《中华文明密码》-元君庙、凌家滩再考（第1部分 元君庙陶缽）

第3节  数之和理论

1  数之和理论定义

数之和是指现人类使用的有理数，只要可以用{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}表示，不管数字的大小如何，顺序如何，把所有的数字当个位数相加，产生2位或2位以上的情况，再当个位相加，最终变为1～9数的形式，其结果是，有理数无论如何庞大，只有9种变化,就是最终归结为{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的结果，即9进制，而数之和理论中的“0”值，如同陶缽的第3三角形的最上层，可以确认，但不单独表示。因此数之和理论与一般的现有9进制的不同之处在于数之和理论中的最高值为“9”数，“0”值不表示。为了与十进制的数值进行换算，除了数之和值用1～9数的表述以外，还将把十进制的数值用“位数”的形式表示。具体的内容是指从有理数“1”开始，所有的有理数为第几位数之和值。例如：十进制中的“1”数的数之和值“1”，为第1位“1”数；“10”数就是数之和值“1”的第2位“1”数，“19”数是数之和值“1”的第3位“1”数，以此类推。

2 数之和理论的意义

数之和理论的重要性，可以归结为以下内容。

第一，为进行复杂的加法大数据处理做准备。即无论存在的有理数数字有多庞大，多位数当作个位连加，最终结果只有1个个位数的数值出现。

第二，为复杂的乘法做准备。现如今，即便有超级计算机，要做多位数乘法仍然需要花费大量时间，但是，当运用数之和理论进行数字与数字相乘，不需要超级计算机，也可以轻而易举地得到结果。具体的数据操作在表1-19以及第2部分的河图计算中解释。

第三，上述元君庙陶缻的三角形间距中，{12,15,18}之间的关系，运用数之和的概念，可以理解为{3,6,9}（1+2=3；1+5=6；1+8=9）的关系。{3,6,9}在中华文明中具有非常特殊的地位。

如果以圆周360度进行考虑，不断地进行分割，1/2圆180度（1+8+0=9），1/4圆90度（9+0=9），1/8圆45度（4+5=9），1/16圆22.5度（2+2+5=9），1/32圆11.25度（1+1+2+5=9），1/64圆5.625度（5+6+2+5=18，1+8=9），依次类推，任何被分割等分角度的所有数之和值均为9数。

其次从圆内的正多边形的角度之和看，接圆的正三角形，内角各自60度，3*60=180度（1+8=9）；接圆的正四角形内角各自90度，4*90=360度（3+6=9）；接圆的正五角形内角各自108度，5*108=540度（5+4=9）；接圆的正六角形内角各自120度，6*120=720度（7+2=9）。依次类推，任何接圆的正多角形内角和的所有数之和值也均为9数。

所以，当把圆分成等分，不断增加等分的数量，其角度总是指向数之和值“9”数，最终圆可汇聚成一个奇点；而圆内正多边形的变化方向刚好相反，随着正多变形的边数增加，内角的角度不断增加，正多边形的面积更加接近于圆，因此数之和理论中的“9”数揭示了一种二元性，“9”意味着“万物”，同时也包含着“虚无”。圆心它既是奇点，也是真空。3*2=6，3*3=9，“三”的变化可以代表为是无穷的变化。

尼古拉·特斯拉（Nikola Tesla，西元1856年－1943年）是塞尔维亚裔美籍发明家、物理学家、机械工程师、电机工程师和未来学家，被誉为人类历史上最伟大的天才科学家，他说：“如果你了解3，6，9的美妙之处，你就拥有通往宇宙真相的钥匙”，但是这话与元君庙仰韶墓地的陶缽设计者至少有6千年左右的距离。

第四，老子哲学的出处。

    老子（约西元前571年—西元前471年？春秋时代思想家、哲学家），在《道德经》第42章中，阐述到“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和”，大致意思是道生一，一就是太极；一生二，二就是阴阳；（以阴阳配合）二生三；三生万物，万物指万事万物，万物中均有阴阳存在，阴阳合才能和谐，可持久（通“9”）。其理论依据应该是上述表1-2的计算结果。只有第3个三角形的底部数字为9，锥刺数合计45数的数之和值为9（4+5=9），之后出现3个以上的三角形数的叠加，无论数量是多少，均按照1～9的数之和值顺序重复排列出现，所以“三”之后，可以产生有规律的万事万物。对于这理论后续有具体的证明。

第五，为何是第2，第3三角形的间距不同。

按照老子的说法，有道才生一，一中包含阴阳，如果用数之和的理论理解，1～9数中，1即代表奇数，又代表偶数，而之后的2～9的数字，可以明确分为{2,4,6,8}为偶数，{3,5,7,9}为奇数，所以第2，第3三角形就代表各自偶数与奇数的开始。

因中国古代没有奇、偶数的称呼，故用阴阳来区分奇偶数，奇数为阳，偶数为阴。“9”是最大的阳数，“8”为最大的阴数，这就是数之和理论的概念，也与数之和值的大数据计算有关。同时因为通过表1-1的三角形组合的计算，证明阴数组合比阳数组合稳定，所以将来可以用“八卦”进行预测未来。

