上回书说到昂萨格求出了二维长方伊辛模型的精确解，Bruria Kaufman给出了一个简便优雅的求解过程，杨振宁先生给出自发磁化强度的精确解的严格证明。这些都极大地促进了伊辛模型的研究进展。昂萨格的文章首先攻克了一个高地。Kaufman和杨振宁先生又扫平了前进道路上的一些障碍。在他们的胜利的鼓舞下，投入大兵团作战先后攻克了一些高度差不多的山头，求解出其它类型的二维伊辛模型。这对全面系统地理解二维伊辛模型的特性有很大的帮助。例如，发现所有二维伊辛模型的特性具有一些普适性，在临界点比热都是对数发散(临界指数a=0)，自发磁化强度的临界指数b都对于1/8，……这对以后研究三维伊辛模型的特性提供很丰富的参考资料。

     尽管人们已经在探索自然奥秘的追梦之旅中有了很大的收获，可是人们追求梦想的旅程只是站到一个新的起跑线，前面的追梦之旅途更加遥远艰险。在昂萨格求出二维长方伊辛模型的精确解之时就意识到用他的方法不能直接推广到三维，用Kaufman的求解过程也不可能直接求出三维伊辛模型的精确解。问题出在三维与二维的不同。那么，三维与二维的不同之处是什么？从空间来讲，二维是一个平面，而三维是立体的。但在伊辛模型中几何空间形态的不同仅是表面现象，两者的不同之处的本源是拓扑学上的差别。主要起源于自旋本身具有两种指向的特性、系统存在的相互作用以及数学处理时所用到的矩阵形式。前面已经说到，一维可以用周期性边界条件将问题简化为对2´2矩阵求能量本征值。二维就要面对两个2^N´2^N矩阵相乘后求能量本征值问题。用周期性边界条件简化后，三维还要面对三个2^NL´2^NL矩阵相乘后求能量本征值问题。困难还不在于多了一个矩阵，矩阵阶数从2^N变成2^NL，困难在于三个矩阵之间的矩阵元的排序相互交叉，非常混乱地交织在一起。这时候，老干部遇到了新问题：拓扑学的问题。就是这个问题阻碍了大家向顶峰攀登的步伐。拓扑学的问题无法用三言两语讲清楚，我留给下回书介绍这个问题。

当然，科学家们并没有被困难吓倒，他们各显神通，采取迂回的战略，从不同的路径曲折地向上攀登。主要的路径有以下几条：1）杨振宁先生和李政道先生合作证明解存在的条件，并证明伊辛模型与格气问题相等价。他们的思路是：既然暂时不能求出精确解，那就先从数学上证明这种解存在，而且证明出连续相变存在的范围，得出在零磁场条件下存在连续相变。给大家一个信心，顶峰就在前方。2）以C. Domb教授为代表的科学家集中精力进行级数展开，包括低温展开、高温展开等。他们的思路是：既然暂时不能求出精确解，那就从我们知道的状态出发。我们知道的状态有两个，一个是最低温（即绝对零度）的完全有序态，另一个是最高温（即无限大温度）的完全无序态。从这两个状态分别出发，用函数级数展开形式给出体系的能量和其它物理量的表达式，然后通过外推的方法估计临界点处的数值。随着级数项的增加，其工作量成几何级数地增加，目前仅能得到几十项展开级数项的表达式，离无限多项还差得远。大家仍能坚持做下去是由一个信念支撑：级数展开的每一项的系数都是精确。精确解的展开式应与级数展开每一项的系数相同。3）以Widom、Fisher、Kadanoff等教授为代表的科学家研究临界现象的规律性。他们的思路是：既然暂时不能求出精确解，那就从临界点附近入手，总结临界现象的规律性。发展了标度理论，并发现了临界指数之间的标度关系。并证明在六个临界指数a, b, g, , h和n中仅有两个独立的变量。 4）1971年Wilson在标度理论和普适性的基础上，利用高能物理中的重正化的概念，发展了重正化群理论。重正化群理论是临界现象研究方面的一个重大突破。Wilson的思路是：既然暂时不能求出精确解，根据在临界点处关联长度趋于无限大，体系应具有尺度变化下的不变性（也就是自相似性，这与分形又挂上了钩）， 利用这种尺度变化下的不变性，从而确定临界点和临界指数。发展到今天，重正化群理论在许多领域得到应用，成为主流的时尚技术。5）蒙特-卡罗模拟等计算机技术的发展。为了解决计算量庞大的矛盾，一个思路是发展功能强大的计算机，另一个就是发展简便的计算算法以节约计算时间。蒙特-卡罗模拟就是一个非常有效的简便算法。6) 实验测定不同物质的临界指数。通过对不同物质的临界指数的测定，分门别类地归纳总结，并与不同理论模型（如伊辛模型、XY模型、海森堡模型）的结果进行比较，得出普适性的规律。分出不同物质及模型的临界指数的普适类。认为普适类仅与空间维数d和序参量的维数n有关，与晶格常数和对称性、相互作用的性质、相互作用的力程大小等因素无关。7) 尝试直接求解或推导一些可能解析关系。到目前为止，所有的关于精确求解三维伊辛模型的报导不是被证明是错误的，就是没有得到大家的承认。当然，还有一些科学家尝试求解一些与二维模型有一定关联性的特殊的三维模型；也有一些科学家通过对近似结果的理解提出一些解析关系或猜想。

以上列举的许多方面都有大量的工作，特别是低温展开、高温展开、重正化群理论、蒙特-卡罗模拟等近似计算方面。可以说每个分领域都有数千篇文章，也有大量的综述报告和评论文章。在一篇博文里是没有办法详细介绍的，等以后有时间再分门别类地介绍。需要指出的是，海内外华人科学家在相关的领域做出了许多重要的贡献，为学科的发展和建设起到重要的作用，由于篇幅关系在这里不一一列举。目前，总结级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等计算结果，得到三维伊辛模型的临界指数近似为α = 0.110, β = 0.3265, γ = 1.2372, δ = 4.789, η = 0.0364 和 ν = 0.6301, 居里温度近似为1/K_c = 4.511505。