Zmn-1118 薛问天: 承认无穷集合的存在，必须承认它的生成过程已完成，评林益《1116》

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承认无穷集合的存在，必须承认它的

生成过程已完成，评林益《1116》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

承认无穷集合的存在，就必须承认它的生成过程已完成。因为这在逻辑上是明显的事。任何对象的存在，自然是它的生成过程完成以后才会有的。一个对象如果它生成过程不能完成，它怎么可能作为一个对象在客观上存在呢？所以这是理所当然的事。不需要作为数学概念再加以严格的论证。

1，学数学，要搞请有些概念是数学概念，有些不是数学概念。凡是数学概念都有严格的数学定义。或者是原始概念没有定义，却有公理对其确切的含义给以严格的确定。凡不是数学概念，就无此要求。

例如抽象的【无穷】这个概念就不是数学概念，在数学上没有【无穷】这个抽象概念的确切数学含义。但是很多具体的无穷对象，如【无穷集合】，【无穷序列】，【无穷小数】，【无穷编码数】，...等等则是有严格定义的数学概念。特别什么是【有穷集合】，什么是【无穷集合】都有严格的数学定义，这可不能随意含糊地胡乱解释。【有穷集合】定义为能同某自然数表示的集合一一对应的集合。【无穷集合】定义为非有穷集合的集合。

现代集合论用它的集合论公理承认了空集的存在，并集的存在，幂集的存在等而且特别用无穷公理承认了无穷集合的存在。但是并没有具体论述这些集合的生成过程和生成过程的完成。没有把这些集合的生成过程和它的完成作为数学概念来描述论证。因为这在逻辑上是明显的事。任何对象你承认它的存在，自然要承认它的生成过程是已经完成了的。一个对象如果它生成过程不能完成，它怎么可能作为一个对象在客观上存在呢？所以这是理所当然的事。不需要作为数学概念再加以严格的论证。只不过其中有穷集合生成过程的完成容易理解。而无穷集合的生成过程是无穷过程不易理解。需要给以直观解释和说明。并不需要用公理来严格推理和证明。道理就在这里，因为己经承认无穷集合的存在，自然要承认它的生成过程是可以完成的。如果它生成过程不能完成，它怎么可能作为一个对象在客观上存在呢？所以这是理所当然的事。不需要作为数学概念再加以严格的论证。

因而林益先生说【在直观上承认在客观上存在可完成的无穷过程没有理论依据和严格的数学证明，不能作为判断对错的标准。】对于无穷集合的无穷生成过程来说，是不对的。已经承认无穷集合的存在，就说明理论上己经有了无穷集合生成的无穷过程可以完成的依据。

特别是在这里绝不能拿潜无穷观来说事，因为【潜无穷观认为：无穷是有限的延伸，有始无终，不能完成，也不能结束，一直处于不断延伸的动态过程中；】它连无穷集合的存在都不承认，当然对无穷集合的生成过程更不会承认它可以完成。

2，关于小球的例子，就是为了在客观上对无穷过程的完成作些解释和直观说明。不是作为数学概念的定理，进行严格的推理和证明。对无穷过程的完成要解释说明的，主要是三个特点。

①，我们所说的坐标为0.9,0.99,0.999,…点的无穷序列an全在区间(0,1)之中，有无穷多个点。也就是说，无穷过程是由小球经历这无穷个点的无穷过程所构成的。

②，当小球由0运动到1点，在小球到达1，但在此之前，即不包括经过1这个点，就经厉了序列的所有这无穷个点。也就是说，小球经历这无穷个点的无穷过程是可以全部完成了的。不是【有始无终，不能完成，不能结束，】

③，这无穷个点没有最后一个点。也就是说，这个无穷过程可以在没有经过最后一个点的情况下全部完成。

小球运动的轨迹是连续有限的线段，但匀速运动，不能说它不经过这有限线段中的这无穷个点。

林益先生说【小球运动的轨迹是连续有限的线段，度量的标准是小球经过的路程，而不是它经过多少点，与小球运动没有关系，没有小球的运动，同样存在线段，无论线段的长度是多么小，只要大于 0，线段上都存在无穷多个点。】这样的看法太片面了，对小球的匀速运动的描述，既可描述它在一定的时间段经过了线段，也同时可描述它在不同时刻经过了其中的不同的点。例如，如果小球是以每秒1米的匀速运动从0到1米的坐标点的。则在时刻0.9秒时到达和经过坐标为0.9米这个点，在时刻0.99秒时到达和经过坐标为0.99米这个点，在时刻0.999秒时到达和经过坐标为0.999米这个点，......。

