# [转载] 周末娱乐科普<希尔伯特第13问题>

[whether its solution, f, considered as a function of the three variables xy and z, can be expressed as the composition of a finite number of two-variable functions]

1957年，蘇聯數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫（Андре́й Никола́евич Колмого́ров）的學生、當時19歲的弗拉基米爾·阿諾爾德（Влади́мир И́горевич Арно́льд）解決了這個問題。柯爾莫哥洛夫證明每個有多個變元的函數可用有限個三變元函數構作。阿諾爾德按這個結果研究，證明兩個變元已足夠。之後阿諾爾德和日本數學家志村五郎發表了一篇論文（Superposition of algebraic functions (1976), in Mathematical Developments Arising From Hilbert's Problems）。

[Hilbert's thirteenth  problem is one of the 23 Hilbert problems set out in a celebrated list compiled in 1900 by David Hilbert.  It entails proving whether a solution exists for all 7th-degree equations using algebraic (variant: continuous) functions of two arguments. It was first presented in the context of nomography, and in particular "nomographic construction" — a process whereby a function of several variables is constructed using functions of two variables. Hilbert's conjecture, that it is not always possible to find such a solution, was disproven in 1957.]

History:

Hilbert originally posed his problem for algebraic functions. However, Hilbert also asked in a later version of this problem whether there is a solution in the class of continuous functions. A generalization of the second ("continuous") variant of the problem is the following question: can every continuous function of three variables be expressed as a composition of finitely many continuous functions of two variables?  The affirmative answer to this general question was given in 1957 by Vladimir Arnold. Arnold later returned to the algebraic version of the problem, jointly with Goro Shimura (Arnold and Shimura 1976).

 第13题 以二元函數解任意七次方程[Solve 7th degree equation using algebraic (variant: continuous) functions of two parameters]. 部分解决 1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺尔德證明对于单值函数，答案是否定的；然而希尔伯特原本可能希望证明的是多值函数的情形，因此该问题未获得完全解答。

References:

[4] https://www.ee.cityu.edu.hk/~gchen/pdf/Gottingen_S.pdf ("我们必须知道，我们必将知道")

[5] https://arxiv.org/pdf/0909.4561.pdf (On Hilbert's 13th problem - arXiv0909.4561.pdf "Every continuous funtion of two or more real variables can be written as the superposition of continuous funtions of one real variable along with addition")

[7]费马大定理.pdf

Kolmogorov 的數學觀與業績

◾Kolmogorov 簡歷
◾Kolmogorov 的數學觀
◾Kolmogorov 的數學業績
◾Kolmogorov 的數學教育觀

Kolmogorov 在數學的幾乎所有領域中，都提出了獨創的思想，導入了嶄新的方法，他的業績是非常輝煌的。然而，我見到他時給我留下的印象卻是不修邊幅的溫厚的君子形象，這也許正是偉大數學家的形象吧。

Kolmogorov 的論文我自認為基本上都好好地讀過了，在撰寫本稿時，我又對他整個的研究成果做了一個直接或間接的調查。對其研究的廣度和深度不得不嘆服。由於時間和篇幅的限制，我僅向讀者談一些並不全面的自己的感受。

Kolmogorov 簡歷

1920年進入莫斯科大學，最初對俄國的歷史感興趣， 還調查了15～16世紀的諾布哥羅德的財產登記。以後參加了 V.V. Stepanov 的傅里葉級數（三角級數）討論班，並於1922年（19歲）寫出了關於傅里葉級數，解析集合的著名論文，震動了學術界。其後猶如天馬行空，連續發表了許多重要的研究成果。1925年莫斯科大學畢業，1931年當大學教授，1933年任大學數學研究所所長，1937年成為蘇聯科學院院士。至1987年逝世止，對數學的研究教育作出了很多重大的貢獻。

Kolmogorov 的數學觀

(1)因此數學的研究對象是產生於現實中的。 然而作為數學加以研究時，必須離開現實的素材（數學的抽象性）。 (2)但是，數學的抽象性並不意味著完全脫離於現實素材。 需要用數學加以研究的數量關係與空間形式的種類，應科學技術的要求， 是不斷增加著的。因此上面定義的數學內容在不斷地得到豐富。

(1)僅將研究對象（現象）的形式分離出來， 對這個形式作邏輯上的解析。 (2)弄清與已經確立的形式所不相符的「現象的方面」， 向具有更多的可塑性，更能完整地包含「現象」的新的形式轉化。

