笔者在《关于Landau阻尼》一文中说过：

“笔者觉得，“朗道阻尼”的发现可以说是等离子体物理中最杰出的理论工作之一，但也是讲授等离子体物理时最困难的部分。目前能够看到的等离子体物理教科书（是至少中文的和英文的），都没有把这一部分写好。”

数学上，这个工作很漂亮——朗道（Lev Landau)的证明一如既往地条理清晰、无懈可击。但是物理上如何解释这一“阻尼”现象？“当年‘朗道阻尼’提出的时候，就很难为物理学家们所接受——主要是因为：Vlasov方程本身是‘无碰撞’的，可逆的；而‘朗道阻尼’给出的指数衰减显然是‘不可逆’的。UMCP的吴京生教授回忆过当年他读博士的时候，参加过的一次美国物理学会年会：一位报告人讲完他利用‘朗道阻尼’做的一个工作后，一个非常有名望的物理学家站起来说：How many times do I have to tell you?! There is no such a thing called ‘Landau Damping’! ——我必须告诉你多少次（你才能记住）？！（世界上）根本没有‘朗道阻尼’这码事！”

现在教科书上一般的解释是：

关于“朗道阻尼”的物理机制，普遍认为是波—粒子相互作用引起的。以静电扰动为例，当一种波扰动在等离子体中传播时，其静电势场会“捕获”与其相速度接近的粒子一起运动（即在波的坐标系中，这些粒子会在势场的“峰”之间来回“振荡”），形成相空间轨道的“岛”状结构。我们称这些粒子为“捕获粒子”（trapped particles）。经过一段时间的“相混合”，速度快于相速度的“捕获粒子”被减速、慢于相速度的被加速，使得粒子的速度分布函数在波的相速度附近被“展平”（flattened）。如果分布函数在这一区域是随速度递减的（一般都是这种情况，比如Maxwellian分布），则被加速粒子比被减速的粒子多，粒子们得到了能量——这些能量显然是波提供的。所以波被“阻尼”。反之，如果分布函数在波的相速度附近是随速度递增的，粒子们就失去能量，而波则得到能量增长起来。

这是波和粒子“能量交换”导致阻尼的观点。下面是相空间里“捕获粒子”和“通行粒子”相轨迹的示意图。

但是，从这个图可以看出，即使是“捕获粒子”，其相轨迹也是可逆的。即使是长时间的“平均”，如何实现“相混合”？而且Villani在数学上证明，扰动的“久期”行为是随时间代数增长，“长时间”结果已经进入非线性阶段！

如何解决这一问题？Villani引入了一个称为“regularity”的量，发现对于足够小的扰动，粒子与波之间发生“regularity”而非能量的交换。则在非线性阶段导致Landau阻尼。

事实上，从拓扑上看，每条“捕获粒子”相轨迹都是“稳定”的（即无论多久，仍是原来那条椭圆线；上面的粒子的运动是“确定”的）。对“通行粒子”更是如此。唯一具有“不确定性”的，可能导致“随机”行为的是初始就在分形线（separatrix）上的那些粒子。但是，第一：分形线的“测度”为零，所以这些“不确定”轨道上的粒子所占的比例也趋向零；第二：尽管分形线上粒子运动的轨迹是不确定的，但是分形线本身在线性阶段是拓扑不变的——除非扰动幅度的改变使得“通行粒子”被捕获或者“捕获粒子”被“释放”成为“通行粒子”，引起分形线上的“重联”。但是这种扰动幅度的变化被解释成Landau阻尼的“后果”——逻辑上不自洽！

那么，怎么才能使有限测度的相轨迹变成“不确定”？或者说，随机性（stochastics）是如何引入了？

这只能发生在准线性阶段：在一定的频率区间有几个相邻频率的静电扰动。那么，因为它们的频率、相速度相近，这些“相岛”在准线性阶段会相互“重叠”（overlap）。一个“相岛”的分形线会与其相邻“相岛”中“捕获粒子”的相轨迹（那些椭圆线）相交，使得那些“捕获粒子”都成为“不确定”的。正是这种“相空间有限测度”的不确定性导致了相轨迹的“混合”和分布函数在这一具有不确定性的“相空间有限测度”上的展平。用Villani的语言，就是在线性阶段，基本上整个相空间都具有“regularity”，仅仅在具有零测度的分形线上有所谓“irregularity”。但是在准线性阶段，一旦“相岛”的重叠（overlap）发生，扰动把“irregularity”传递给有限个粒子的相轨迹，Landau阻尼就发生了。

这是笔者个人的理解。没有来得及和Villani讨论。另外，这里说的“准线性”和“非线性”与Villani所用的数学上的非线性不同。在所谓“准线性”阶段，对单一扰动来说，已经是非线性的了；但是我们只讨论波与粒子的相互作用。“非线性”则需要考虑波与波之间的相互作用。

另，Villani的Talk结束后，提问阶段Princeton的秦宏老师就问过为什么不用能量这样的好的守恒量来描述。事实上，根据波与粒子相互作用的理论，可以计算出波与粒子之间的能量转移以及总的能量守恒。所以能量与regularity的关系还是很值得进一步研究的。

还要谢谢xiehuasheng同学，这里是他给的链接，可以找到Landau的原文英译——重要的思想还是要看原始文献的：

http://ifts.zju.edu.cn/forum/viewtopic.php?f=4&t=473