本文是对老友的系列博文《理解数学-…》以及我们之间纠缠的一些思考。仔细推敲，发现这个纠缠也是关于将哥德尔使用的“有限”理解成“有限”还是“无限”的争执。

       在我的《再论“哥德尔定理与哥德巴赫猜想”》中开始即提到： 

最近老友应行仁在系列博文“理解数学--…”中介绍了数学中的概念、与逻辑等。他也另外通知我希望写些评议。我想该系列远没有结束，很多思想没有完整地表述，因此想等他写完该系列后再做评议。

之所以有这个想法，就是因为对老友的如下了解（这是我在“读《哥德尔定理的证明》”中指出的）：

我注意到，由于特殊经历与个人的特质，他喜好钻研一些带有博弈性质的困难问题。这类问题中往往一些概念和定义不像一般数学问题那样简单明了，而是有较大讨论空间。在这些领域，他能以幽默、诙谐、带有调侃性的语言撰写出基本严格却又较通俗、带有启发性的科普读物。我不能保证他写的所有通俗著作数学上都是严格、正确的（其实真做到严格、正确很难，大数学家的大作中往往也出错，甚至是大错，不是吗？），但相信他是严肃、认真的，尽管经常使用调侃式的语言。 这是一种智慧，我想认识他的朋友都会被他的智慧所折服。

我也注意到，“理解数学”是个极大的题目，需要对数学的方方面面与整体有深入的认识与研究之后才可能以此为题写个“有限”的介绍。正是由于此，我个人绝对不敢以此为题写文章。

但是，根据对老友的了解，他以这一题目写“系列”则不完全出乎我的意料。所以我说“我想该系列远没有结束，很多思想没有完整地表述，因此想等他写完该系列后再做评议”。我的这句话本来还潜含个人的如下估计，即我认为他的系列并不是事先完全计划好的，而是以他所熟悉的数学某一部分作开始，然后通过纠缠的方式将读者纠缠进去，从而产生大量的话题，这样就可不断讨论、不断写下去。这样，“有限”的介绍就引来“无限”的纠缠。不难看出，其《理解数学——逻辑（5）》就带有这样的色彩。

老友确实也有评价数学工作的气魄，例如在提到陈景润“1+2”的证明时，他指出：

“陈景润只是把已有的筛法用到了极致，没有带来新方法的突破所以评价不高”（见其博文http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-691945.html中对评论[23]的博主回复），尽管这一评价与许多专家的截然相反。

老友也非常乐于将我拉入与之纠缠的麻团。他在科学网上的博文《 称球问题》就预示了这一点，他写道：“应用数学所的管克英乘机谈起数学之美，我则写个“美的颠覆”系列，用悖论和数学危机来唱对台戏”。

虽然我强烈不希望参与纠缠式的争论，但还是被老友的邀请，主动或被动地两次在科学网上涉入了与老友的讨论或争论。第一次是关于他所写的“哥德尔定理的证明”系列，他主动邀请我参与讨论。他的邀请写道：

老管，注意到你已看过我写的“哥德尔定理的证明”系列，很希望听到你的评论，尤其是能不能读通他证明中的逻辑思路。有什么地方没有交代清楚，有什么疑点。

这个系列主要是给像你，xx，xx，xx这样数理基础的大同行的高级科普文。介绍自己专业外的知识。列出所有主要的逻辑，供消化理解。所以要花费读专业论文的脑筋。才能吸收。我关心的是否能够比较通顺地阅读，花了脑筋后能否吸收。

我经常不能完全读懂他的表述，例如邀请中“介绍自己专业外的知识”，这里的“自己”指谁是个纠缠的难题。

      事实上，虽然我并不清楚“哥德尔定理”是否是老友自己的专业，是否正式发表过这类学术论文，但他曾提到过他写的一些关于计算机辅助逻辑推理的数学论文（见《平面几何的人工智能机器证明 -- 介绍丁孙荭的研究》的评论[11]、[12]）： 

