Zmn-1034 薛问天 : 沈卫国与文心一言对话，双方都是错的。微分是函数的微分，不是变量的微分。评《1033》
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 沈卫国与“文心一言”对话，双方基本上都是错的。

微分是函数的微分，不是变量的微分。评《1033》
 

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

 
 一，如果有人在问这样的问题。

【同一个数学符号 ， 在同一篇文章甚至同一页， 同一行中，表示的是不同的对象，这里面是不是个矛盾或问题？】他认为这是矛盾，是问题。还说这还不是矛盾， 还有什么是矛盾？ 为了回答这个问题，我们先举个例子。

有两个方程题。
 (1)，求解方程2x-1=0。得出解x=1/2。
 (2)，求解方程4x-1=0。得出解x=1/4。

请问这里有没有矛盾。

两个方程式的未知数的符号是完全相同的，都用x表示。但是它表示的数值却不同。怎么同一个x，既有x=1/2，又有x=1/4，就认为这是代数学的矛盾。

显然这种看法是不对的。这里不是矛盾。人人都知道，这同一个x是在不同的方程式中出現的，在不同方程式中出現的未知数，自然代表的是不同的对象。

为什么在这里都是【同一个数学符号 ， 在同一篇文章甚至同一页， 同一行中，表示的是不同的对象，】却说它【不是矛盾】呢？

就是说，如果通过上下文，文中说明了，或者文中没说明，但根据我们最起码的知识显而易见地知道，虽然这是同一数学符号，但是是在不同的地方出現的，知道它在不同的地方所表达的不是同一对象，具有不同的值就不是矛盾。不是同一个对象，它们有不同的值当然没有矛盾。

这样我们就可以正确的回答上面的问题了。〖如果通过上下文，我们明确地知道，这个数学符号在不同地方表示的是不同对象，那么既然知道它们是不同的对象，它有不同的值，就不是矛盾。是可以允许的。〗

我认为对此要有明确的认识，我们的允许和说它没有矛盾，是因为我们知道这一符号是在不同的场所表示的是不同的对象。不能说这是数学中，概念和符号具有【灵活性和多重含义】，【确有着多重的含义和用途】。要知道，在同一个地方出現的符号，或者在不同地方出現表达的是同一对象的符号，在逻辑上是绝不允许有【多重含义】的，这里没有任何【灵活性】可言。对于这样的符号表达的对象如果等于多个值，那毫无问题，就是矛盾。
 
 
 二，关于微积分中对微分的定义就是一种典型的事例，

要知道在微积分中，是对函数定义了两个微分。设有一函数y=f(x)，若知Δy=AΔx+0(Δx)。则把其中的AΔx记作dy，称为函数y=f(x)的因变量微分，把Δx记作dx，称为函数y=f(x)的自变量微分。后又证明其中的A是函数y=f(x)的导数A=f′(x)，从而有dy=f′(x)dx。因而函数的这两个微分，都是函数y=f(x)的属性。说它是函数的属性，是指函数相同则它的属性相同，函数不同则它的属性就不一定相同。

有人认为dx.dy是在变量x.y前加d，就错误地以为dx.dy是变量x.y的属性，以为变量相同微分就相同

这显然是错误的。

如果只讨论一个函数，这当然没有问题，但是当把不同多个函数放在一起，当不同函数有共同的变量时，讨论微分就出現一些需要特别关注的情况。例如对于复合函数，
 就有三个函数。对于这三个函数的微分，按照微分的定义，分别有如下等式:

(1)y=f(x)，dy=f′(x)dx，

(2)x=g(t)，dx=g′(t)dt，

(3)y=f(g(t))=h(t)，dy=h′(t)dt。
 这里就有两点需要特别注意。

①，在(1)中的dx是函数f的自变量微分。在(2)中的dx是函数g的因变量微分。虽然分别在(1)和(2)中都用dx表示，但是这是对两个不同函数分别定义的两个不同的微分。为了在把三个函数合起来讨论时不引起矛盾，在(1)中的dx(是函数f的自变量微分)，就用dx1表示。在(2)中的dx(是函数g的因变量微分)，就用dx2表示。而不再用dx表示。

