上回书说到三维伊辛模型的精确求解所面临的问题是一个拓扑学的问题。由于在三维不能象在二维那样简单地利用对偶性精确确定居里点，所以一切探索均如盲人摸象。本回书先做一点拓扑学的科普，再说明三维伊辛模型为什么有拓扑学的困难，然后介绍我们提出的猜想对这个问题的解决对策。

拓扑学所感兴趣的问题就是那些最为持久不变的几何性质，即在扭曲和拉伸后仍然保持的几何性质。由于要保持沿自身连续不断地连通这个性质，扭曲过程中不允许断开原来连通的地方（象切开或戳洞），也不允许将原来不连通的地方连接起来（如连接断线的两端或填满一个开着洞）。在拓扑学家眼里，一个炸面包圈与一个带柄的杯子没有什么区别。因为炸面包圈的圈和杯子柄与杯子一起构成的环没有区别，而不带柄的杯子与一团圆形的面团没有什么区别（杯子盛水的部分不是一个真正的洞）。拓扑学中一个最著名最简单的例子是墨比乌斯(Möbius)带。一个长方形纸条ABCD，有四条边AB、BC、CD、DA。如果将这个长方形纸条正常地弯过来A点与D点、B点与C点相接，我们得到一个纸圆圈。如果将这个纸条的一端在弯过来的过程中扭曲180度，使对角的A点与C点、B点与D点两两相接，我们得到一个墨比乌斯带。可以想象，如果一只蚂蚁沿纸圆圈的外表面爬，无论怎样爬，它也爬不到纸圆圈的内表面。如果一只蚂蚁沿墨比乌斯带的外表面爬，它不知不觉就爬到墨比乌斯带的内表面。实际上墨比乌斯带已经没有内、外表面之分了。纸圆圈与墨比乌斯带还有一个重要的区别：将一个纸圆圈沿中间线剪开，进行对称分裂，得到两个分开的纸圆圈；将一个墨比乌斯带沿中间线剪开，对称分裂得到一个扭曲720度后相接的扭曲环带。实际上可以有不同扭曲数W的扭曲环带(扭曲W´180度)。对不同扭曲数W的扭曲环带进行对称分裂或不对称分裂（甚至一系列的分裂），可以得到各种不同类型的纽结、纽结与扭曲环带的混合或混绕。关于纽结，我们并不陌生，在日常生活中我们经常用打结的方法固定物品。大家可以通过“中国结”来帮助理解什么是纽结。墨比乌斯带也可以在高一维空间找到对应物，将一个圆柱正常相接两端为一个炸面包圈，如果经过扭曲180度后相接两端就成为一个克莱因(Klein)瓶。有关拓扑学的科普就到这里，大家感兴趣可以阅读相关的参考书。

回到伊辛模型，前面已经说到，三维伊辛模型的精确解的困难归结为拓扑学的问题。一维可以用周期性边界条件将问题简化为对2´2矩阵求能量本征值。这相当于将一根麻绳的问题简化为一个麻点的问题。当然，一个麻点对应于2´2矩阵。二维用周期性边界条件将问题简化，就相当于将一片麻布的问题简化为一根麻绳的问题。一根麻绳对应于两个2^N´2^N矩阵相乘。关键是，这根麻绳象我们买的一扎毛线一样是有秩序地绕好的。只要你仔细，可以轻松地将一扎毛线整理出来。三维用周期性边界条件后，相当于将一块立体的麻块简化为一片麻布。一片麻布对应于自旋表象中三个2^NL´2^NL矩阵相乘，相应地对应于三个2NL´2NL转动矩阵。关键是，这片麻布是由麻绳非常混乱地编织在一起的。包含了上面所说的拓扑学的问题：存在各种各样的扭曲和纽结。简单地说，就是一团乱麻。如何将这团毫无秩序的乱麻理成有秩序的一根或几根麻绳，已经困扰了学术界六十余年。真是剪不断，理还乱！只要我们能将这团乱麻整理出来，求能量本征值问题迎刃而解。

最近，我们提出了两个猜想，并在猜想的基础上推出三维伊辛模型的精确解可能的形式。下面是我们的猜想：

猜想一：三维伊辛模型的拓扑学问题可以被在四维空间引入的一个附加的旋转解决，因为在三维空间的扭曲和纽结可以被在四维空间的旋转打开。针对三维伊辛模型，我们可以在2N´L´O空间(其中O=(N×L)^1/2)进行这个旋转，它对应于在2^N×L×O空间的自旋表象。同时，自旋表象矩阵及其对应的旋转矩阵将在这种高维的空间被重新安排和表示。

猜想二：用在[-1, 1]范围内变化的权重因子w_x, w_y和w_z作用在本征矢量来表达exp(i t_xp/N), exp(i t_yp/L)和exp(i t_zp/O)在四维空间对系统的能谱的贡献。