出自对这方面的兴趣，促使我80年代在美修完纯数学的课后，花了很多时候学习计算机理论和技术。我在美博士阶段的一个工作是用计算机推导复合材料的剪应力特征值方程，得出N种复合材料特征根通用公式（close form），这个推导工作把数学抽象提取和计算机功能都发挥到极限，比如说在推导三种材料时，4N行列式展开公式有15页纸长度，在四种材料时，计算机算了十几小时，耗尽堆栈，程序奔溃。这光凭人力是不可想象的任务。在人工约减和计算机辅助逻辑推理下，推导出并证明了这个通用公式。后续的特征方程根自动求解和特征函数推导计算，也无不是类似的数学和计算机相结合的工作。

呵呵，你不提起我都有点忘了这快三十年前的工作，刚查了一下论文，趁记忆还新鲜大致说一下。这是很实用的一项研究，我老板得了一个基金，研究复合材料强度计算，这计算用p-型有限元，一个关键点要求出结合处应力集中奇点的应力分布值，这就要求出按照复合材料弹性力学方程特征函数，这要先求出特征值，这又要先求出复合材料在这偏微分方程下特征值满足的特征方程的封闭形式。
    比较多的计算机辅助证明是在导出特征方程上，人先把要推测的公式分成几类，从易开始，计算机用符号逻辑推导省去很麻烦，又容易出错的机械劳动。计算机处理不了时，人力参与，简化或归纳，人机不断配合，得出结果。那时看了四色定理机器证明的方式，大致原则是一样的。这个结果是多学科的，我把不同的侧重分别发表在计算数学，应用数学，材料力学，计算机科学等不同学科的刊物上。
   我在WashU当学生时将计算机能力用到极致，耗尽计算机资源引起系统出错的有两次，一是这个证明推理，把计算机系的中型机弄垮了。二是博士后用了医学院的大计算机，周末算了一天多后系统出错，幸好我是迭代式的计算，前一个结果已被记录下来，才没浪费这时间。

所以，在我看来，他有资格介绍哥德尔理论。

而哥德尔理论的确不是我的研究范围。无论如何，虚心学习是必须的，所以仔细读了老友的系列介绍。

实事求是地讲，读该系列及相应的参考文献是很费劲（维基百科有关词条的解释，相对容易懂），至今我并没有真正弄懂哥德尔的证明，但是对以下三点，相信我的判断或理解是正确的：

（1）哥德尔理论中的“不可证明”、“不可判定”或“不可判断”是指，对一个命题，仅使用给定公理系统中的有限方式既不能证明其真，也不能证明其伪。

（2）哥德尔理论中的一个关键，是将自指代性命题“这个命题是不可证明的”巧妙地嵌入普通的公理系统。用维基百科的的话说，这是一种巧妙的“把戏”（见中文维基百科关于哥德尔不完备定理词条的解释http://zh.wikipedia.org/wiki/哥德尔不完备定理）

（3）尽管哥德尔理论解释了现有的数学公理体系的一系列问题，但给我强烈的感觉是，该理论恰恰对其讨论的最基本自然数公理体系中的重大未决问题无能为力，例如对哥德巴赫猜想就无法给出结论。这极大地影响了我对该理论意义的评价。

根据对上述的理解过程，我写了“哥德尔定理的证明”的一些相关文章，越来越明确地表明我的看法。

由此，老友和我之间就纠缠上了。他先后对我提出了一系列驳斥意见，其中较有分量的是：

哥德尔定理中的“不可判定”是指在PM里形式证明不能证其是非的，也就是在给定含有算术公理的系统中，不能用有限化证明的命题。但这个命题可能被系统之外的方法证明，这时它并不与“不可判定的”的断言相矛盾，因为一个指系统内，一个指系统外。比如说哥德尔的命题G（表达了“这个命题在PM里不可证”），哥德尔证明了它是不可判定的，但是这正证明了命题G为真，不过这是从语义即元数学层次的逻辑（证明）。
    你在1里的逻辑也类似，“如果证明了一个这类命题“不可判定”，即意味该命题在自然数中不存在反例，命题是正确的”，这里的逻辑（证明）是在语义上，也就是元数学层次上的判断。所以它不能用来否定在数学层次的“不可判定”。这也是为什么在介绍中一直强调数学和元数学层次的区别。
   实际上，有人认为哥德巴赫猜想在数论上是不可判定的，所以这猜想必须用数论之外的方法才能证明。