在时刻1秒时到达坐标为1米这个点，而且断定，虽然这里是经过无穷个点，在经过这无穷个点的过程中，不会半途中止，但是经过所有这无穷个点的整个过程，不是不能完成，而是可以全部完成，这无穷个点可以全部经过。这是从普通物理的匀速运动规律很容易得出的结论。我想林益先生不会不承认这个结论吧！

林益先生说【请问小球经过的万分之一的路程上的点，如：0.00009，0.000099，0.0000999,…你能够数完成吗？其实也不要你去数，只要能把能够把这些的能够数完成的道理讲清楚，让人信服就行。数学需要的是严密的数学推理，不是谁说了就算了的，这是最简单的道理。】林益问的毫无道理，为什么要去数它呢？不数就不承认它的存在吗？你承认无穷集合的存在，难道你数过全部自然数吗，你没数过为什么要承认它的存在？你承认不承认，这里存在有要经过的无穷个点。我们断定小球到达1这个点就说他经过这无穷个点的过程全部完成，这并不是【谁说了就算了的】，而是物理定律得出的结论，林益先生，你是否连运个物理结论都不承认？

0.9,0.99,0.999,…是一个确实存在无穷数列，每一项都是小于 1 的有限小数，所以当小球运动到1后，肯定经过了这无穷个点。

林益先生承认【0.9,0.99,0.999,…是一个确实存在无穷数列，】【它与自然数构成一一对应，由于自然数数列是无穷数列，因此这个数列也是无穷数列，】林益先生的这个认识是完全正确的。无穷数列同无穷集合这些概念都是在数学上有严格定义的数学概念。无穷数列定义为【它与自然数构成一一对应】的集合。而所有自然数的集合，定义为滿足皮亚诺五条公理的集合。而且由无穷公理和分离公理证明了它的存在。一一对应是存在双射有着非常严格的数学定义。

严格地讲，可以用【无穷集合是非有穷集合的集合】的严格定义来证明此无穷序列中所有项的集合是【无穷集合】。

林益先生虽然承认这是无穷集合。但是他的论述不是数学上证明无穷集合的严格证明。而且提出了他的潜无穷观对无穷的理解，这些理解和论述是错误的 。他说【怎么能称为无穷数列呢？那是因为无穷数列都有一个确定的延伸规律，这个延伸规律就是通项公式，数列的任意的项都一直按照这个延伸规律延伸，有始无终，不能完成，不能结束，一直处于动态延伸过程中，就形成无穷数列。无穷数列的本质就是按照一定延伸规律，处于不能完成，不能结束的动态过程中。】

【无穷集合】在数学上有严格的定义。不是由他这样用潜无穷观来胡乱描述的。说无穷数列是【数列的任意的项都一直按照这个延伸规律延伸，有始无终，不完成，不能结束，一直处于动态延伸过程中，就形成无穷数列。】这是林益先生自已的毫无根据的主观臆想，数学中没有这样的定义。

同理，林益先生说【无穷公理的逻辑表达式{𝒏}∪𝒏就充分表明这个特征和本质。 】也是不对的。无穷公理只是说这个无穷集合具有这样的性质:【当n属于此集合时，则n的后继{𝒏}∪𝒏也属于此集合】。 并没有说这个集合【有始无终，不完成，不能结束，一直处于动态延伸过程中。】

虽然小球经过的这无穷个点是一个无穷数列，在经过这无穷个点的过程中，每经过一个点后，还要再经过后继的点，不会半途中止，但是经过所有这无穷个点的整个过程，不是【不能完成，一直处于动态经过的过程中，】而是可以全部完成，当小球到达1后，经过这无穷个点的无穷过程肯定是全部完成。

