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费马最后猜想,在女数学家热尔曼考虑x、y和z都不能被质数p整除的情况,走出关键一步,以使得n=5和7被证明了之后,没有很多实质性的进展。热尔曼的工作还是1825年的事,直到一百多年之后,这个课题才又逐渐地重新活跃起来……
终于到了1995年,怀尔斯完成了他的证明,猜想被证明,“费马最后定理“才横空出世!
但是,怀尔斯并不是直接地证明费马大定理,而是走了一个迂回曲折的路径,证明了另外一个听起来复杂又困难的“东西“!所以说,尽管费马大定理的”描述“连小学生都懂,但是,它的证明却可以说连博士生都不一定懂。即使是对一般的数学人士而言,不花点功夫也很难弄懂的!
图1:怀尔斯“弯道”证明费马大定理
在怀尔斯的迂回路径上【1】,有许多我们大众听起来吓人的“拦路虎“,例如:椭圆曲线、模形式、伽罗瓦表示、同调代数、格代数、复分析、解析函数……
今天挑一个听起来亲切一点的介绍一下:椭圆曲线【2】。起码大家都知道,什么是曲线?也见过椭圆长什么样。
不过,这个椭圆曲线中没有椭圆,椭圆曲线不是“椭圆的曲线”!我们原来所知道的、能得到椭圆的那类曲线,数学上叫做圆锥曲线,意思是正圆锥面和一个平面完整相切得到的曲线。圆锥曲线除了能描述椭圆之外,还能描述抛物线和双曲线,一般来说,是二次平面曲线。也包括了退化型的,比如直线和点。
所谓“椭圆曲线“的方程,是3次方程。椭圆曲线长这个样(图2中的1或2):
图2:椭圆曲线和方程
图2中也写出了椭圆曲线的3次方程的标准形式,还加上一个约束条件。约束的原因是要避免产生如右图所示的曲线中的“尖点”和“自相交”情况。
既然是3次方,为何又被称为椭圆曲线呢?事实是这样的:当人们用微积分计算椭圆周长时,最后需要计算的积分形式是:
令其中的分母为y,再经过平方后便可得到椭圆曲线的方程。
椭圆曲线是有点实用价值的,据说可以用在比特币的加密技术上。
费马大定理是数论中的问题,是有关整数解“存在不存在”的问题,而图2画出的椭圆曲线是定义在2维实数域中,x和y都是实数。因此,到此为止,我们还看不出椭圆曲线和费马大定理有何关联?这其中还需要搭建几个沟通的“桥梁”。有了“桥梁”之后,我们才有可能窥探一下,怀尔斯证明费马大定理道路上的奥秘。
参考资料:
【1】Video:https://www.dailymotion.com/video/x1btavd_fermat-s-last-theorum_shortfilms
【2】维基百科:https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve
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GMT+8, 2024-10-30 17:53
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