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[转载] 42之谜 终于被破解,留给数学家的1000之内的数字屈指可数

已有 740 次阅读 2019-9-9 21:39 |系统分类:科普集锦|文章来源:转载

 “42 之谜”终于被破解,留给数学家的数字不多了 科研圈 Today

42_(number).pdf

指定一个整数 k,求另外三个整数,使它们的立方和等于 k,这样的方程称为丢番图方程。今年 3 月,数学家求出了 k=33 对应的一组解,最近他们又求出了 k=42 对应的解。


42 不仅是科幻小说《银河系漫游指南》中“生命、宇宙及一切的答案”,也是 100 以内最后一个被破解的整数。现在还想挑战丢番图方程的数学家得赶紧从 1000 以内剩下的几个数字里挑选目标了。


每一个整数是否可以表示为三个整数的立方和?


这个听起来简单的问题,实际上却异常复杂。让我们用数学的语言来表述这个问题:是否存在整数 k、x、y、z,使得对于所有的 k,它们都满足丢番图方程


k = x³ + y³ + z³


丢番图方程是一种代数结构,其独特的性质已让数学家为之着迷了上千年。自上个世纪 50 年代 Louis J. Mordell 以来,数学家们就一直在研究该丢番图方程的解。对于有些数字来说,找到方程的解是很容易的。比如当 k=29 时,k = 3³ + 1³ + 1³ 。但这个问题很快就变得棘手起来,有一些有趣的答案即便真的存在,似乎也根本不可能被计算出来,因为所需要的数字是如此之大。


渐渐地,随着精密复杂的技术和现代计算机的出现,在 100 以内,除了那些已被证明是不可能以 3 个整数的立方和出现的数字之外,几乎每一个 k 值的解都已经被求了出来——最后剩下的只有两个,也是最难的两个:33  42


到了 2019 年 3 月,英国布里斯托大学的数学家 Andrew Booker 在超级计算机的帮助下,花了数周的时间终于找到了 33 的答案。在过去的 64 年中,数学家之所以没能找到 33 的解,是因为在 Booker 设计出他的算法之前,他们的搜索范围延伸到了远到不切实际的数轴远端,一直到 ±10^{16}


k=33 的破解意味着,最后一个未被解决的数字只剩下道格拉斯·亚当斯的粉丝们最喜欢的那个。


然而,解决 42 就需要进入另一个复杂度。Booker 联手麻省理工的数学教授 Andrew Sutherland,共同对 42 发起进攻。


他们通过使用慈善引擎来寻找答案。慈善引擎是一个计算平台,它利用 50 万台家用电脑未使用的处理能力来产生一种全球超级计算机。


在经历了漫长的计算之后,最终,他们得到了答案:


42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³


生命、宇宙、万物的终极答案是 42。现在,数学家终于谱写了 42 的三个整数的立方和。Booker 感到如释重负。他表示,在这样一个游戏中,根本无法确定能找到什么。这有点像是预测地震,只能凭借着一些粗略的概率进行计算。因此在这个游戏中,你可能在几个月之内就能找到想要的答案,也可能要再过一个世纪才能找到答案。


截止目前为止,在 k<1000 的数字中还有几个数字未找到解,比如 390、579、627、795、975 等。但 Booker 和 Sutherland 更感兴趣的却是数字 3。数学家已经证明了 1 和 2 有无穷多个可预测模式的解,但他们却只找到了 3 的两个最平凡的、最简单的解:3 = 1³ + 1³ + 1³, 3 = 4³ + 4³ + (-5)³ , 他们仍然想知道何时还能出现另一个更大的解。


扩展阅读:

立方和的 33 之谜终被破解,100 以内只剩 42 了 (刷网红视频刷出新课题,他解出了这个困扰数学家几十年的方程.pdf)

在《生活大爆炸》完结前,他们证明了谢尔顿猜想 (在《生活大爆炸》完结前,他们证明了谢尔顿猜想.pdf)

参考来源:

[1] http://www.bristol.ac.uk/news/2019/september/sum-of-three-cubes-.html

[2] https://www.quantamagazine.org/sum-of-three-cubes-problem-solved-for-stubborn-number-33-20190326/

[3] https://zh.wikipedia.org/wiki/三立方数和

[4] https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw

[5] http://math.mit.edu/~drew/

[6] Andrew R. Booker. Cracking the problem with 33. Research in Number Theory, 2019; 5 (3) DOI: 10.1007/s40993-019-0162-1 (http://dx.doi.org/10.1007/s40993-019-0162-1 https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf

[7] https://en.wikipedia.org/wiki/42_(number):  



http://blog.sciencenet.cn/blog-498408-1197321.html

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