Kolmnogorov 在後面的數學史的敘述中也總是注重數學與其它諸學科的關聯， 同時也高度評價了由於數學內部的要求而推動的純數學的發展。 例如，在實際問題的應用這方面，古代希臘要落後於巴比倫， 然而在數學的理論方面，希臘遠遠領先於巴比倫。他尤其贊頌了「存在無限多個素數」、 「等腰直角三角形的斜邊與另一邊之間不存在公約數」等偉大發現。 按著他詳細說明了實際主義的巴比倫數學與理想主義的希臘數學是如何經過中世紀的阿拉伯數學， 發展至歐洲的近代數學的過程，非常有趣。我從這個歷史中學到了許多史實。例如， 我以前知道變換群這個概念是在18世紀後半葉至19世紀初，由 Lagrange（分析）、 Galois（方程式論）等有效地使用了的。但我還想知道現在大學裡講授的（抽象） 群的定義到底是由誰給出的。根據 Kolmogorov 的數學史， 這個定義是由 A. Cayley 在19世紀中葉所給出的。

Kolmogorov 的數學業績

Kolmogorov 寫了上百篇論文，從中可以看出其特點是：「廣泛的研究領域」、 「引入新觀點的獨創性」及「明快的敘述」，其研究領域包括實變函數論、數學基礎論、 拓撲空間論、泛函分析、概率論、動態系統、統計力學、數理統計、信息論等多個分支。 下面結合背景概述一下這些研究。

Kolmogorov 在莫斯科大學讀書時參加了 Stepanov 的傅里葉級數討論班， 從那時（1921）開始，他對數學產生了與趣。當時， 主要研究連續函數的微積分學正在向研究可測函數的實變函數論發展。 這一新的數學領域受到了極大的關注。Kolmogorov 於1922年（19歲）時， 通過引入 $\delta s$ 集合演算， 証明了包含「Borel 不可測解析集合的存在定理 (Suslin)」的新的定理。同年， 他還成功地研究了「（形式上）傅里葉級數在幾乎所有點上 （以後又研究了所有點上）發散的上的可積函數的構成」。 這些結果作為論文分別發表在《Mat. Sbornik》，1925及《Fund. Math.》，1923 (Doklady, 1925)。 關於傅里葉級數、直交函數的展開，他也寫了幾篇論文。 他還嘗試了 Lebesgue 積分的推廣，涉及了 Denjoy 積分的研究。 這些大體上是1930年以前的研究工作。

Kolmogorov 在概率論力面的一大功績是用測度論的語言將概率論確立為現代數學的一個領域。 以往對偶然事件、偶然量未加定義而使用。Kolmogorov 看出了概率與測度的同質性， 在概率測度空間 (Ω,F，P) 上，分別將偶然事件定義為 Ω 的 F-可測子集， 偶然事件的概率定義為這個子集的 P-測度，偶然量定義為 Ω 上的 F-可測函數， 其平均值由積分定義。這樣，概率論的理論展開就變得明確而容易了。 例如投硬幣的遊戲 (coin tossing game) 可以定義為概率空間 $\Omega = (\Omega, F, \mbox{P})$ 上的 F-可測函數序列 $X_n(\omega)$，n=1, 2, ...， 它滿足

$X_n(\omega)=1$或 0 可以分別表示在第 n 次投幣時出現了正面或反面。 這裡出現的數學問題是証明這樣的 $\Omega = (\Omega, F, \mbox{P})$ 及函數列 ${X_n(\omega)}$ 的存在性。有好幾種証明方法。如可取 $\Omega=(0,1)$， F=(0,1) 的 Borel 子集類，P=Lebesgue 測度，

Kolmogorov 受到 A.Y.Khinchin 的影響， 1925年前後開始研究獨立隨機變量的級數的收斂問題及發散時的階數。 按著研究了 Wiener 過程，在這些研究中，Kolmogorov 引入了幾個新的思想和方法，Kolmogorov 0-1 律、Kolmogorov 不等式，Khinchin-Kolmogorov 三級數定理，Kolmogorov 強大數律，Kolmogorov 判別法，Kolmogorov 譜（湍流）等是特別著名的。1939年他還將弱平穩過程的內插、外推問題歸結為傅里葉分析的問題而一舉解決。

