14. 杨振宁的贡献

1949年春天，杨振宁（Chen-NingFranklin Yang，1922年-）从芝加哥前往普林斯顿高等研究院作研究。之后，创立电磁场规范理论的赫尔曼•外尔从高等研究院退休离开了普林斯顿，杨振宁搬进了外尔的旧居，并成为高等研究院的永久成员，按照戴森的说法，他接替外尔的位置，成为理论物理界的一只领头鸟^【1】。

杨振宁不仅接租了外尔的房子，接替了外尔理论物理界的位置，更具体地，还将他在规范理论方面的工作作了一个漂亮的推广。

将我们在第3节所介绍过的外尔的电磁规范理论复习一下，我们会发现，规范场理论的最迷人之处是在于它可以仅仅从对称性出发，自然地从数学上引入电磁场。上述说法使人迷惑，因为凡是学过初中物理的人都知道，人类对电磁现象的认识是从诸多自然现象开始的，富兰克林的雷电实验、法拉第的电磁感应、麦克斯韦的理论综合、一直到赫兹发现电磁波，一个接一个的科学家，对电磁相互作用作出了贡献，你现在怎么说，电磁波这种物理现象，可以从与数学有关的对称性而“得到”呢？

别着急，上面说法的大概思路如下。

根据外尔的规范变换理论，量子力学中薛定谔方程（或狄拉克方程）的解，也就是电子满足的波函数，相位是不确定的，可以将整个波函数乘以一个任意的常数相因子e^iqθ而得到同样的物理效果，即带电粒子的系统具有某种整体规范对称性。从诺特定理可知，某种对称性对应于某种守恒定律，带电粒子波函数的相因子规范对称性对应于电荷q守恒。

整体规范不变性表现在系统的拉格朗日量在某种对称变化下不变。例如，在第四节最后，曾经设自由标量场的拉格朗日量形式为：

￡=  (1/2)(∂f ^*∂f) – (1/2)m² (f^*f)²。                                                   （14-1）

将变换f→ e^iqθf，代入上面的拉格朗日量表达式中，很容易看出这个变换将保持（14-1）不变，因为复数场乘以其共轭函数使得变换中的相因子互相抵消了。这说明以上拉格朗日量是整体规范不变的。

具有整体规范对称的系统，是否也能有“局域”规范不变呢？局域的意思是说，相因子中的θ是时空位置的函数（写成θ(x)，x表示四维时空坐标）。这时，场的变换相因子不再是一个整体的常数，而是每个时空点都不一样的函数。从（14-1）可知，第二项仍然将保持规范不变，但第一项因为包含了微分的原因便不再是规范不变的了。（实际上，局域概念来自于黎曼几何，因此也可以说，规范局部不变性实际上是广义相对论等效原理的一个推广。）

既然问题是出在微分算符上，我们将微分算符∂的定义稍微做点改变（相当于协变导数D）：

Dx = ∂x + q A(x)。                                                                                            （14-2）

这儿引进了一个新的四维矢量场A(x)，即规范场。规范变换中，场A(x)和场f一同变换：

f→ e^iqθ(x)f，                                                                                                    （14-3）

A→ A− iq∂θ(x)。                                                                                             （14-4）

对于场A(x)和场f共同组成的系统，新的拉格朗日量：

￡=  (1/2)(Df ^*Df) – (1/2)m² (f^*f)  +  ￡_A                                                      （14-5）

将在局域规范变换（14-3，14-4）下保持不变。

新引进的规范场A(x)与场f的相互作用表现在协变导数D的定义（14-2）之中。除此之外，A(x)对拉格朗日量还应该有相应的独立贡献，因此在公式（14-5）中加上了仅仅与A(x)有关的一项：￡_A。拉格朗日量中场的贡献总是与场（或场的1阶导数）的平方有关。此外，考虑洛伦茨变换不变的条件，公式（14-5）中的￡_A可表示为：

如果将矢量场A(x)看作是电磁场的四维矢量势的话，上面公式中的F_mn是四维电磁场张量，其分量由磁场B和电场E的分量组成。

从以上的推导过程可见，矢量场A(x)是为了保证电荷守恒的局域对称性，使得带电粒子场的拉格朗日量在对称变换下保持不变而引进的一种数学形式，一开始似乎并没有任何物理意义，我们将它“看作”是电磁势，只是因为它正好和我们已经熟知的电磁作用性质一样。并且，从A(x)的拉格朗日表达式￡_A，可以用最小作用量原理，应用变分法，推导出场的运动方程，它们将等效于麦克斯韦方程组。再进一步，诸如库仑定律、法拉第定律这些实验规律都可以被推导出来。所以，以规范变换的观点，电磁场不是首先作为一个物理实在而引入，却是从系统对称性出发。成为满足与电荷守恒相关的U(1)对称性而导致的一个必然结果。

这就是数学之美，理论物理之美。这种美迷住了外尔，也吸引了华裔物理学家-杨振宁。

外尔一生珍爱他工作中的两样东西：规范场和非阿贝尔李群，这两个领域也正好是年轻杨振宁的兴趣所在。杨振宁到芝加哥后，从泡利的关于规范不变性的综合报告中，更深入地了解到电荷守恒与规范不变之间的深刻联系，杨振宁后来在回忆中将外尔规范场称为当时“理论中的一组美妙的旋律”^【2】，并想把这个理论推广到同位旋的相互作用上去。

