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自然数、皮亚诺(Peano)公理、有限与无限

已有 10386 次阅读 2013-7-3 13:15 |个人分类:幼儿数学|系统分类:科研笔记| 自然数, 皮亚诺, 基数

   人类的数学认知从对自然数的认识开始,具体到每一个个体的认知历程,无论是否有自觉的意识与反思,起点都在自然数。

 

   什么是自然数?

 

   数学家们回答说,我们已经知道答案了,自然数是由皮亚诺公理规定的那些对象,即

   

   皮亚诺公理:

  1.1是一个对象;

  2.n是一个对象,则有另一个对象n+(称为n的后继)

  3.1不是任何别的对象的后继;

  4.m+ = n+ ,则 m = n

  5.(归纳公理)如果(11S中,(2nS中,则n+S中,那么,所有的对象都在S.

 

   原来,数学家们对自然数的认识与小朋友是一样的:自然数就是数出来的东西!

   

   让我们来“数(shu3)(shu4)(叫做“自然数”的东西)

  1.1开始数;

  2.数到n,就一定能数“下一个”n+

  3.1是头一个数的;

  4.每个数(shu3)到的数(shu4)都是不同的;

  5.一直数下去(不能停止,是一个“无限”的过程),你就得到了全部的自然数.

 

   多么有趣的事情,自然数原来就是这么自然的被“数数”所定义。当然,这仅仅是一个形式化的对象的构造,在人们实际的认知过程中,还有同时伴随着意义的建构,数学家们的本领正在于将形式和意义区别开来,并给出逻辑的顺序,在形式确立之后,研究和建构意义。自然数最基础也是最重要的意义就是“多少”的概念,我们在之前的博文“儿童掰手指做算术是不好的毛病吗?”“数与运算——掰手指做算术的数学认知价值”“儿歌与自然数启蒙”中已经有一些讨论,这里进一步讨论有关自然数意义的建构与“有限与无限”的认识。

 

   自然数的“数数”构造过程的意义首先是“多少”,5个苹果,8颗柳树,...有限的概念几乎天然形成:不重复不遗漏,将要数的对象数到n,则说这些对象有“n个”,也就是能够通过数数将全部的对象与{12..., n} 一对一的建立联系,这就是“有限”的认识实质!但这一原则在“全体自然数N”这个显然“非有限”的情形似乎出现了问题,N可以按照简单的方式与它的真的一部分也一对一的建立联系,即与它的部分“一样多”,这是人们在无限认识过程中遇到的一个困惑。古希腊时代,欧几里得就在数学的基础公理中列入了“整体大于部分”的原则,要突破这一习惯的认识并不是容易的事情。但也正是有了这样的困惑,人类对有限和无限的认识不断得到深化。在上述“多少”问题通过“数数”建立起来的“一对一”的原则,仅仅是建立了对象的全体与自然数的一部分{12...,n}N的一种联系,“多少”的意义其实就是这种联系的存在性,即如果能够与{12...,n}建立一对一的关系,则就是有限的情形(再规定空集也是有限的),在有限的情形,这个“多少”的意义与“整体大于部分”的原则一致,否则,则将出现不一致的情形,实际上,这正成为所谓无限的一个基本特征:凡能够与其部分建立一对一关系的对象全体全体一定是无限的(不是有限的)!

 

   认识总是从“有限”开始,但对“无限”的理解既不可避免,在某种意义上也正是数学认识的归宿。从自然数的意义建构开始认识这个重要的问题,也许会使数学的学习更早归入理性的轨道。





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