1) 具有极限分布的马氏过程是一类限制很强但在物理中常见的随机过程:趋于定态(不一定是平衡态)的统计物理现象。

(2) 环流分解定理:平稳的马氏链可以分解为细致平衡(时间反演对称)和环流(时间反演反对称)两部分。如果不出现环流,马氏链是可逆的,细致平衡的,所以马氏过程可逆性是细致平衡的数学表达。细致平衡的定态是平衡态。无细致平衡的定态一定出现环流,有正的熵产生率,时间不可逆。

(3) 随机过程可逆性的研究起源于物理中以布朗运动为代表的涨落问题。Einstein 提出了布朗运动的物理模型,数学家 Wiener, Ito 等的研究使得一个数学上严谨的领域(扩散过程与随机微分方程)在上世纪五十年代建立。五十年代 Onsager 同时以高斯模型为工具系统地用随机过程讨论不可逆过程热力学的基础,提出了 Onsager-Machlup 路径积分。

(4) E. Nelson 首次提出了扩散过程可逆性的概念;从微分算子构造可逆扩散过程的问题;马氏过程理论与量子力学的关系;无穷维态空间中的马氏过程与公理化量子场论的构造问题;场论的观点考虑“可逆性”。

2. 在随机热力学中,

非平衡自由能:

(1) 将一个原来处于平衡态的封闭系,其热力学势是熵,与定义了温度的大热浴耦合。系统的平衡被打破,作为一个随机系统将演化到一个新的平衡。

(2) 定义一个非平衡自由能。注意:非平衡自由能不是状态函数。因为其同时依赖于系统的熵,和热浴的温度。

(3) 从非平衡自由能得到新平衡下的自由能可以走两条路:(A) 勒让德变换,优化对偶变量;(B)约束下泛函变分求平衡分布函数。二者均可得到新平衡下的热力学。

(4) 勒让德变换联系的总是平衡态热力学势,因为其涉及到极值化(极大或极小)过程。

(5) 勒让德变换更加准确的叫法是Legendre-Fenchel变换,因为,尤其在函数性质不够良好的情形下,Fenchel用凸分析(Convex Analysis)对这个对偶量之间的变换做了重要的贡献。

动力学:

(1) 利用概率分布演化满足的福克-普朗克方程(连续状态空间)或者主方程(离散状态空间)容易证明有细致平衡的非平衡动力学有一个极小原理,因此定义的非平衡自由能是一个李雅普诺夫势函数,随时间单调递减,在无穷长时间达到平衡态玻尔兹曼分布(即细致平衡下的稳态分布),且非平衡自由能取极小,给出平衡态自由能。

(2) 在轨道上定义了随机熵,随机自由能,随机相对熵(随机Kullbeck-Leibler 散度),这些随机量经过平均,分别给出定义在分布上的非平衡熵,非平衡自由能,相对熵(KL 散度)

3.

(1) 考虑一个给定的状态空间,设状态的发生有一个内秉概率(Prior Probability),通过在状态空间多次抽样的方法计算态发生的归一化频率(Empirical Frequency). 在无穷次抽样后,该抽样频率将收敛至内秉概率,大偏差原理(Large Deviation Principle)说这个收敛在抽样次数很大时由指数函数描述,指数肩膀上是抽样次数与一个大偏差速率函数(Rate Function)之积. 这个速率函数是个凸函数,极小值是零,称为相对熵或KL散度,实际上 (假定内秉概率为常数,即等概率假设后) 就是香农熵(Shannon Entropy)。对该速率函数做Legendre-Fenchel Transform (LFT) 后可以发现,频率函数的对偶量正是哈密尔顿函数,并在经过LFT后可以得到平衡态统计力学的结构。

    现在做压缩原理(Contraction Principle). 考虑宏观可观测量,例如内能,体积等. 这些宏观量对应的微观量是定义在态空间上的随机变量(Random Variable),宏观量是微观量的统计平均值,通过取微观量与归一频率的内积得到。做一个LFT的变分问题:要求宏观量取给定值为条件,在频率空间做一个条件极值问题(Conditional Optimization)(即拉格朗日乘子方法),可以构建一个以宏观量为变量的平衡态热力学势函数,就是该宏观量由随机收敛至期望的大偏差速率函数,它是微观随机变量累积生成函数的LFT, 这样就得到平衡态热力学里的各种热力学势函数,及热力学结构。

