zmn-006薛问天：谈悖论与康托定理的证明-评欧阳耿先生一篇文章的错误

【编者按：薛问天先生的《谈悖论与康托定理的证明-评欧阳耿先生一篇文章的错误》一文是对欧阳耿先生的文章"罗素悖论与康托在集合论中的两个失误"(《贵阳师范大学学报-自然科学版》2002年8月第20卷第3期)的评论。欧阳耿先生以康托尔的对角线方法与罗素悖论的思路相似为由，否定康托尔定理的证明。认为康托尔犯了“利用悖论中的逻辑矛盾来进行推理论证”的错误。薛问天先生指出，尽管导致产生矛盾的思路有相似之处。但毕竟矛盾是用在不同的地方，应该具体问题具体分析，不能统而论之，认为既然在一处矛盾能导致悖论，就推论认为矛盾在反证法中用于推翻假定也是错误的。该文选自《学术争议问题评论园地》易303（2017-10-09）。】

谈悖论与康托定理的证明-评欧阳耿先生一篇文章的错误

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一。

最近看到十多年前欧阳耿先生的一篇文章：欧阳耿"罗素悖论与康托在集合论中的两个失误"(《贵阳师范大学学报-自然科学版》2002年8月第20卷第3期)。他在文中提出了一种观点，认为罗素悖论同康托在证明实数集合不可数，以及证明幂集的势大于原集的势，所用到的对角线法，在实质上是相同的，从而否定康托的证明。他认为由于它们【有相同的背景，相同的基础，相同的产生机制和相同的存在理由，在本质上是同一类东西。】因而康托的证明犯了【利用悖论中的逻辑矛盾来进行推理论证】的错误。【所以承认罗素悖论和第三次数学危机存在的同时，也就是宣告康托关于……证明的错误，……。】

显然这样的观点是错误的。尽菅罗素悖论和康托证明的对角线法，在方法思路上有相似之处。都涉及自己作用在自己的一种模式，都由此而导致产生一定的矛盾。但毕竟是用在不同的地方，所以作用不同，于是就有不同的效果，得出不同的结论。应该具体问题具体分析，不能统而论之，认为既然在一处能导致悖论，就全部的推论都认为是错误的。

对导致悖论也要具体分析。这个方法用在早期朴素集合论中，由于当时对集合的概念还很模糊，误认为：T={x|乛(x∈x)}这样定义的聚类仍然是集合，从而导致了矛盾，产生了悖论。但是这个第三次数学危机，并未成为使数学毁灭的真正的危机，这个悖论己被引入类的概念以及在公理集合论中引入正则公理而被完全消除。矛盾已被消解，此悖论在现代的集合论中已不复存在。

而康托定理证明中的对角线法的情况，则与此大不相同。它所导致的矛盾，并不是集合论系统的矛盾，并不产生系统的悖论。而是由于反证法的假定所导致的矛盾。由此矛盾推导出此假定不成立，而使定理得证。

二。

从欧阳耿先生的文章可以看出，他对反证法以及反证法开始的假定的作用还缺乏正确的认识。

文中说：【康托在证明中先“藏起”可用对角线法或区间套法构造出的实数.随意给出个仅含所要证明的实数集合中部分实数的序列(1),并假设它含有实数集合中的全部元素.然后用对角线法或区间套法 “弄出”原先所藏的那些元素,说是“发现”序列(1)不含所要证明的实数集合中的全部实数,通过这样一种“先藏起来,然后弄出来给观众看”的作法得出实数集合不可数的结论。】

这完全曲解了康托证明的原意。序列(1)含有实数集合中的全部元素，这并不是康托随意给出和假定的，而是由"实数集合可数"这个反证法的假定推导出来的。正是由这个假定导致了矛盾，才证明了实数不可数这个结论。

关于康托对于幂集定理的证明，欧阳耿先生文中说：【康托在这个证明中引进了一个由(3)式所定义的自我矛盾集合“S0”,证明的思路与作法是错误 的,这个“S0 事件”其实就是罗素所构造的那种引起第三次数学危机的罗素悖论.悖论本来就因为含有逻辑矛盾才叫做悖论.康托在这个证明中不知道自己引进了一个悖论(罗素悖论的出现比康托的这个证明晚了 10年),然后说是发现了“S0 事件”中含有逻辑矛盾 ,再利用这个悖论中的逻辑矛盾来进行反证推理,】

这段论述显然也是错误的。因为集合S0的引入所导致的矛盾同罗素悖论没有任何关系，并不是什么悖论，而是由反证法的假定：S同它的幂集P(S)等势，即S同P(S)之间存在一一映射φ引起的矛盾。导致的矛盾正好证明此假定不成立，得出P的势小于P(S)的势的结论。

三。

另外，欧阳耿先生关于否定实数同线段上的点之间可以建立一一对应关系的论点也是错误的。

欧阳耿先生的文中说：【……实数的有穷性与线段上的点的“无度 性”决定了实数集合与线段上的点集是两个具有本质性区别的集合,之间的元素具有本质性区别,两个集合之间仅具备一种为了方便的、勉强的、形式上的单射关系而不是具备满射关系.那种“线段上的任何点可以用实数来表示”的说法没有任何理论 依据,并且与实数的“有穷性”及点的“无度性”性质相悖 ,不管现有数学中有多少巧妙的“证明”试图劝人们相信“实数与线段上的点一一对应”,那些“证明”肯定都是错误的 .】

所谓点的无度性即对应实数中的无理数的不可度性，所有的无理数都可以表示为无穷不循环小数。所以说实数同线段中的点可以建立一一对应。既然欧阳先生承认数学中有巧妙的证明，还不承认可以建立一一对应，这就不应该了，你如若发现不了证明中的错误，你就应该承认所证明的正确事实。

四。

此外，欧阳先生对于实数的稠密性和连续性，也缺乏正确的认识。

文中说：【任何两个实数都是有穷数,它们之间充满空隙 ,这些空隙中至少含有象微积分中的“dx”这样一类人们公认存在于数学中的非有穷实数又非零的数量形式,更何况还含有连数性都不。具备的其它的“无度性”的几何点.所以,从“有穷性”这个数的性质来考虑 ,实数根本不可能具备连续的条件,任何两个实数之间都充满空隙,实数是不连续的 !从理论上讲,实数的不连续性并没有比有理数的不连续性情况好多少 .从有穷数性的角度来说 ,实数的不连续性完全等价于有理数的不连续性!】

说【任何两个实数……之间充滿空隙】，这是不对的，不符合实教的实际。实数具有稠密性，即任何两个实数之间都有无穷多个实数，其中没有任何空隙存在。不存在它们之间没有实数只有空隙的所谓"相邻实数对″。这就是实数的稠密性。不仅实数具有稠密性，有理数也具有稠密性。任何两个有理数之间都有无穷多个无理数，不存在之间没有有理数而只有空隙的"相邻有理数对"。

关于连续性，是另一个概念。实数的连续性是指：任何一个实数的无穷柯西序列，它的极限也是实数。而有理数虽然是稠密的，但它不具有连续性。即不能保证任何一个有理数的无穷柯西序列，它的极限一定也是有理数。这是实数同有理数的本质区别。

（全文完）

附：

欧阳耿："罗素悖论与康托在集合论中的两个失误"

(《贵阳师范大学学报-自然科学版》2002年8月第20卷第3期)。

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