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打通学生数学学习的任督两脉 精选

已有 5794 次阅读 2011-4-2 21:30 |个人分类:教育点滴|系统分类:科普集锦

    我们常常用“灵性”、“灵气”来形容一个人的聪明,学习也存在“灵性”问题。可惜的是,学生的学习“灵性”被我们的教育磨掉了。

什么叫学习上的“灵性”?直白地说就是“悟性”,在某个方面的“悟性”既可以培养,也可以扼杀。记得二十多年前看到过一篇记者的文章,文章称:“记者用粉笔在黑板上画了个圆圈,分别问大、中、小学生:‘这是什么?’小学生的回答很丰富,有说像太阳的,也有说像月亮的,还有说像烧饼的,大学生的回答最理智:‘这是个圆。’”由此可见教育的强大威力。从另一个方面说,如果教师善于引导,也可以培育学生的“悟性”,换句话说,老师可以帮助还没“开窍”的学生“开窍”,不过这很难,既取决于教师的水平,也取决于学生的学习热情,如果学生根本没有学习的兴趣,老师再高的教学艺术也是枉然。或许有人认为学生的学习热情要靠老师激发,正常情况下是这样,问题在于我们现在的教育有点不正常。正常不正常不在本文的讨论范围内,这里假定学生是愿意学习的,在此基础上,老师能否帮助学生“开窍”就看教师的水平了。武学上有两个名词“任脉“、”“督脉”,一个人如果不能打通“任督二脉”,那他的内功修为永远也不可能达到至高境界,我把这称为武学上的“开窍”,帮助学生开窍就是帮助学生打通“任督二脉”。

今天讲到了可测集的构造问题,所谓可测集的构造是什么意思呢?通俗点说就是可测集长成什么样?如何来描述可测集的模样?当然是用我们比较熟悉或比较了解的集合来描述它们。这属于什么类型的问题?看到这个问题我们想到了什么?

数学的直觉是数学学习与研究必不可少的,如果你缺少基本的直觉,那你对什么都是懵懵懂懂,老师咋讲你咋接受,问题摆在你面前,你不知从何入手。直觉是什么呢?它从何而来?人的思维可以分为逻辑思维和直觉思维,逻辑思维与直觉思维两者是不可分割的,直觉需要靠逻辑支撑,逻辑需要靠直觉分析。逻辑思维的特征是演绎,直觉思维的特征是分析,两者同等重要。我们在以往的教学中过分的注重了逻辑演绎,忽视了直觉分析,结果学生只知道形式化的东西,不知道数学概念与理论的深刻内涵。我们应该看到,数学直觉的培养固然离不开数学逻辑的训练,但逻辑演绎能力的培养更离不开数学直觉。这是辩证统一的关系,“逻辑”与“直觉”正是数学的“任督二脉”,打通了“任督二脉”,学生才会有数学“灵气”与“悟性”。

数学直觉来自哪里?来自生活、来自对已知的领悟、来自“联想”,所谓“灵气”其实也就是要让自己的思维具有“弹性”,能由此及彼地类比与归纳。

回到可测集的构造问题,这里涉及到几个问题:1、什么是好的集合?2、所谓好的集合描述可测集是什么意思?第一个问题不难回答,区间是“好”的集合,进而开集、闭集是“好”的集合。所谓好的集合描述可测集是什么意思呢?显然这是个逼近问题,它与我们曾经见过的什么问题相似?由于这节课时间相对宽裕,我便放开思维,顺便神侃起了微积分中的Taylor级数、傅里叶级数、Weierstrass逼近定理等学生耳熟能详的问题(这些问题也是可测函数要面对的重要问题,而集合是可以与函数建立起对应关系的,只要找特征函数就行了,因此这里讲的集合的逼近可以转换成函数的某种逼近),算是做了一回数学科普。众所周知,如果函数f在闭区间上连续,则可以用多项式序列pk一致逼近于该函数,但要注意,逼近的过程中,多项式pk的系数是在变化的,即

            pk(x)=.sum_{n=1}^{N_{k}}a_{n}^{(k)}x^{n}

xn的系数a_{n}^{(k)}是随着k变化的,这与Taylor级数是不同的,换句话说,不是每个连续函数都有Taylor展开(能不能举个反例?构造这样的例子比构造具有不收敛傅里叶级数的连续函数要容易些),那么傅里叶级数如何?从定义看,闭区间上的每个连续函数都有傅里叶级数展开,问题是这个级数是否收敛到该函数?我们暂且不管按什么方式收敛,先直观感觉一下级数该不该收敛?这需要我们在演绎的基础上做分析。我们可以把傅里叶级数写成指数形式:

 

f(x).sim.sum_{n}c_{n}e^{inx}

 

如果记:

 

 

Sk是否收敛到f?如果我们善于联想,知道区间上的连续函数未必可以用Taylor级数来逼近,那就不难产生一种直觉,Sk可能不收敛到f。为什么?因为如果记t=e^{ix},则e^{inx}=t^n,因此Sk(x)可以写成:

 

 

这不是很像Taylor级数吗?只不过t在复平面的圆上变化而已。既然区间上的连续函数未必有Taylor级数,我们凭什么认为这个很像Taylor多项式的东西Sk(x)一定收敛到f(x)?当然这只是基于逻辑推演的猜测,要验证这个猜测还需要细致的构造,这说明猜测有时也需要依靠逻辑演绎。

这种联想不仅让我们重温了微积分中的经典,而且把几种形式不同但本质一致的东西联系了起来,待到后面讲解可测函数时学生会恍然大悟,原来集合的某种逼近与函数的某种逼近是一致的,正所谓殊途同归。



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