数学是严谨的吗？（1 历史事实）

   在现代科技中，数学的严密性应该是最好的了。可是，数学真的是严密的吗？

1 历史事实

     第一次数学危机：毕达哥拉斯的学生之一，希帕索斯（Hippasus of Metapontum，Híppasos，大约公元前500年）公开证明根号2不是比数（rational），而是irrational。其结果是是，按照目前流传的说法，他们合谋在船上把希帕索斯丢到大海里。作为上帝的公正回报，毕达哥拉斯及其学生们，被烧死或杀死。

      根号2大约发生在公元前400左右的古希腊时期。在公元前370年左右，柏拉图的学生攸多克萨斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了非比数的定义。该方法和狄德金于1872年给出的非比数的现代解释基本一致。

      古希腊重几何，轻算术和代数的倾向，使得第一次数学危机实质上在欧洲持续了2000多年。直到1870年代现代实数理论的建立。

      第二次数学危机：在牛顿和莱布尼兹创立的微积分里（1665年），必须使用无穷小演算。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？这些问题一直没有合理的解答。大帅哥达朗贝尔（Jean le Rond D'Alembert，1717-11-16～1783-10-29）只好宣称“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”来回避这些问题。而贝克莱大主教（George Berkeley，1685-03-12～1753-01-14）则在1734年出专著赞美无穷小量是“已死量的幽灵”。直到1870年代，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论、极限理论，才真正解决了数学分析的严密性。即解决了第二次数学危机。白驹过隙，这转眼一晃就是200多年！

       第三次数学危机：当数学家们还惊魂未定的时候，1901年罗素（Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell，1872-05-18～1970-02-02）发现罗素悖论（Russell's paradox，或称理发师悖论）。这个逻辑学的自相矛盾，再次把数学推向危机的深渊。人们创造的无穷集合、承认无穷基数，以及ZF、NBG公理系统等来解决第三次数学危机。罗素悖论看上去是解决了，但数学的确定性也随之消失了。实际上，第三次数学危机并没有真正解决，它以更深刻的形式顽强延续着。

       1931年的哥德尔不完全性定理，似乎彻底地对数学家们一剑封喉：从此没人敢大声喧哗了。

数学啊！从牛顿到今天，只有30年看上去是严密的。可怜的8.6%！呜呜呜……

2  疑问

   （1）比数与非比数？博主果然是真傻！

     徐光启、利玛窦把希腊文称为λόγος（logos，rational number，“成比例的数”）翻译成有理数。于是，irrational（非比数）就成了“无理数”。

   （2）第三次数学危机解决了吗？

      上帝2003年说：

    “老杨，这些方法我都不满意。要不你去试试？”

     俺当时就被吓傻了，从此就成为“真傻”：真正的傻子。（我们的主啊！你莫教我们担负无力担负的！）

相关链接：

[1] 数学危机 - 维基百科，自由的百科全书

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8D%B1%E6%9C%BA

[2] 第三次数学危机

http://b.baidu.com/view/930502.htm

[3] 胡作玄. 第三次数学危机. 四川人民出版社，1985

中国科普博览，http://www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/4/44/4_44_1001.htm

[4] 莫里斯•克莱因. 古今数学思想.上海科学技术出版社，1978

[5] Encyclopedia of Mathematics（苏联数学百科全书）的wiki版：

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page

[6] 中国大百科全书•数学，中国大百科全书出版社，1988

[7] 俗解Chaitin定理

http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=478066

[8] 2009-11-12，《超级数学与21世纪》

http://bbs.sciencenet.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=78026  

[9] 数学是严谨的吗？（2 逻辑是元凶）

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=749077

[10] 数学是严谨的吗？（3 一个形象的比喻）

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=749285

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