我们根本不用考虑【1 是 0.9, 0.99, 0.999, …数列的极限】这个事实。林益通过极限认识到【尽管数列的项无限趋近于 1，但是就是不能达到 1，因此 1 不在数列的项中，】其实不用极限这个概念就能认识到【1不是这无穷个点的最后一个点，这无穷序列没有最后一个点。】因为林益先生本来就承认【0.9,0.99,0.999,…是一个确实存在无穷数列，每一项都是小于 1 的有限小数，】小于 1 的有限小数当然不包括1在其中。

林益先生用此来反对无穷过程的完成，显然在逻辑上犯了偷换概念的错该。他说【无论通项公式𝒂𝒏怎么努力，就是不能完成达到 1 的任务，因此形成不能完成结束的无穷过程，这就是无穷过程的特征和本质。】要知道序列an不能完成达到1，只是说明1不在序列之中，点1不在我们所说的无穷个点之中，并不能说明小球经过这无穷个点的无穷过程不可以完成。林益先生在这里偷换了概念，进行了错误的推论。把序列an不能完成达到1，说成是小球经过这无穷个点的无穷过程不可以完成。

另外，林益所说的【数列 0.9, 0.99, 0.999,…的项数是趋向无穷的，这个延伸过程永远不会结束完成。】这个说法并不准确。在序列中任何项后还有延伸的项，没有最后一项，这是无穷序列存在的特性。不能说无穷序列整体的形成【永远不会结束和完成】。说无穷序列的延伸，【有始无终，不能完成，也不能结束，一直处于不断延伸的动态过程中】，这种说法是不对的。小球从0匀速运动到1，当到达1时，经过坐标为0.9,0.99,0.999,…的无穷个点的无穷过程是全部完成了的。

另外，林益先生对一阳生先生观点的概括【一阳生老师是承认无穷集合存在的，只是认为无穷集合元素的形成过程，即所谓无穷过程不能完成结束，】可能并不确切，一阳生先生的观点是【可宣告第二子过程完成和全部无穷过程完成】的。这同林益先生认为无穷过程不能完成的观点是截然不同的。

林益先生说【存在与完成没有直接的因果关系，因此不能以存在作为判断是否完成结束的标准，否则，得到的结果必然是错误的。】这里又在偷换概念了。我们这里讲的【存在】和【完成】是【对象的存在】和【对象的生成过程的完成】。承认无穷集合的存在，就必须承认它的生成过程已完成。因为这在逻辑上是明显的，对象的存在与对象的生成过程的完成，当然有直接的因果关系。任何对象的存在，自然是它的生成过程完成以后才会有的。一个对象如果它生成过程不能完成，它怎么可能作为一个对象在客观上存在呢？

林益先生说【任意一个自然数都存在后继，表明自然数的生成过程不能结束完成，】表明林益先生认为【自然数的生成过程不能结束完成】，接着林益先生说他认为【对自然数无穷集合中的自然数，都习惯称为任意一个自然数，没有任何人或资料上称“所有自然数”，】

真相大白了。原来林益先生认为真正的【包含所有自然数的自然数集合】并不存在。认为我们所说的自然数集合不是【包含所有自然数的自然数集合】。这就是林益先生的严重错误。

所以在这里我们要明确说明，在集合论中所说的自然数集合。在公理集合论中用(1)(2)(3)定义的自然数集合，在数学理论中用满足皮亚诺五条公理所定义的自然数集合，以及用无穷公理和分离公理证明存在的最小归纳集合即自然数集合，这些无疑全都是【包含所有自然数的自然数集合】。按照外延公理，这些集合的外延都相等，都一样，都是包含所有自然数为元素的确定的集合。不容在此有任何含糊不清的余地。什么【称为任意一个自然数】，要知道这里称任意一个自然数就是【包含所有自然数的自然数集合】中的任意一个自然数。

要从概念上非常明确，在集合论中承认存在的集合，都是外延确定的集合。不存在【有始无终，不能完成，也不能结束，一直处于不断延伸的动态过程中】的无穷集合。

至于【所有自然数都可由 0 经有穷次的后继运算得到】，这是皮亚诺自然数公理5【数学归纳法适用于自然数】的等价命题。在认真读懂相应的等价证明后，就可完全承认。当然这也是同进一步认识自然数的特性有关。了解公理5的特性对区别自然数与其它无穷集合，如同超穷序数的区别有很大的帮助。

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