（以上摘自《读《哥德尔定理的证明》（续）》的评论[1]）

这篇博文的逻辑与“读《哥德尔定理的证明》（续）”中第一条论断不同，但是结论仍然不成立。
这里逻辑的根据是：“如果哥德巴赫猜想是错的，则一定可用PM中的方法证伪。”这个命题是真的。它的一般形式“如果一个命题可以被证伪，那它不是不可判定的”也成立。
但这能够据此推出“哥德巴赫猜想不是不可判定”的吗？不能。因为上面两个作为根据的命题都是带假设的语句，必须满足假设的前提才能得到结论。“哥德巴赫猜想”是错的吗？不知道。它被证伪了吗？没有。可能被证伪不是条件中的子命题。你也许说，理论上可以逐个试过，如果是错的，它一定会被找到。这仍然是假设在是错的情况，在没有找到前，我们不能判定它是错的。如果它是对的，这意味着你一直试下去不能得到结论。所以在不知道一个命题对错之前，这个计算能否有结果决定于是否有个算法对这问题能够停机（算出结果）。这就是图灵的停机问题。图灵说：“停机问题是不可判定的”，这与哥德尔定理是等价的。仍然没有绕开哥德尔定理。
所以对哥德巴赫猜想不能断言不可能被证明是“不可判定的”。谎言悖论只是一个技巧用来证明哥德尔定理，它不是不可判定命题的必要形式。

（以上摘自《对哥德尔理论中“不可判定”的思考》的评论[1]）

为了更清楚说明我的看法，我又在6月22日专门写了“哥德尔定理与哥德巴赫猜想”，其中为避免不必要的争论，对哥德巴赫猜想的“可证伪”性给出了明确的定义，并使用常用的逻辑证明了：对于可证伪的命题，不能使用哥德尔的方式证明为“不可判断的”。

由于种种原因，他有一个多月并没有在科学网上正面回应。我原以为争论就此停止了。但在其7月25日发布的《理解数学——逻辑（4）》中，在介绍了有限与无穷时，则又重新开启了我们有关的争论。他写道：

什么是无限的推理过程？比如说一个偶数能不能分解成两个素数的和，理论上逐个试过总是可以有个肯定或否定的答案，有人由此得出哥德巴赫猜想不是不可判定的。这其实相似于数论上的定理，理论上逐个试过总是可以有个肯定或否定的答案；计算机程序逐个试过总知道会不会停机。但这里的“试过”可能是一个无限的过程，是不能实现的，不合法。哥德尔的不可判定定理和图灵的停机问题都是否定了这样推理的结论。

针对他的上述看法，我在《再论“哥德尔定理与哥德巴赫猜想”》做了必要的答复，而且在另一博文《经典的数学理论中如何处理有限与无限》则特别针对他屡屡提到的“逐个试过”提出了我的看法。当然，在前一篇的博文评议中我们还具体进行了一系列争论。在争论后，他在两篇博文的最后评议中分别写道：

