10.自旋的奥秘

人类最早探索到自旋的奥秘，与著名的“泡利不相容原理”有关。

在量子力学诞生的那一年，沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli，1900年-1958年）也在奥地利的维也纳呱呱坠地，二十多年后，他成为量子力学的先驱者之一，是一个颇富特色的理论物理学家。

泡利在物理学界以犀利和尖刻的评论而著称，丝毫不给人留面子。有一次，泡利对一个刚做完报告的同行说：“我从来没听过这么糟糕的报告！”，马上转头又对另一位同行说：“如果是你作这个报告，想必更糟糕！”泡利有一句广为流传的评论名言：“这不是对的，甚至也谈不上是错的！”据说泡利自己讲过他学生时代的一个故事，有一次在柏林大学听爱因斯坦讲相对论的报告，报告完毕，几个资深教授都暂时沉默不言，似乎正在互相猜测：谁应该提出第一个问题呢？突然，只见一个年轻学子站了起来说：“我觉得，爱因斯坦教授今天所讲的东西还不算太愚蠢！”原来这愣头愣脑地小伙子就是泡利^【1】。

波尔将他誉为“物理学的良知”，同行们以“可怕的泡利”、“上帝的鞭子”、“泡利效应”等昵称和调侃来表明对他的敬畏之心。这些“头衔”，加上以上的几个例子，容易给人造成一个错觉，以为泡利是个傲慢自负、目中无人的家伙。但事实上并不如此，当时的物理学界十分重视泡利对每一个新成果、新思想的尖锐评价，并且，泡利对自己也一样挑剔。泡利的学生们也能感觉出泡利的亲切和平易近人，特别是：他们在泡利面前可以问任何问题，不必担心显得愚蠢，因为对泡利而言所有的问题都是愚蠢的。

的确，泡利在年轻时就表现出过人的聪明，高中毕业时发表了他的第一篇科学论文，20岁时写了一篇200多页纸的有关相对论的文章，得到爱因斯坦的高度赞扬和好评。当年的物理学家波恩甚至认为，泡利将成为比爱因斯坦更伟大的科学家。

不过，聪明过头的人往往不快乐。年轻的泡利在经受了母亲自杀和离婚事件的打击后，患上了严重的神经衰弱症，因而不得不求助于当时也在苏黎世并且住得离他不远的心理医生卡尔·荣格。荣格是弗洛伊德的学生，著名心理学家，分析心理学创始人。从那时候开始，荣格记录和研究了泡利的400多个“原型梦”，这些梦境伴随着泡利的物理研究梦，荣格二十多年如一日，一直继续到泡利逝世为止。泡利也和荣格讨论心理学、物理学、和宗教等。后人将泡利与荣格有关这些梦境的书信来往整理成书，这些内容为探索科学家的内部心理状况与科学研究之间的关联留下了宝贵的原始资料。比如说，伟人爱因斯坦、虚数i、与精细结构常数有关的137……都曾经来到过泡利的梦里。或许，在泡利不短不长的生命中，清醒和梦境，科学和宗教，总是经常融合纠缠在一起。

1922年到1923年，泡利应波尔之邀到哥本哈根波尔研究所工作一年，研究的课题是反常塞曼效应。人们经常看见他漫无目标地游走在哥本哈根美丽的大街小巷上，似乎显得很不开心闷闷不乐的样子。泡利自己后来在一篇回忆文章中描述过当时的心情，大意是说，当你被反常塞曼效应这种难题纠缠的时候，你能开心得起来吗？

图10-1：泡利、荣格、及费米子的不相容原理

塞曼效应指的是原子的光谱线在磁场的作用下发生分裂的现象。当原子中的电子从激发态返回到基态时，便释放能量，发出一定波长的光谱。反过程则形成吸收光谱。根据波尔的半经典原子模型，电子在原子中只能按照一定的能量量子化了的轨道运动，使得光谱成为一条一条的分离谱线，对应于不同的能级。如果原子位于外磁场中，电子运动受到磁场影响而产生更多的能级，表现为谱线产生分裂。正常塞曼效应中，一条谱线在磁场作用下分裂成双重线或三重线，而反常塞曼效应的谱线分裂数多于3，有时4条、5条、6条、9条，各种数值都有，似乎复杂而无规则。当时，塞曼发现了谱线分裂的正常效应，洛伦兹则用电子轨道角动量与磁场作用的概念解释了这种效应，因而两人分享了1902年的诺贝尔物理学奖。塞曼在他的诺奖演讲中提到了当时尚不知如何解释的反常塞曼效应，宣称他和洛伦兹遭到了“意外袭击”。那时候的泡利还是个2岁的娃娃，没想到过了20年后，这个反常塞曼效应的难题仍然困惑着物理学家，并且还“袭击”到了泡利的脑海中和梦境里。

