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这题目貌似泛函分析,本质上是数学分析

已有 3930 次阅读 2011-12-22 20:36 |个人分类:数理|系统分类:教学心得| 数学

在数学分析课程中,下述结论是最基本的常识。
定理1. 设{fn(x)}是[a, b]上的连续函数列,且{fn(x)}一致收敛于f(x), 则f(x)也是[a, b]上的连续函数。
如果我们把上述结论修改为下面的命题1,则结论错误。
命题1. 设{fn(x)}是[a, b]上的连续可微函数列,且{fn(x)}一致收敛于f(x),则f(x)也是[a, b]上的连续可微函数。
为了使命题1正确,需要考虑函数列的导数。即添加一个条件:函数列{f'n(x)}一致收敛。
 
我们再用泛函分析语言叙述上面的话。下述定理是基本常识:
定理2. 设C[a, b]是[a, b]上的连续函数之集,在C[a, b]上定义范数||f||=max|f(x)|,则C[a, b]是Banach空间。
将定理2改为:
命题2. 设C1[a, b]是[a, b]上的连续可微函数之集,在C1[a, b]上定义范数||f||=max|f(x)|,则C[a, b]是Banach空间。
这个命题就不对了,因为范数的定义中没有考虑到导函数 f'(x)。为了让命题正确,范数的定义应该修改为:||f||=max|f(x)|+max|f'(x)|。
 
今天下午给学生考试,其中一个题目是:
设C1[a, b]是[a, b]上的连续可微函数之集,在C1[a, b]上定义范数||f||=max|f(x)|,讨论C[a, b]是不是完备的。
这个题目貌似泛函分析,实际上就是一个数学分析习题。熟悉数学分析的同学一看就知道这个空间不完备,理由前边已经说过了。可是可是可是,有很多同学居然硬要证明这个空间完备。这些同学给我老人家一个沉重沉重的打击,让我受伤不轻。我可是很认真很认真很认真地讲授这门课程的啊!


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2 曾新林 蒋迅

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