②，在(1)中的dy是函数f的因变量的微分，在(3)中的dy是函数h的因变量的微分。虽然分别在(1)和(3)中都用dy表示，但是这是对两个不同函数分别定义的两个不同的微分。为了在合起来讨论时不引起矛盾，在(1)中的dy(是函数f的因变量微分)，就用dy1表示。在(3)中的dy(是函数h的因变量微分)，就用dy3表示。而不再用dy表示。
 也就是说微分是函数的属性不是变量的属性。在(1)的函数y=f(x)和(2)的函数x=g(t)虽然变量x相同，但函数不同，则相应的微分也不同，一个是dx1，一个是dx2。

在(1)的函数y=f(x)和(3)的函数y=h(t)虽然变量y相同，但函数不同，则相应的微分也不同，一个是dy1，一个是dy3。

当然不同的微分，最好用不同的符号表示。但是在前面的表述中，同样的符号dx，在(1)和(2)中表示的却是不同的微分。同样的符号dy，在(1)和(3)中表示的也是不同的微分。由于根据微分的定义，我们知道它们是对不同函数定义出来的不同微分。我们明确地知道，这个数学符号在不同地方表示的是不同对象，那么就知道这不是矛盾。是可以允许的。而认为它是矛盾就是错误的。
 
 三，所以沈卫国先生的观点，

说【任何一个变量， 对其微分而言， 同时就有两种身份， 一种是其函数的微分， 这种微分不 是其增量。 另一种是自变量的微分， 这种微分就是其增量。 这里面是不是个矛盾或问题？】【在同一篇文章甚至同一页， 同一行中， dx 有时表示 x 的增量（按自变量的微分定义） ， 有时又不是其增量（仅仅是增量的一部分的线性部分。 按函数的微分定义），不同身份、 数值都是微分， 数值还不一样， 这还不是矛盾， 还有什么是矛盾？】

从前面的分析可知，他对微分的理解是错误的，微分是函数的微分不是变量的微分。dx并不是变量x的微分，並不是【同时就有两种身份】同一对象。微分是函数的微分。dx在(1)中表示的是函数y=f(x)的自变量微分。dx在(2)中表示的是另一个函数x=g(y)的因变量微分。已说清楚了，这同一符号dx不是有时这样有時那样，而是在不同的地方，即在不同函数的微分表示中，表示的不同函数的不同微分。既然是不同对象。含义不同数值不同，并不产生任何矛盾。认为这是微积分理论的矛盾是严重的错误。
 
 四，而"文心一言"的回答也有错误，

把dx看作是变量【x的微分】，没有认清这同一符号dx是在不同的地方，对不同函数表达的不同微分，不同对象。却说这是数学中，概念和符号具有【灵活性和多重含义】，【确有着多重的含义和用途】。认为【在微积分中， 符号 “dx”的确有着多重的含义和用途，】

认为同样的符号，【在不同的上下文中可以有不同的含义和解释。】对这种多重含义，读者可以有不同的【看作】和【解释】。甚至认为这是数学的【概念上的微妙之处需要仔细的思考和理解，】【这些看似矛盾的地方会逐渐变得清晰和有条理。 所以， 尽管在表面上看起来像是矛盾， 但实际上这种多重含义和视角是微积分理论丰富 性和深度的体现。 】认为这是数学【作为一种描述变化、 运动和相互关系的工具所具有的 灵活性和适应性。】这些看法都是错误的。没有认清这同一符号是在不同地方表示的不同对象。如果认为表示的是同一个数学对象，可以【具有多重含义】具有【灵活性】，可以由读者去【看作】和【解释】，那当然是严格的数学绝不允许的。
 

最后沈卫国和"文心一言"在这点上达成了一致的意見【同一篇文章、 同一页甚至同一行中出现数值不同 的 dx 确实构成了一个矛盾。 】

这就是两个人的共同错误。因为微分的定义已说清楚了，微分是函数的微分，不是变量的微分。dx在(1)中表示的是函数y=f(x)的自变量微分。dx在(2)中表示的是另一个函数x=g(y)的因变量微分。已说清楚了，这同一符号dx是在不同的函数微分表示中，表示的不同函数的不同微分，不同对象。含义不同数值不同，并不产生任何矛盾。认为这是微积分理论的矛盾是严重的错误。
 
 
 
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