猜想一是我们的工作的关键，出发点就是拓扑学中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打开。我们的思路就是：不管你三维伊辛模型的拓扑扭曲和纽结的细节，也不管你这团乱麻是如何地乱，将这所有的一切拎起来在高一维空间进行旋转，将所有的扭曲和纽结同时打开。上面说到，三维伊辛模型的一片麻布对应于自旋表象中三个2^NL´2^NL矩阵相乘，相应地对应于三个2NL´2NL转动矩阵。我们实际上要在2^N×L×O自旋表象空间，以及相应的2N´L´O旋转空间来处理问题。分别多加了一个2^N×L×O自旋表象矩阵相乘，对应地多加了一个2N´L´O旋转矩阵相乘，同时将原来的三个2^NL´2^NL自旋表象矩阵、三个2NL´2NL转动矩阵分别在2^N×L×O和2N´L´O空间重新安排和表示。猜想一是由拓扑学的理论做支撑的。可以看到我们凭空增加了一维空间。但这不是一个平常我们所说的普普通通空间。如果是一个普通的四维空间问题，我们前面已经说过，分子场理论就可以搞定。我们认为，只要我们面对一个三维伊辛模型，这个一维空间本身就已经存在，附加在模型上。这是由三维伊辛模型中所有自旋之间的相互作用所构成的拓扑问题本身所决定的，是三维伊辛模型的内禀性质。根据杨-李相变理论，三维伊辛模型的精确解是存在的。大自然的相变点是一直存在，我们不能精确地确定是我们自己认识上的局限。由于我们数学上知识的欠缺不能处理三维伊辛模型的拓扑问题，并不意味着大自然本身不能解决这个问题。自然界不会陷入这种拓扑问题的困惑之中，它一定与生俱来地可以打开这些扭曲和纽结，自然而然地表现自己的能量状态。三维伊辛模型三个转动矩阵中矩阵元的旋转角分别为K*, K’ ,K’’ ，分别对应于沿三个坐标轴方向自旋间的交换作用常数与温度的比例。考虑到存在的拓扑扭曲和纽结的特点，我们将增加的转动矩阵中矩阵元的旋转角设为K’K’’/K。这代表了三维伊辛模型的拓扑问题：沿三个坐标轴方向自旋间的交换作用常数完全纠缠在一起，需要用这样的具有不同常数纠缠在一起的旋转打开。这样，可以获得一个比较对称的简单正交晶格伊辛模型的居里温度的条件KK* = KK' + KK'' + K'K''。而且，当三个坐标轴方向自旋间的交换作用常数中的K’和K’’之一为零时，结果自动返回二维伊辛模型。

猜想二也是数学上常见的处理方式。我们引入猜想二有以下两点考量：1）抵消由于引入一维空间导致的能量增加的同时，使系统维持为一个(3+1)维系统及其量纲。2）系统能量可以在高温极限处与精确的高温展开吻合。实际上，猜想二是对猜想一的补充。引入这两个猜想后，一切变得非常简单，我们只要跟随Kaufman和杨振宁先生的求解过程就可以了。发展出一套与Kaufman和杨振宁先生的求解方案不同的方案已超出我的能力范围。受到我自己的逻辑思维力和想象力的限制，至今没有成功地找到一套与原来截然不同的求解过程，它还能在二维极限时退回原来的求解过程。由于我们仅仅是提出两个猜想（或新概念），其它的求解过程与二维伊辛模型基本一致，我们获得的精确解的形式也就在很大程度上与二维伊辛模型精确解的形式一致（当然，有一些区别，如本征矢量上的权重因子）。也就是说，三维伊辛模型实际上是具有二维伊辛模型精确解的特征的(3+1)维系统。这有一个很大的益处：我们获得的精确解在一维或二维极限条件下可以返回一维或二维的精确解。如果我们的猜想是正确的，三维简单正交晶格伊辛模型的比热在相变的临界点具有对数发散的奇异性，这与二维伊辛模型的比热的奇异性一致。受我的能力的限制，我没有成功地找到一个非对数发散的函数在二维极限时可以退回对数发散。推导三维伊辛模型自发磁化强度时主要考虑了(3+1)维系统的量纲。大家记得，杨振宁先生推导出的二维伊辛模型自发磁化强度的临界指数为b = 1/8。从量纲上分析，二维系统的本征矢量对应于线段，三维系统本来对应于面积，但考虑到实际上是(3+1)维系统应对应于体积。体积的量纲是线段的量纲的立方，所以三维伊辛模型自发磁化强度的临界指数推定为b = 3/8。

用一个例子来说明我们的求解过程和解的形式。想必大家都观看过舞蹈《千手观音》，都为舞蹈者美伦美奂的舞姿所吸引。现在大家可以想象，《千手观音》中每个舞蹈演员都代表一个二维伊辛模型，许多舞蹈演员在一起进行排列和组合，排成纵横方阵代表一个三维伊辛模型。在《千手观音》中舞蹈演员可以变换队形，相当于我们求解过程中的旋转变换。在《千手观音》中最震撼人心的场景是所有的演员排成一列纵队，观众仅能看到第一个演员邰丽华，她作为所有演员的代表展示给大家。在我们的模型里她就是与二维精确解类似的解的形式。但大家知道，这个演员不是舞蹈的全部，在优美动听的古典韵味的佛界梵音中，那些站在邰丽华后面的演员，展示给观众的就是她们的手臂。她们的存在就代表我们的量纲和本征矢量上的权重因子。所有的演员通过既有规律又可能无序的动作伸出她们的手臂，从而完美地诠释了一个金光四射、仪态万千的千手观音，呈现给人们安然祥和的美好心境。我想，每个观众的心灵都被舞蹈之美深深地震撼了。在我观看时，震撼我的心灵的不仅是舞蹈之美，还有艺术、宗教与科学的相通之奇妙！

(详细内容见Zhi-dong Zhang, Conjectures on exact solution of three - dimensional (3D) simple orthorhombic Ising lattices, http://arxiv.org/abs/0705.1045)  

已发表在Philosophical Magazine, 87(34), 5309 – 5419 (2007)。http://dx.doi.org/10.1080/14786430701646325

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