11. 费曼的游戏

费曼是一位颇具直觉的物理学家，他在中学时代得知最小作用量原理时，就被它的简洁和美妙所震撼。这份震撼长存于心，最后终于将它应用到量子理论中，成功铸成“费曼路径积分”的理论。

最小作用量原理的实质是“选择”，处处都存在选择。条条大路通罗马，古代聪明智慧的将军选择了那条最短的路而成功占领了罗马。物竞天择、适者生存，自然选择是达尔文进化论的中心思想。另外，在人生的道路上也是如此，每个人的生命中都会面临好些个抉择的关键点：求学、求职、出国、入伍、恋爱、婚姻等等，不同的选择也许带给你完全不同的人生。从图11-1可见，不同路径的可能性很多，但人一生最终只能走其中一条。

图11-1：人生的道路上面临各种选择

物理的规律也是“选择”的结果。大自然选择作用量具有极值的那条路径。不同路径具有各种选择的可能性，正好与量子理论的概率诠释不谋而合，因而被费曼借来构造量子论。

量子力学中不是已经有了薛定谔方程、狄拉克方程、克莱因-高登方程吗？费曼还要加上一个“路径积分”干什么？

实际上，物理规律的表达有两种方式：局部的和整体的。如用上图中有关人生道路的选择来作类比，那就是说，人生可以局部地看，或也可以整体地看。局部意义上的“抉择”，可能是根据许多当时当地的条件和环境而作出来的，整体的眼光则包含了一定的预测成分。这个比喻用于物理不是很恰当，因为人生道路的选择参与了很多个人的、主观的、人为的因素，每个人的想法都不同，每个人所处的的环境、时代、个人性格、人生经验也都不同，而物理现象却是由普适的大自然规律所决定的。

言归正传，对应于物理规律的局部表述和整体表述，便也有了微分的和积分的数学模型之分。微分方程是从局部的观点来描述自然规律，最小作用量原理和路径积分则是用积分的方式来表达。可举牛顿力学的例子来简单地说明两种方式之区别：炮弹（从A点）被发射到空中，画出一条抛物线后击中目标B。炮弹为什么走这条路而不是另一条路？有两种方法来理解。局部地解释是，在运动的每个瞬间，炮弹因为受到了所在位置的重力及阻力的作用而遵循牛顿运动的微分方程。此时此刻的位置、速度、加速度、和力，决定了下一个相邻时刻（dt）的位置（dx）。无限小间隔dt和dx之间的关系由联系力和加速度的微分方程决定。整体的观点怎么说呢？炮弹从出发点A到目标B，之所以走了这条抛物线而不是另一条抛物线或别的任何路径，是因为沿着这条抛物线，最小作用量取极值。

上述两种方式用到量子力学中，便分别对应于薛定谔方程和费曼路径积分。费曼路径积分，实际上应该被称为狄拉克-费曼路径积分，因为这种思想最初是由狄拉克提出的，当时的狄拉克企图寻找一种能够平等对待时间和空间的量子力学表述方式，他相信最小作用量可以在量子力学中发挥作用。到四十年代，费曼在普林斯顿大学跟着导师约翰·惠勒做博士的期间，将狄拉克1933年的文章加以发展，将部分思想写进了他的博士论文中。不过后来，第二次世界大战爆发，费曼和惠勒都参与到“曼哈顿计划”的工作中，直到战争结束，费曼才又继续研究和完善了路径积分的理论，并将其用于量子力学。

图11-2：费曼路径积分

我们回到上面所举的经典抛射体的例子。根据最小作用量原理，抛射粒子从发射点A到目标B，走的是那一条作用量最小的路线。有趣的是，当我们用整体的观点来解释物理规律时，抛射体好像被赋予了某种“灵性”，它似乎知道它该如何行为，才能走上那条作用量的极值之路。就像救生员穿过草地再游水去救援溺水之人时，他能够用理智进行判断而选出一条到达目的地的最快路线一样。人类这种复杂生物体固然具有灵性，结构简单的经典粒子的“灵性”从何而来，就不知道了。那么，如果被抛射的不是宏观物体，而是微观世界中更简单、尺寸更小的粒子（比如像电子这样的基本粒子）的话，应该就没有什么灵性了吧？不妨想象这些量子力学中的粒子，没有经典粒子那么精明，不会选择作用量为极值的道路，不过它们却有一种类似“波动性”的特殊本领。这种本领使得它们不是从一条路，而是走过了从A到B所有可能的道路后到达B（图11-2）。正如费曼所说：“电子可以做任何它喜欢做的任何事”，往任何方向，前进、后退、拐弯、绕圈……，甚至于时间上也可以向前或向后，最后到达B。换言之，费曼将这种想法应用到量子力学中，对电子从A到B的所有可能的“历史”求和，最后得到和薛定谔方程解出的、联系A、B的波函数同样的结果。人们将这种方法叫做“费曼路径积分”。

