两年前我在《数学文化》上发表了《平面与立体几何》书评，对荷兰人Aarts的这本著作给予了极高的评价。

   事实上，初等几何证明在中学教学中扮演极其重要的地位。由于中学数学不敢过高的引入抽象度，因此代数证明范围很小，很多代数计算是以算法形式给出的，并没有给出证明。而恰恰是几何证明是中学证明的主体。三角函数是通过几何定义的，自然三角函数的全部性质的证明都要依赖于几何。此外，甚至某些纯代数问题的解决是依赖于几何的。

   例：讨论二元二次方程组 y=kx+1, x^2+y^2=1的解的个数。

   此题把方程组的解的个数问题转化为直线与圆的位置关系问题，借助圆心到直线距离与半径关系的等价条件予以解决。

   上了大学之后接触现代数学的同学知道，现代数学的证明必须是形式化的，不能从实体中提取结论，而初等几何是实体化的。于是中学时习惯的数形结合法，就面临合法性的考验。甚至最基本的，闭区间[0,1]对应数轴上的线段，都面临考验。

   Aarts的工作，就是把初等几何形式化。他把平面定义为满足六个基本假设的距离空间，并定义了其中的直线和线段。这六个基本假设继承了初等几何的公理体系。于是初等几何中的全部推理过程，在略加修补后都纳入了现代数学框架，其合法性也就不再受到质疑。

   现代数学处理的是抽象的结构，这种抽象结构往往是从现实中提取的，例如上文提到的抽象平面概念。但是必须注意：抽象结构的存在性必须有形式化证明，而不能由现实对应物的存在性加以说明。

   现代概率论的主要研究对象是随机过程。很多随机过程都有明确的现实背景，但是还是必须先有形式构造这一步，然后抽象推理得到的性质也适用于现实对应物。为什么必须形式构造？因为空集中的元素满足任意性质，因此基于不构造事物推导的一切性质无效。