人类的数学认知从对自然数的认识开始，具体到每一个个体的认知历程，无论是否有自觉的意识与反思，起点都在自然数。

   什么是自然数？

   数学家们回答说，我们已经知道答案了，自然数是由皮亚诺公理规定的那些对象，即

   皮亚诺公理：

  1.1是一个对象；

  2.若n是一个对象，则有另一个对象n+(称为n的后继)；

  3.1不是任何别的对象的后继；

  4.若m+ = n+ ，则 m = n ；

  5.(归纳公理)如果（1）1在S中，（2）n在S中，则n+在S中，那么，所有的对象都在S中.

   原来，数学家们对自然数的认识与小朋友是一样的：自然数就是数出来的东西！

   让我们来“数(shu3)数(shu4)”(叫做“自然数”的东西)：

  1.从1开始数；

  2.数到n，就一定能数“下一个”n+；

  3.1是头一个数的；

  4.每个数(shu3)到的数(shu4)都是不同的；

  5.一直数下去（不能停止，是一个“无限”的过程），你就得到了全部的自然数.

   多么有趣的事情，自然数原来就是这么自然的被“数数”所定义。当然，这仅仅是一个形式化的对象的构造，在人们实际的认知过程中，还有同时伴随着意义的建构，数学家们的本领正在于将形式和意义区别开来，并给出逻辑的顺序，在形式确立之后，研究和建构意义。自然数最基础也是最重要的意义就是“多少”的概念，我们在之前的博文“儿童掰手指做算术是不好的毛病吗？”“数与运算——掰手指做算术的数学认知价值”“儿歌与自然数启蒙”中已经有一些讨论，这里进一步讨论有关自然数意义的建构与“有限与无限”的认识。

   自然数的“数数”构造过程的意义首先是“多少”，5个苹果，8颗柳树，...有限的概念几乎天然形成：不重复不遗漏，将要数的对象数到n，则说这些对象有“n个”，也就是能够通过数数将全部的对象与{1，2，..., n} 一对一的建立联系，这就是“有限”的认识实质！但这一原则在“全体自然数N”这个显然“非有限”的情形似乎出现了问题，N可以按照简单的方式与它的真的一部分也一对一的建立联系，即与它的部分“一样多”，这是人们在无限认识过程中遇到的一个困惑。古希腊时代，欧几里得就在数学的基础公理中列入了“整体大于部分”的原则，要突破这一习惯的认识并不是容易的事情。但也正是有了这样的困惑，人类对有限和无限的认识不断得到深化。在上述“多少”问题通过“数数”建立起来的“一对一”的原则，仅仅是建立了对象的全体与自然数的一部分{1，2，...,n}或N的一种联系，“多少”的意义其实就是这种联系的存在性，即如果能够与{1，2，...,n}建立一对一的关系，则就是有限的情形（再规定空集也是有限的），在有限的情形，这个“多少”的意义与“整体大于部分”的原则一致，否则，则将出现不一致的情形，实际上，这正成为所谓无限的一个基本特征：凡能够与其部分建立一对一关系的对象全体全体一定是无限的（不是有限的）！

   认识总是从“有限”开始，但对“无限”的理解既不可避免，在某种意义上也正是数学认识的归宿。从自然数的意义建构开始认识这个重要的问题，也许会使数学的学习更早归入理性的轨道。