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《平面与立体几何》书评续

已有 4927 次阅读 2016-12-4 08:54 |个人分类:数学|系统分类:论文交流

   两年前我在《数学文化》上发表了《平面与立体几何》书评,对荷兰人Aarts的这本著作给予了极高的评价。


   事实上,初等几何证明在中学教学中扮演极其重要的地位。由于中学数学不敢过高的引入抽象度,因此代数证明范围很小,很多代数计算是以算法形式给出的,并没有给出证明。而恰恰是几何证明是中学证明的主体。三角函数是通过几何定义的,自然三角函数的全部性质的证明都要依赖于几何。此外,甚至某些纯代数问题的解决是依赖于几何的。


   例:讨论二元二次方程组 y=kx+1, x^2+y^2=1的解的个数。


   此题把方程组的解的个数问题转化为直线与圆的位置关系问题,借助圆心到直线距离与半径关系的等价条件予以解决。


   上了大学之后接触现代数学的同学知道,现代数学的证明必须是形式化的,不能从实体中提取结论,而初等几何是实体化的。于是中学时习惯的数形结合法,就面临合法性的考验。甚至最基本的,闭区间[0,1]对应数轴上的线段,都面临考验。


   Aarts的工作,就是把初等几何形式化。他把平面定义为满足六个基本假设的距离空间,并定义了其中的直线和线段。这六个基本假设继承了初等几何的公理体系。于是初等几何中的全部推理过程,在略加修补后都纳入了现代数学框架,其合法性也就不再受到质疑。


   现代数学处理的是抽象的结构,这种抽象结构往往是从现实中提取的,例如上文提到的抽象平面概念。但是必须注意:抽象结构的存在性必须有形式化证明,而不能由现实对应物的存在性加以说明。


   现代概率论的主要研究对象是随机过程。很多随机过程都有明确的现实背景,但是还是必须先有形式构造这一步,然后抽象推理得到的性质也适用于现实对应物。为什么必须形式构造?因为空集中的元素满足任意性质,因此基于不构造事物推导的一切性质无效。



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4 蒋迅 王安良 徐传胜 杨正瓴

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