(2) 量子场论里,规范变换不变性 -> 规范对称 -> 零质量规范波色子;统计场论里,临界点上的标度不变性 -> 标度对称 -> 零模; 破缺整体连续对称性会导致零质量南部-戈德斯通模(Nambu-Goldstone)(恢复所破缺对称的模)。零模 (Zero Mode) 是一个算子的本征值为零的模,这算子在场论里是对应于(闵氏场论)作用量或(欧氏场论)哈密尔顿量对态变量二阶导数的 Hessian 算子,本征值为零意味着体系沿着态空间上这个方向的运动不需要能量,即曲率为零,即该方向是平坦的,不稳定的,同时也意味着 Hessian 算子是不可逆的,因为零模使得算子的泛函行列式为零。因此零模又意味着不可逆。

    在帕里西-吴咏时 (Parisi-Wu) 的随机量子化(Stochastic Quantization)里,欧氏作用量(运动的势)的规范对称导致零模,导致漂移项(Drift)为零,因此零模运动在随机量子化里是纯粹的布朗扩散运动,同样这是由规范对称带来的。

4.

    变分原理在理论物理中处于中心重要的地位。因为经过变分原理,物理学的不同分枝可做一致处理,正如朗道-栗弗席兹(Landau-Lifshitz)展示的。

    物理中有两个变分原理:

(1) 处理含时演化动力学的最小作用量原理(Minimum Action Principle) 得到运动方程 (Equation of Motion).

(2) 处理稳态极限下的最大熵原理(Maximum Entropy Principle),得到状态方程 (Equation of State). 没有时间,多出涨落平均给出的温度(涨落耗散定理)。

    这两个变分原理的统一本质上是:如何由系统的(幺正)动力学严格地演化到平衡态,即一个量子系统是如何热化的?目前这是基础物理里具有基本重要性的问题。这一问题联系到许多大众科普里常提的内容:不可逆性;波函数塌缩;平行宇宙等。

 

5. 不连续平衡态相变的朗道理论:

(1) 定义好状态变量,在状态空间写下描述能量学(Energetics)的有效哈密尔顿量。有效哈密尔顿量包含能量与熵两部分贡献,因此事实上是一个相应尺度的有效自由能,这里熵贡献来自于一个给定态的微观态简并度。

(2) 朗道理论是一个平均场理论,体现在两个重要近似:(a)自由能近似为有效哈密尔顿量;(b)序参量近似为有效哈密尔顿量的极小点态取值。这样才有了遍历性破缺,有了相变。

(3) 全局极小态是平衡态。相变点由两个极小点态构型的有效哈密尔顿量相等定出。

(4) 给定一个平衡态,考虑其不连续相变,还有一个重要的点:Spinodal, 这是一个联系相变动力学(Phase Transition Dynamics)的概念,由在所考虑平衡态的线性失稳(Linear Instability)定义,即自由能或有效哈密尔顿量对态的二阶导数在该平衡态处取值为零的点,几何上,就是自由能-态曲线上该平衡点处曲率为零的点,Hessian矩阵的行列式为零的点。

    在相变点以下,系统演化到同一个自由能全局最小的平衡态,然而不连续相变的动力学不同:在相变点和 Spinodal 点之间定义了亚稳区,此时考虑的极小点线性稳定(正曲率),然而已不是自由能的全局最小点,该区域的相变动力学是Nucleation and Growth; Spinodal点以后,极小点线性不稳,动力学是 Spinodal decomposition. Spinodal点处,曲率为零,松弛时间发散,有类似动力学临界慢化的现象,动力学具有标度不变性。在连续相变中,相变点与Spinodal点重合,定义了临界点。