泡利在一堆年轻的量子革命家中，偏向左派，算是更彻底的革命者，他不相信经典的原子实模型，最后断定反常塞曼效应的谱线分裂只与原子最外层的价电子有关。从原子谱线分裂的规律，应该可以找出原子中电子的运动方式。1922年的施特恩-格拉赫实验，也有力地证明了额外角量子数的存在。仿造前人，泡利引入了4个量子数来描述电子的行为。它们分别是：主量子数n、角量子数l、总角量子数j、总磁量子数m_j。这些量子数的取值互相有关，比如说，角量子数给定为l时，总角量子数j可以等于l加（减）1/2。在磁场中，这些量子数的不同取值使得电子的状态得到不同的附加能量，因而使得原来磁场为0时的谱线分裂成多条谱线。

泡利在1925年提出不相容原理^【2】，于1945年，由爱因斯坦提名而因为此项成就获得诺贝尔物理奖。泡利不相容原理大概表述如下：

电子在原子中的状态由四个量子数(n、l、j、m_j)决定。在外磁场里，处于不同量子态的电子具有不同的能量。如果有一个电子的四个量子已经有明确的数值，则意味着这四个量子数所决定的状态已被占有，一个原子中，不可能有两个或多个电子处于同样的状态。

实际上，在泡利之前，当物理学家们使用不同的量子数来排列原子中电子运动规律的时候，就多少已经暗含了电子的状态互不相容的假设。但是这个费米子“互不相容、必须独居”的原理，直到1925年才被泡利正式在论文中提出来，这大概便与泡利的“左派”思维方式有关了。不相容原理并不是什么大不了的理论，实在来说只是一个总结实验资料得出的假说，但它却是从经典走向量子道路上颇具革命性的一步，因为在经典力学中，并没有这种奇怪的费米子行为。

自旋也是这样一种没有经典对应物的革命性概念，但奇怪的是，泡利革命性地提出了不相容原理，却也因为过于革命而阻挡了别的同行提出“自旋”。

从泡利引入的四个量子数的取值规律来看，自旋的概念已经到了呼之欲出的地步，因为从四个量子数得到的谱线数目正好是原来理论预测数的两倍。这两倍从何而来？或者说，应该如何来解释刚才我们说过的“总角量子数j等于l加（减）1/2”的问题？这个额外1/2的角量子数是什么？

克罗尼格（Rolph. L. Kronig，1904-1995）生于德国，后来到美国纽约哥伦比亚大学读博士。他当时对泡利的研究课题产生了兴趣。具体来说，克罗尼格对我们在上一段提出的问题试图给出答案。克罗尼格想，波尔的原子模型类似于太阳系的行星：行星除了公转之外还有自转。如果原子模型中的角量子数l描述的是电子绕核转动的轨道角动量的话，那个额外加在角量子数上的1/2是否就描述了电子的“自转”呢？

克罗尼格迫不及待地将他的电子自旋的想法告诉泡利，却得到了泡利的严厉批评，泡利认为提出电子会“自转”的假设是毫无根据的，服从量子规律的原子运动与经典行星的运动完全是两码事，如果电子也自转的话，电子的表面速度便会超过光速数十倍而违背相对论。

克罗尼格受到泡利如此强烈的反对，就放弃了自己的想法，也未写成论文发表。可是，仅仅半年之后，另外两个年轻物理学家乌伦贝克（GeorgeE. Uhlenbeck, 1900—1988）和高斯密特（Samuel.A. Goudsmit, 1902—1978）提出了同样的想法，并在导师埃伦费斯特支持下发表了文章。同时，Thomas进动从自旋的相对论效应解释了1/2的因子差异，因而他们的文章得到了波尔和爱因斯坦等人的好评。这令克罗尼格因失去了首先发现自旋的机会而颇感失望。不过，克罗尼格认识到泡利只是因为接受不了电子自转的经典图像而批评他，并非故意刁难，因此后来一直和泡利维持良好的关系。心胸宽大的克罗尼格活到91岁的高龄，于1995年去世。

泡利虽然反对将自旋理解为“自转”，但却一直都在努力思考自旋的数学模型。他开创性地使用了三个不对易的泡利矩阵作为自旋算子的群表述，并且引入了一个二元旋量波函数来表示电子两种不同的自旋态。