Kolmogorov 還將動態系統分為決定論的（古典的）動態系統和概率論的動態系統（馬爾可夫過程），描述前者軌道的是常微分方程，而決定後者轉移概率的是拋物型偏微分方程， 即 Kolmogorov 引入的向前方程式和向後方程式（〈關於概率論中的分析方法〉， Math. Ann. 1931）。在那以前，概率論（泛函分析）也開始得到應用， 概率論的內容變得極其豐富起來。 50年代的馬爾可夫過程的顯著發展的源泉就是 Kolmogorov 的這個研究。 我從 Kolmogorov 的這篇論文的序言中的思想得到啟發， 引入了表現馬爾可夫過程的軌道的隨機微分方程式。這也決定了我以後的研究的方向。Kolmogorov的「基本概念」和「分析方法」。對我來說可謂至寶。

Kolmogorov 從年輕時起，就對數學基礎論，特別是 Brouwer 的直觀主義（有限立場） 有著濃厚的興趣（例如《Math. Zeit.》, 35 (1932), 58-65），關於算法也作了研究。

Kolmogorov 和 J.W. Alexander 共同開創了上同調理論，這是眾所周知的。Kolmogorov 還是同時具有拓撲結構和代數結構的空間理論（線性拓撲空間、拓撲環）研究的開創者之一。

Kolmogorov 對於古典動態系統有著很深的知識，他寫過幾篇重要的論文（《Proc. ICM》, 1954, Amsterdam, 1, 315-333）。他還研究了一般的動態系統（單參數保測變換群‧流），引入了「Kolmogorov 流」的概念。作為流的特性量，大家知道有譜型 (Hellinger-Hahn)。 Kolmogorov 又引入了熵這個新的特性量（《Dokl.》, 124 (1959), 754-755）。毫無疑問，這也為新的遍歷理論開闢了道路。

Kolmogorov 的數學教育觀

Kolmogorov 在莫斯科大學培養了許多數學家，其中不少人已成為國際上的著名學者，這一點廣為人知。他還熱心於高中的數學教育，自己親自寫講義，對數學教育所應有的姿態作了深刻的思考。Kolmogorov 60歲壽辰時（1963），P.S. Alexandrov 和 B.V. Gnedenko 作了題為「教育家 Kolmogoro」的講演。下面參考此文講述一下 Kolmogorov 的數學教育論。 蘇聯的教育制度與日本稍有不同，為小學（7～10歲）、初中（11～14歲）、 高中（15～17歲）、大學（18歲～20歲），在大學裡數學專業與物理專業在一個系（稱作數學物理系）裡。 高中相當於日本的高中2年級到大學1年級， 大學相當於日本的大學2年級至碩士研究生。 有些類似於日本的舊制高中和大學，大學畢業時要寫論文獲取學位， 相當於日本的碩士學位。 博士學位授給大學畢業後寫過許多創作論文的特別優秀的學者。

Kolmogorov 認為，有些家長和教師企圖從10歲～12歲左右的學生中挖掘有數學才能的孩子， 這樣做會害了孩子，但是孩子到了14～16歲時，情況就不一樣了。 他們對數學物理的興趣已很清楚地表現了出來， 根據 Kolmogorov 在高中教授數學物理的經驗， 大約有一半的學生認為數學物理對自己僅有很小的作用。 對於這些學生應該安排簡單內容的課程。這樣， 另一半的學生（並不一定他們都要搞數學物理專業）的數學教育就可以更有效地進行。

(1)算法能力：即對於複雜式子作高明的變形， 對於用標準方法解不了的方程式作巧妙的解決的能力（僅記住許多定理、 公式是不行的）。 (2)幾何學直觀：對於抽象的東西，能夠在頭腦中像畫畫一樣描繪出來並加以思考。 (3)一步一步地作邏輯性推理的能力：例如能夠正確地應用數學歸納法。

(i)講課高明。如用其它的科學領域的例子來吸引學生。 (ii)以清晰的解釋和寬廣的數學知識來吸引學生。 (iii)善於作個別指導。清楚每個學生的能力，在其能力範圍內安排學習內容， 使學生增強自信心。 以上每一條都是有價值的，而理想的教師應屬(iii)類型的教師。

(i)使學生能夠把泛函分析作為日常工具那樣運用自如。 (ii)重視 practical work。

http://blog.sciencenet.cn/blog-498408-1204503.html

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GMT+8, 2019-12-6 09:17