https://blog.sciencenet.cn/blog-2438753-1427608.html

上一篇:非平衡统计: 李雅普诺夫方程
下一篇:高斯分布
收藏 IP: 61.178.84.*| 热度|

2 王安良 刘全慧

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

1/0 | 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤濠€閬嶅焵椤掑倹鍤€閻庢凹鍙冨畷宕囧鐎c劋姹楅梺鍦劋閸ㄥ綊宕愰悙宸富闁靛牆妫楃粭鎺撱亜閿斿灝宓嗙€殿喗鐓¢、鏃堝醇閻斿弶瀚奸梻浣告啞缁诲倻鈧凹鍣i崺銏″緞閹邦厾鍘卞┑鈽嗗灠閻忔繃绂嶉崷顓犵<妞ゆ棁鍋愭晶锔锯偓瑙勬礀閵堟悂骞冮姀銏㈢煓闁割煈鍠曠槐鐔封攽閻樻剚鍟忛柛鐘愁殜閵嗗啴宕ㄩ鍥ㄧ☉铻栭柛娑卞幘椤︻噣姊洪幐搴㈢闁稿﹤缍婇幃锟犲Ψ閿斿墽鐦堥梻鍌氱墛缁嬫帡鏁嶅鍡曠箚闁圭粯甯楅幉鍝ョ磼鏉堛劌娴柟顔规櫊閹粌螣閻撳孩閿繝鐢靛剳缁茶棄煤閵堝鏅濇い蹇撴噸缁诲棝鏌涢锝嗙婵$偘绮欓弻娑㈠箛閵婏附鐝曢梺鍝勬閸楀啿顫忕紒妯诲闁告稑锕ラ崕鎾绘⒑瑜版帗鏁遍柛銊ユ贡濡叉劙鎮欑€涙ê顎撻梺鍛婃尭瀵墎绱炴惔銊︹拺闁诡垎鍛啈濡炪値鍋勯ˇ顖炴偩闁垮绶為柟閭﹀幘閸橆亝绻濋悽闈涗粶闁诲繑绻堝畷婵嗏堪閸喓鍘藉┑鐘绘涧鐎氼剟鎮橀崣澶嬪弿濠电姴鍟妵婵嬫煙椤旀儳鍘寸€殿喖鐖奸獮鎰償椤斿吋鏆忛梻鍌氬€烽懗鍫曞箠閹捐鍚归柡宥庡幖缁狀垶鏌ㄩ悤鍌涘:0 | 濠电姷鏁告慨鐑藉极閸涘﹥鍙忛柣鎴f閺嬩線鏌涘☉姗堟敾闁告瑥绻橀弻锝夊箣濠垫劖缍楅梺閫炲苯澧柛濠傛健楠炴劖绻濋崘顏嗗骄闂佸啿鎼鍥╃矓椤旈敮鍋撶憴鍕8闁告梹鍨甸锝夊醇閺囩偟顓洪梺缁樼懃閹虫劙鐛姀銈嗏拻闁稿本鐟︾粊鐗堛亜椤愩埄妲搁柣锝呭槻铻i悶娑掑墲閻忓啫鈹戦悙鏉戠仸缁炬澘绉归、鏇熺鐎n偆鍘梺鍓插亝缁诲啴宕幒妤佺厸闁告劑鍔庢晶娑㈡煛閸涱喚鍙€闁哄本绋戦埥澶愬础閻愯尙顔戞繝鐢靛仜閻楀﹪鎮¢垾鎰佹綎闁惧繐婀遍惌娆愮箾閸℃ê鍔ら柛鎾存緲椤啴濡堕崱妤冧淮濡炪倧绠撳ḿ褔顢氶敐鍡欑瘈婵﹩鍘藉▍婊堟⒑閸涘﹦鈽夐柛濠傤煼瀹曠増鎯旈妸銉у幒闁瑰吋鐣崝宀€绮诲杈ㄥ枑閹兼惌鐓堥弫濠囨煕閺囥劌鐏¢柣鎾寸☉椤法鎹勯悜姗嗘!濠电偛鎳庡Λ娑氭閹烘梹瀚氶柤纰卞墮椤e搫顪冮妶搴′簻缂佺粯锕㈤獮鏍捶椤撶喎鏋傞梺鍛婃处閸嬪棝鏁嶈箛娑欌拻濞撴埃鍋撴繛浣冲嫮浠氶梻浣呵圭€涒晠鎮¢敓鐘茬畺闁汇垻枪椤懘鏌曢崼婵囶棏闁归攱妞藉娲嚒閵堝懏鐎惧┑鐘灪閿氶柍缁樻崌閸╋繝宕ㄩ鎯у箥闂備礁鎲¢崹顖炲磹閺嶎偀鍋撳鐐 | 