(1) 有位好友参加婚礼，在恭贺新禧的红包上写道：

   配以解释：

相遇以前，你我都是空虚的存在。

结合以后，你我的人生才有实在的意义。

爱，亘古绵长，枝繁叶茂。

(2)这里用的数学是：

(3)两个模为1的虚数萍水相逢，互相扶持，整体成为实数。并且不是一般的实数，而是两个关联着无穷的神奇之数：

(i)欧拉数e,该数出现于物理量变换率比例于自身大小的场合，例如物理中的关联，经济学中的复利。

(ii)圆周率π，该数是圆周长与直径之比，在周期性现象，甚至黎曼zeta函数中出现。

    这两个数都是无理数，你无法用两个整数相除得到。无理数由古希腊数学家毕达哥拉斯的学生希伯索斯发现。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，世界的一切可以用数表示，数为世界建立秩序。可是，希伯索斯发现，一个正方形的对角线与其边长不可公度，因此对角线长不是一个毕达哥拉斯学派认为的有理数。由于这个发现对于“万物皆数”观点的动摇，毕达哥拉斯学派不仅封锁了发现，并且残忍地将希伯索斯投入水中杀害。

   无理数的发现引发了数学史上的第一次危机。事实上，有理数之外，实轴上布满了无理数，如何理解这些不可公度的数？直到19世纪下半叶，实数理论才被严格建立起来，从而结束了第一次数学危机。

   这两个数并且还进一步是超越数，因此更加特殊。超越数不满足任何整系数之代数（多项式）方程，因而不是代数数。无理数并非一定是超越数，例如√2是无理数，并且是代数方程 x^2-2=0 的解，因而不是超越数。超越数联系着超越函数和超越曲线，例如三角函数，指数函数等，除了实数超越数，超越数当然也可以是虚数。欧拉将解析函数分为代数函数和超越函数。而莱布尼兹在研究超越曲线时评论：“超越量的来源就是无穷”。无穷在数学中无处不在。

 (4)这两个超越数e和π通过欧拉公式神奇的联系了起来：

此式来自于一个超越函数方程，将5个神奇之数联系了起来：e,π,i,1,0. 这些出现于不同场合的常数，神奇地满足一个简单方程。很多人因而认为，欧拉公式是最美丽的数学公式。

   欧拉公式联系着圆周运动，或者说周期性波动现象。考虑波动方程：y''+y=0.其解为:y=e^{ix}=cosx+isinx.这里出现了e。该解描述的是周期性振荡。在复平面上x是相位角，e^{ix}代表在单位圆上从相位角x=0开始转动x。显然当转动x=π时，转到单位圆上的-1处，即得上边的欧拉公式。

  若该方程改为：y''-y=0.其解就是指数函数：y=e^{x}.这里e又出现了。为什么在两种情形都会出现e? 显然，答案是这两个微分方程描述的都是物理量的变化率与其自身大小成比例的情形。可是，此时的解在指数上没有i,因此不再是圆周运动或周期性振荡，而是一种单调衰减或者增强（取决于边界条件）现象。

   通过引入虚数i可以在三角函数和双曲函数之间互相转换，在波动现象和耗散现象之间互相转换，这是一件有趣且深刻的事情。在相变的研究中也极为有用。

(5)i^i还有一个有趣之处，它具有无穷多值。其多值性的来源是底数i相位角的不确定性。

   这里的构造用的是乘方操作。乘方来自于多次反复做同一操作，例如a^n,即对1反复乘a做n次。在n为整数时，直观上容易把握。可是当人们把a和n同时解析延拓到复平面上时，如此定义的数和操作就不易直观把握，然而构造却更加有趣。例如，本文开头，数的性质也会被改变。

   复变函数的多值性可通过乘方操作反应出来。例如，考虑复数a=z,当n为整数时，z^n无多值性。可是当n为分数时，由于z相位角的不确定性，在n的乘方操作下映射出不同的函数值，这就带来函数的多值问题，这是一种非解析性。当然对数函数也是多值函数，它直接将z的位相不确定拿了出来。以及这里推广的指数为复数：

这里n=integer.由于z位相不确定（体现在不同的n）,第二项带来多值性，第三项取决于a是整数还是分数无或有多值性。取a=0,b=1,R=1,\theta=\pi/2 回到文章开头讨论的多值情形。

    为了解决多值问题，需要超越复平面，引入黎曼面的构造，黎曼面不是一个平面，而是一个多叶结构。

(6)数学是美妙的，也几乎是浪漫的。

    有一个故事说笛卡尔在给公主克里斯汀的信中写道：r=a(1-sinθ).公主画出来后，知道这是一个心形线，而这是一封情书。这就是笛卡尔的心形线浪漫爱情故事，可是，这件事可能不是真的。