你说的和我评论中的问题所预期的又不一样。看来我们每次谈的都没有交集，我只能把一些核心的概念再重覆一下。看看能不能说清楚一点。
   什么叫做“不可判定”？这在哥德尔定理里的意思是说，不能从自然数和逻辑公理中用有限的数学对象和有限步骤，证明其真或假。
对于含有“判定”这个概念的命题，里面含有“证明”这个概念，这不是一个数论的命题，而是一个元数学的命题，对于元数学命题要“用哥德尔的方法”证明，意味着要像哥德尔一样把数论命题和证明数论命题的哥德尔数转化成两个数字关系的数论命题，然后用”有限化“的方式证明或证否。
   如果你看过哥德尔定理证明的介绍应该理解我上面所说的内容，也会理解为什么我老在强调“逐个”（哥德尔数），这是沿着哥德尔证明的路径会遇到的事。
   我的错误是没有强调这些概念，急于沿着你思路来质疑，结果我的思想背景是上述的概念，而你除了用“哥德尔方法”作为形容词外，实际上没有用他的方法来证明一个非数论的命题。
   如果在你的反证法证明中把要证明命题的谓词“判定”改为任何数学性质，那是一个数论的命题，是可以这样做的。但是用“哥德尔方法”来证明或证否可判定不可判定的命题，可不是这么回事。
   你可能把不是那么简单的问题看简单了。对于中学大家都学过的数学归纳法里的N的概念，我相信大家还是理解的，我这里谈的都不是对这些简单概念的不理解。所以我们几次谈的都没有交集。
   这也说明无穷里的证明不是那么简单的，除非认为你的讨论对手对这些中学数学证明和极限这些简单概念都不理解。

（以上见《再论“哥德尔定理与哥德巴赫猜想”》的评论[15]）。

  数学的三次危机，第二次发生在柯西极限概念之前，第三次发生在柯西极限概念之后，它们本质都是对于无限的理解。引用“数学史上的三次危机”一文中最后一段话：“承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。”
http://wlifang.zgz.cn/weiji.htm
   当然如果都不在乎这些不常碰到的问题，无限既不神秘也不可怕，凭着教科书里照办就是了，那是写书人考虑的事。

（以上见《经典的数学理论中如何处理有限与无限》评议[3]）。

对他的这些评议，我只公开回复了如下的话：“的确没有交集。你讨论的那些概念与我关心的能否用哥德尔方法判定哥德巴赫猜想是否可判定无关，所以就不讨论了”。

所以这样回复，是因为以下三个原因：

（1）       我的确不明白他的一些复杂说法，并觉得这些说法与我的推理无关。  

（2）       我确实认为他的解释回避了实质性问题：对于可证伪的命题，不能使用哥德尔的方式证明为“不可判断的”。

（3）       在纠缠式的讨论中，他提出“而你除了用“哥德尔方法”作为形容词外，实际上没有用他的方法来证明一个非数论的命题”。对此，我认为这句话不公正、不太理智。

我早已公开声名没弄懂哥德尔定理的证明，所以我不能用哥德尔的思想证明其它的定理。但这不应排除我在理解了哥德尔的“不可证明”的含义基础上，通过我熟悉的（非哥德尔的）普通逻辑指出用其方法肯定不能判断哥德巴赫猜想是否属于“不可证明”。

相反，确实有理由要求我的老友，既然掌握了哥德尔定理，那么就应该用哥德尔的思想判断一下哥德巴赫猜想。如果老友真能严格判断，那就不必争论了，那就雄辩地证明了他是对的，我是错的。事实上，在我的文章中已多次公开提出这一要求，但老友一直回避。其实，我确信老友绝对做不到！

为了不在混乱的纠缠中陷于无谓的争论，甚至失去理智，所以我希望争论就此而止。

但不幸的是，老友的新博文《理解数学——逻辑（5）》中，在兜了一个圈子之后又重新点燃这一争论：

什么是无限的推理过程？比如说一个偶数能不能分解成两个素数的和，理论上逐个试过总是可以有个肯定或否定的答案。这就是个无限的推理过程，因为你无法判断这个过程中，什么时候可以得到结论。

现在，既然问题又摆到桌面，只好再次给出简单回答：

哥德尔的理论中“不可证明”有两个含义：既不可用有限的方式证明其真，也不可能用有限的方式证明其伪。关于哥德巴赫猜想只有以下两种情况：

（1）      如果哥德巴赫猜想是错的，那么就一定可以用有限方式证明其伪；

（2）      如果哥德巴赫猜想是对的，那么就一定不能用有限方式证明其伪。

无论哪种情况发生，都不可能用哥德尔的思想判断哥德巴赫猜想是“不可证明的”。

必须指出，假设哥德巴赫猜想不正确，当反例的偶数N很大时，有限证伪确实不容易做到，但理论上一定能通过有限的搜索（最初等、笨拙的判定办法）判定其伪。因为，哥德尔的理论中从来没有限制过“有限的方式”中的有限到底是多少。老友将这种不确定的“有限”错误地看作为“无限”，认为“这就是个无限的推理过程”。这无疑是引起争论的一个重要原因。