濠电姷鏁告慨鐑藉极閸涘﹥鍙忛柣鎴f閺嬩線鏌涘☉姗堟敾闁告瑥绻橀弻锝夊箣閿濆棭妫勯梺鍝勵儎缁舵岸寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ゆい顓犲厴瀵鏁愭径濠勭杸濡炪倖甯婇悞锕傚磿閹剧粯鈷戦柟鑲╁仜婵″ジ鏌涙繝鍌涘仴鐎殿喛顕ч埥澶愬閳哄倹娅囬梻浣瑰缁诲倸螞濞戔懞鍥Ψ瑜忕壕钘壝归敐鍛儓鐏忓繘姊洪崨濠庢畷濠电偛锕ら锝嗙節濮橆厼浜滈梺绋跨箰閻ㄧ兘骞忔繝姘厽閹艰揪绲鹃弳鈺呭几椤忓嫧鏀介柍銉ㄥ皺閻瑦鎱ㄦ繝鍐┿仢鐎规洦鍋婂畷鐔碱敆閳ь剙鈻嶉妶鍥╃=濞达絿鐡旈崵娆撴煟濡や焦灏い鏇稻缁绘繂顫濋鈹炬櫊閺屾洘寰勯崼婵堜痪闂佸搫鍊甸崑鎾绘⒒閸屾瑨鍏岀痪顓炵埣瀹曟粌鈹戠€n偅娅旂紓鍌氬€烽悞锕傚礉閺嶎厽鍎庢い鏍ㄥ嚬濞兼牗绻涘顔荤盎鐎瑰憡绻傞埞鎴︽偐閹绘帩鍔夐梺浼欑悼閸忔﹢骞冨Δ鍛濠㈣泛锕f竟鏇㈡⒒娴e摜绉烘俊顐ユ硶缁牊鎷呴搹閫涚瑝闂佸搫绉查崝瀣崲閸℃稒鐓忛柛顐g箓閳ь剙鎲$粋宥嗐偅閸愨斁鎷洪柣搴℃贡婵敻藟婢跺浜滈柨鏃囶嚙閻忥箓鏌涢埞鍨仼妞ゆ挸銈稿畷鍗炍熼懖鈹倝姊绘笟鈧ḿ褑鍣归梺鍛婁緱閸ㄦ壆鏁幒鏃傜=闁稿本鑹鹃埀顒勵棑缁牊绗熼埀顒€鐣烽幇鏉夸紶闁靛/鍛帬闂備礁婀遍搹搴ㄥ窗閹捐纾婚柟瀛樼贩瑜版帒绀傞柛蹇氬亹缁嬪洭姊绘担绋胯埞婵炲樊鍙冨濠氭晲婢跺﹥顥濋梺鍦圭€涒晠宕曢幘缁樺€垫繛鍫濈仢閺嬬喎鈹戦悙璇у伐妞ゎ偄绻掔槐鎺懳熺拠宸偓鎾绘⒑閹呯闁硅櫕鎸剧划顓㈠灳閺傘儲鏂€闂佺粯鍔栬ぐ鍐棯瑜旈弻锝呂旈崘銊愩垽鏌i敐鍥у幋妤犵偛娲鍫曞箰鎼达紕銈跺┑锛勫亼閸婃牠骞愰懡銈囩煓闁瑰鍋熼々鏌ユ煟閹伴潧澧柛娆忕箲娣囧﹪顢涘⿰鍐ㄤ粯婵炲瓨绮撶粻鏍箖濡も偓椤繈鎮欓鈧锟� | 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳婀遍埀顒傛嚀鐎氼參宕崇壕瀣ㄤ汗闁圭儤鍨归崐鐐烘偡濠婂啰绠荤€殿喗濞婇弫鍐磼濞戞艾骞堟俊鐐€ら崢浠嬪垂閸偆顩叉繝闈涱儐閻撴洘绻涢崱妤冪缂佺姴顭烽弻鈥崇暆閳ь剟宕伴幘鑸殿潟闁圭儤顨呴~鍛存煟濡櫣锛嶅ù婊庝簽缁辨捇宕掑▎鎺戝帯婵犳鍣g粻鏍晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姷绱掗悩宕囨创闁哄本鐩、鏇㈡晲閸℃瑯妲版俊鐐€曟鍝ョ矓閻熼偊娼栭柧蹇撴贡閻瑦绻涢崱妯哄姢闁告挾鍋撶换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇悼閹风姴霉鐎n偒娼旈梻渚€娼х换鎺撴叏閸儱惟闁挎棁妗ㄧ花濠氭⒑閸濆嫬鈧悂鎮樺┑鍫㈢闁哄秲鍔嶉崣蹇涙偡濞嗗繐顏存繛鍫熺矒閺岀喖顢欓悡搴⑿╁Δ妤婁簷閸楀啿鐣烽妸鈺婃晣鐟滃骸袙婢舵劖鈷戞慨鐟版搐閻掓椽鏌涢妸鈺€鎲鹃柕鍡楀暞缁绘繈宕掗妶鍛吙闂備礁鎼悮顐﹀磿鏉堚晝涓嶉柣鐔稿櫞瑜版帗鏅查柛娑卞枦绾偓闂備礁鎲¢悷銉ノ涘┑鍡╂綎闁惧繐婀辩壕鍏间繆椤栨繂鍚规い锔哄劦濮婅櫣绮欓崠鈥充紣濠电姭鍋撻梺顒€绉撮悞鍨亜閹哄秷鍏岄柛鐔哥叀閺岀喖宕欓妶鍡楊伓

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2025-1-24 04:54

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007-2025 中国科学报社

返回顶部