同位旋是海森堡为表达质子和中子间的对称性而引入的。如果撇开质子中子这两种粒子电荷的不同，单就强相互作用而言，它们是完全对称的，可以看作是相同粒子的两种不同状态。

电荷守恒可以导出电磁相互作用势以及电磁场运动规律，那么，从同位旋守恒是否可以导出强相互作用的规律呢？杨振宁从芝加哥大学开始，便按照这个思路摸索了好几年，但没有得到满意的结果，具体计算也越来越复杂，似乎难以进行下去。

图14-1：杨-米尔斯规范场理论对大统一理论起了“奠基”的作用

不过，这个推广规范场的想法总在杨振宁脑海中挥之不去，直到1953-1954年，杨振宁暂时离开高等研究院，到纽约长岛的布鲁克海文实验室工作一段时期，正好和来自哥伦比亚大学的博士生米尔斯使用同一个办公室。布鲁克海文实验室有当时世界上最大的粒子加速器，世界各地也不断传来好几种介子被陆续发现的消息，这些实验使得两位物理学家既振奋又雄心勃勃，杨振宁迫切感到需要寻找一个描述粒子间相互作用的有效理论，他对规范理论的思考也有了重大的突破。他和米尔斯认识到描述同位旋对称性的SU(2)是一种“非阿贝尔群”，与外尔的电磁规范理论的对称性U(1)完全不同，需要进行不同的数学运算。

比如，公式（14-6）中的四维电磁场张量F_mn的表达式中的A，是电磁场的矢量势。当推广到杨-米尔斯场的情况时，因为描述的对象是两个分量的同位旋，推广后的B 成为2x2的矩阵，因为矩阵不对易，相应的张量F_mn表达式中需加上一项对易子，见图（14-2）。

图14-2：从电磁规范场到非阿贝尔规范场

当杨振宁和米尔斯认识到这点，加上对易子一项后，计算变得简单顺畅起来。如杨振宁在回忆中说：“我们知道我们挖到宝贝了！”^【3】。通过两人卓有成效的合作，他们在《物理评论》上接连发表了两篇论文^【4，5】，提出杨-米尔斯规范场论。

寄出文章之前，1954年的2月，杨振宁应邀到普林斯顿研究院作报告，正逢泡利在高研院工作一年。当杨在黑板上写下他们将A推广到B的第一个公式时，“上帝鞭子”开始发言了：“这个B场对应的质量是多少？”，急得杨振宁一身冷汗，因为这个问题一针见血地点到了他们的“死穴”。之后泡利又问了一遍同样的问题，杨只好支支吾吾地说事情很复杂，泡利听后便冒出一句他常用的妙语：“这是个很不充分的借口”。当时的场景使杨振宁分外尴尬，报告几乎作不下去，亏得主持人奥本海墨出来打圆场，泡利方才作罢，之后一直无语^【6】。

泡利尖锐的评论，说明他当时已经思考过推广规范场到强弱相互作用的问题，并且意识到了规范理论中有一个不那么容易解决的质量难点。

第二天，杨振宁接到来自泡利的一段信息，为昨天报告会之后没有深谈而遗憾，信中给这两位年轻物理学家的工作以美好的祝福，并建议杨读读薛定谔的一篇文章。

那是一篇有关狄拉克电子在引力场时空中运动的相关讨论，不过，直到多年后，杨振宁才明白了其中所述的引力场与杨-米尔斯场在几何上的深刻联系，从而促进他在70年代研究规范场论与纤维丛理论的对应，将数学和物理的成功结合推进到一个新的水平。

规范理论中的传播子都是没有质量的，否则便不能保持规范不变。电磁规范场的作用传播子是光子，光子没有质量。但是，强相互作用不同于电磁力，电磁力是远程力，强弱相互作用都是短程力，短程力的传播粒子一定有质量，这便是泡利当时所提出的问题。果然是因为这个质量的难题，让规范理论默默等待了20年！

当年的杨-米尔斯理论，虽然没有真正解决强相互作用的问题，但却构造了一个非阿贝尔规范场的模型，为所有已知粒子及其相互作用提供了一个框架，后来的弱电统一、强作用、直到标准模型，都是建立在这个基础上。即使是尚未统一到标准模型中的引力，也完全可以包括进规范场的理论之中。如今，六十多年过去了，“对称支配相互作用”，已经成为理论物理学家的一个坚定信念。所以，可以毫不夸张地说：杨-米尔斯规范理论，对现代理论物理起了“奠基”的作用。

参考文献：

【1】Freeman J Dyson，Birds and Frogs : Selected Papers of Freeman Dyson,1990-2014，World Scientific Publishing Company，May 18, 2015

【2】杨振宁.读书教学四十年.香港三联书店,1985,120

【3】杨振宁，“我的学习与研究经历”，http://www.ishare5.com/4526563/

【4】C. N. Yang and R.Mills, Isotopic spin conservation and a generalized gauge invariance,Phys. Rev.95, 631 (1954).

【5】C. N. Yang and R.L. Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance,Phys.Rev. 96, 191 (1954).

【6】An Anecdote by C.N. Yang：http://universe-review.ca/R15-21-YangPauli.htm

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