但有限就是有限，无限就是无限。在目前绝大多数数学家使用的理论中，尽管没有限制有限的大小，但有限与无限两个概念泾渭分明，不容混淆。

例如世界著名的俄罗斯数学家亚历山大罗夫与柯尔莫哥罗夫合著的“集与函数的泛论初阶”上册，名著范德瓦尔登著《代数学》上册第一章等都对这些概念有简明严格的介绍。建议为弄清“有限”与“无限”概念的读者读一读这两本书，或读国内的一些数学基础教材。相信，理解这些概念并不困难，读者会感到这些概念与自己接受的教育及自身的经验相符。

当然，这里提到的理论属于“实无穷”理论，尽管上述文献或教科书一般不使用“实无穷”一词。

关于“实无穷”与“潜无穷”是个有争议的讨论题目。我觉得中文百度百科有关“实无穷”词条对这两个无穷的解释较为简明：

数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。康托的朴素集合论就是建立在实无穷的基础之上的。举个形象点的例子就是，一条线段上的点有无穷个，但是这条线段本身又是有限的。

数学上存在着潜无穷与实无穷之争，就如同哲学上存在着唯物主义与唯心主义之争。而且必将长时间的持续的争论不休。数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。按照此观点，自然数不能构成为一个集合，因为这个集合是永远也完成不了的，它不能构成一个实在的整体，而是永远都在构造之中。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。

除了个别领域，数学研究一般不涉入这一争论。当然可以争论，可以由此产生大量讨论文章，但目前还看不出有什么积极意义。

本文认为以下相关的问题也值得指出。老友在举出关于数学归纳法的悖论时，他是这样表述的（见《理解数学——逻辑（4）》）

比如说，下面运用数学归纳法证明是错误的。

集合{1}是有限集，假如{1,2,…,n}是有限集，那么多一个元素的{1,2,…,n,n+1}也是有限集，根据数学归纳法，这对所有n都成立，所以自然数的集合{1,2,3…}是个有限集。

在其《理解数学——逻辑（5）》中，老友指出了上述悖论的一个错误：

实际上，这悖论里前面的“所有”指集合里任意的某元素，后面是“所有”元素构成的集合，是两个不同的含义。

但这个悖论还犯了一个更大的错误， 老友并没有指出。 数学归纳法是是一种严格的数学证明方法，使用它时必须先有一个待证明的命题。而这个悖论并没有给出什么是待证明的命题。如果将悖论里的结论，“自然数的集合{1,2,3…}是个有限集”，作为待证明的命题，那谁还会使用数学归纳法去证明这一命题？ 逻辑上，有可能由于“{1，2，…,n}是有限集”对每个自然数n都正确，通过简单归纳、猜测“{1，2，3，…}是个有限集”。但它是个显然错误的归纳或猜测。这正说明了普通归纳法之不足。

因此，提出这一悖论的一个重大错误是没有先给出待证明的命题，却说是“根据数学归纳法”得出所谓的结论，这无疑将普通的“归纳”与“数学归纳法”混为一谈。这一点是必须提醒读者的。

老友多次让我将哥德巴赫猜想的讨论与此悖论进行比较实为费解，因为它们之间没有任何合理的逻辑关联。

现在，既然各自已亮明自己的看法，无法统一，我个人对哥德巴赫猜想与哥德尔论悖论的讨论就到此为止，不再参与辩论。希望老友不要再或明或暗地重燃关于哥德巴赫猜想的这一争论，除非能用哥德尔的方法严格判断哥德巴赫猜想是否“不可证明”。

   否则本来是有些意义的“有限”讨论会演变成毫无意义的“无限”纠缠。