三个泡利矩阵是SU(2)群的生成元，再加上二阶单位矩阵组成一组完全基，可以展开任何2×2复数矩阵。但泡利的二元自旋模型是非相对论的，并且是将自旋额外地附加到薛定谔方程上。在我们上一节中介绍的相对论性量子力学的狄拉克方程中（特别是如果写成洛伦茨协变形式的话），自旋以及正负电子的概念，都作为电子波函数四元旋量的分量，被自然地包含在方程中，充分体现了狄拉克所崇尚的数学美。

自旋是量子力学中的一种可观测物理效应，物理学家们对它的数学模型和物理效应都可以说了解得颇为详细，但是如果要深究自旋的本质到底是什么？这个问题却难以回答，目前的结论只能说：自旋是基本粒子的一种类似角动量的内禀量子属性，它与粒子的时空运动无关，没有经典物理量与它对应。也许你会说，物理学家在解释不了某个概念的时候，就用“内禀”这个词来忽悠人。但科学研究的过程就是如此，任何时候的理论都只能解释有限多的实验事实，解答有限多的问题，而“为什么？”和“是什么？”却可以无限地追问下去。基本粒子的内禀属性除了自旋之外，还有质量、电荷等等，但这些物理量在经典力学中也有意义，因而更容易被人理解，只是自旋并不如此，它没有经典对应物。

不过，自旋的确有它的神秘之处，无论从物理意义、数学模型、实际应用上而言，都还有许多的谜底等待我们去研究、去揭穿。刚才说过，物理意义上可探究的问题多多：这个内禀角动量到底是个什么意思？自旋究竟是怎么形成的？为什么费米子会遵循泡利不相容原理？为什么自旋是整数还是半整数，决定了微观粒子的统计行为？

与自旋相关的数学概念也很有趣。我们曾经介绍过的群论是其一。此外，自旋也与哈密顿发明的的四元数(w,i,j,k)有关。数学家的脑袋里总是盘旋着一些古怪的东西，哈密顿就是如此一位学者，哈密顿（William Hamilton，1805年-1865年）是爱尔兰人，在都柏林度过了他平静而伟大的数学人生。夫妻二人经常沿着都柏林的皇家运河悠哉悠哉地散步，夫人看风景，哈密顿则琢磨数学问题。有一个哈密顿思考多年的问题就是在1843年散步时突然开窍的，他立即将它刻在了金雀花桥的一块石头上：

I² = j² = k² = ijk = -1

这便是哈密顿所发明的四元数的基本运算公式之一。读者也能看出，这3个i,j,k的性质，像是原来的虚数i，却又不是那个原来的虚数i：它们的平方都是-1，这点像是虚数i。但是，如果将它们看着i，那后面一条等式不会成立，这又是什么意思呢？哈密顿将这“虚而不虚”的三个东西，再加上另外一个实数w，结合在一起称之为“四元数”。原来，哈密顿的目的是要将复数的概念扩展到更高的维数，但思考多年都未得其果，散步时灵光闪现才发现他的这种四元数代数必须以牺牲原来的实数和复数中乘法的交换律为代价，那其实也就是上面最后一个公式所表达的意思。根据哈密顿4元数的定义，进行一点简单的代数运算便能发现：i,j,k的乘法是互不对易的。换言之，四元数运算是复数运算的不可交换延伸。

之前曾经说到，泡利将自旋粒子的波函数用旋量描述。旋量也是个奇怪的东西，在三维欧氏空间中，标量是0阶张量，矢量是1阶张量，矩阵是2阶张量，泡利2维旋量的位置在哪儿呢？旋量好像是一个标量和矢量之间“半路杀出来的程咬金”。在一定的意义上，它可以被当作是矢量的平方根。看起来，“平方根”运算产生了不少新玩意儿，狄拉克方程也是由算符开平方而得到的，其中又引进了4维的狄拉克旋量。有关旋量的更多数学概念请见wiki^【3】。

旋转群、四元数、旋量，这些与自旋相关的数学，又都与Clifford代数有关^【4】。

奇怪的是，像自旋这么一个抽象的内禀物理概念在实际应用上也神通广大，它解释了元素周期律的形成，光谱的精细结构，光子的偏振性，量子信息的纠缠等等。现在又有了一个方兴未艾的自旋电子学，要用它来解释物质的磁性，研发新型电子器件，也许将在工程界发挥大用途^【5】。

下面是简单说明，旋量可以看作3维矢量的平方根：

参考资料：

【1】Wolfgang Pauli，Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences，Volume 18 2005 ，Editors: ProfessorDr. Karl von Meyenn。

【2】W. Pauli,"On the Connexion between the Completion of Electron Groups in an Atomwith the Complex Structure of Spectra", Z. Physik 31, 765ff, 1925

【3】http://en.wikipedia.org/wiki/Spinor

【4】http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra

【5】http://en.wikipedia.org/wiki/Spintronics

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