当费曼告诉弗里曼·戴森（Freeman Dyson，1923年－）他的“对历史求和”版量子力学想法时^【1】，戴森说：“你疯了！”，对啊，一个电子怎么可能走所有的路呢？并且，电子路径的时间怎么可能是向后的呢？费曼哈哈大笑说，没有什么是不可能的啊！又风趣地说，“倒着时间运动的电子，就是顺着时间运动的正电子嘛，其实这个想法来自约翰·惠勒，是我偷来的！”

如图11-2所示，在费曼路径积分中，对于从A到B的传播子（或称几率幅），每条路径都作出贡献。每条路径对几率幅的贡献，大小相同但相位不同，其相位与沿着该路径的作用量有关，即：几率幅等于e^{iS(A,路径,B)/h}，其中S(A,路径,B)是该路径的作用量值。总的几率幅为所有路径所贡献的几率幅之和。这与经典力学的情况不同。在经典力学中粒子是按确定的经典轨道运动的，这个轨道上的作用量S₀有极值，即，变分(dS)|₀= 0。而在费曼的量子力学诠释中，粒子不是沿1条道路走，而是走所有可能的路。

刚才提到的弗里曼·戴森和约翰·惠勒，两位都是理论物理界的大师级人物，但都没有得到诺贝尔奖。惠勒是费曼的老师，戴森和费曼同为量子电动力学作出了重要的奠基性的贡献，戴森涉猎的研究范围很广，从粒子物理、天体物理、到生命起源，都有所研究，他是没有获得博士学位却成为了数学物理中大师级人物的典型范例。

量子电动力学（QED）是量子理论中的一颗明珠，它使用量子场论的方法，成功地描述了光和粒子间的相互作用，对异常磁矩及氢原子能级的兰姆位移等计算结果，与实验值精确地符合，充分显示了理论的魅力。这个理论开始于上世纪20年代末，狄拉克在建立了电子的相对论运动方程并用狄拉克海的观点预言了正电子之后不久，便认识到，一个真正完美结合相对论和量子力学的理论，不能只描述单个电子，而必须是一个“场”的理论。于是他开创性地将电磁场进行量子化，提出粒子的“产生”和“湮灭”算符的概念。但后来，因为实验精度的限制，这种“场论”方法遭遇挫折，沉寂停止了20年，直到40年代后期……

戴森1923年生于英国，尽管他没有博士学位，却全凭实力在二十多岁就得到物理学家汉斯·贝特（HansBethe，1906年－2005年）的赏识，当上了美国康奈尔大学的教授，那个时候正好物理学家兰姆等人在哥伦比亚大学完成了用微波探测氢原子的实验，取得了非常精确的结果。贝特直觉感到这个实验结果为量子理论的发展创造了机会，之后，日本的朝永振一郎和哈佛的朱利安·施温格用正则量子化的场论方法进行计算，费曼也试图用他的路径积分理论解释这个成果。戴森与施温格、费曼等合作，靠着他强大的数学运算能力，精确地计算出了氢原子的兰姆位移，他们的计算结果与兰姆的实验令人惊奇地吻合，并发展了重整化理论，解决了计算中无穷大的问题，为狄拉克早期创立的量子电动力学翻案，证明了这个理论是正确的。

因为上述贡献，对朝永振一郎、施温格和费曼3人分享了1965年的诺贝尔物理奖，贝特也在1967年得了诺贝尔物理奖。QED的几个奠基者中，唯有戴森被诺奖“忽略”了，可见世界永远不可能是那么公平的。

不过，这几个诺奖得主如今也已经全都归天了，戴森却还活着，92岁的高龄，还经常漫步在新泽西普林斯顿高等研究院的小路上和树荫下。在那儿他已经度过了60多个春秋，写书写文章，关注科学，点评文化，涉猎各个不同的领域。话说回来，戴森只是与诺奖未曾结缘，除此之外，他曾经得到的奖项还是可以列出一长串的，几年前，他还就大众非常关心的“全球暖化”问题，发表独见，引起了不少争议，此是题外话。

有关量子场论的简单介绍，请看下一篇文章。

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