其实“1”数包含阴阳的另一个数学层面的含义，与乘、除法的计算有关。因为在十进制的计算中，作为乘数“1”或除数“1”的计算结果，数值不发生变化，即有理数各自乘以“1”数或除以“1”，等于被乘数值或被除数值。而其他的有理数（暂时不包括“零”值）会发生变化。故实际计算从“2”与“3”开始确认阴阳。

第六，《黄帝内经》中的数之和理论。

《黄帝内经》是中国的医学宝典，是医学中现存最早的一部医学基础理论著作，有些学者认为《黄帝内经》是黄帝时代（西元前26世纪～西元前22世纪）的作品，大多数学者认为成书于战国时期（西元前475年－西元前221年）。 

《黄帝内经·素问·三部九候论》曰:“天地之至数,始于一,终于九焉。一者天,二者地,三者人,因而三之”。《黄帝内经·灵枢·九针论》指出：“九针者，天地之大数也，始于一而终于九”。《素问·阴阳离合论》中又曰:“夫阴阳者，数之可十，推之可百，数之可千，推之可万，天地阴阳者，不以数推，以象之谓也”。《素问·灵兰秘典论》中，歧伯对黄帝说：“恍惚之数，生于毫厘，毫厘之数，起于度量，千之万之，可以益大，推之大之，其形乃制”。

换言之，数之和理论在中国古代就确实存在，以上的内容可以概括为：天与地的至极数，从1开始，至9结束。一是天，二是地，三是人，所以需要天地人三者合。阴阳（奇数偶数）可以从数十推广至百，数千推广至万，天地阴阳，不用数推广，可以用象的形式表示。

歧伯对黄帝说的话，更是强调：隐隐约约似有似无的数，是产生于毫厘的微小数目，而毫厘也是起于更小的度量，只不过把它们千万倍地积累扩大，推衍增益，才演变成了形形色色的世界，所以万千世界可以通过象数来表示，但用象数表示的前提，必须要有数之和理论。

  3 数之和理论中“三”的重要性

 在数之和理论中“三”的重要性在于在做乘法计算时，差3的组合进行乘法计算，得到的数之和的值会反复的出现。通过表1-19，对{3,6,9}、{2,5,8}、{1,4,7}分别进行乘以1～21倍的计算，可以看到{3,6,9}的乘法结果，发现当3的倍数、6的倍数以及9的倍数乘以不同序列数，其自然数结果是各自不同的，但是按照数之和理论，3的倍数出现的横向变化是{3,6,9}的重复，6的倍数出现的横向数之和值变化是{6,3,9}的重复，而9的倍数出现的数之和值不存在变化，永远是9，且序列数{3,6,9,12,15,18,21}，只要序列数是3的倍数，得到乘数的数之和值都为9。再看纵向，序列数是{1,2,3}时，3、6、9的数之和值是{3,6,9}；{6,3,9}；{9,9,9}的变化，并且以后的序列数的增加也遵循着这样的变化规则。

{2,5,8}乘法结果，发现2的倍数的横向数之和值是{2,4,6,8,1,3,5,7,9}的循环变化，5的倍数的横向数之和值是{5,1,6,2,7,3,8,4,9}的循环变化。8的倍数出现的横向数之和值是{8,7,6,5,4,3,2,1,9}的循环变化。纵向看，序列数是1、2、3时，{2,5,8}的数之和值是{2,5,8}；{4,1,7}；{6,6,6}的变化，序列数是4、5、6时，{2,5,8}的数之和值是{8,2,5}；{1,7,4}；{3,3,3}的变化，序列数是7、8、9时，{2,5,8}的数之和值是{5,8,2}；{7,4,1}；{9,9,9}，并且以后的序列数的增加也遵循着这样的变化规则。

同理{1,4,7}的乘法结果，1的倍数的横向数之和值是{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的循环变化，4的倍数出现的横向数之和值是{4,8,3,7,2,6,1,5,9}的循环变化。7的倍数的横向数之和值是{7,5,3,1,8,6,4,2,9}的循环变化。纵向看，序列数是1、2、3时，{1,4,7}的数之和值是{1,4,7}；{2,8,5}；{3,3,3}的变化，序列数是4、5、6时，{1,4,7}的数之和值是{4,7,1}；{5,2,8}；{6,6,6}的变化，序列数是7、8、9时，{1,4,7}的数之和值是{7,1,4}；{8,5,2}；{9,9,9}，并且以后的序列数的增加也遵循着这样的变化规则。 

       表1-19 乘法的倍数计算

      表1-20 乘数的数之和差值

表1-20 把表1-19的数之和值的结果进行后一项减前一项的的操作，发现不同序列号出现的值，不能与完全与表1-3对应，但如果排除序号的因素，自然数{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的乘数的数之和值取9个差值数，与表1-3中，差{10,20,30,40,50,60,70,80,90}在三角形不断增加的结果，再进行差值计算的结果，{1&8，2&7，3&6，4&5}是一致的。

自然数1的乘数差值是{1,1,1,1,1,1,1,1,-8}（@1*8-@8*1=0）；

自然数2的乘数差值是{2,2,2,-7,2,2,2,2,-7}（@2*7-@7*2=0）；

自然数3的乘数差值是{3,3,-6,3,3,-6,3,3,-6}（@3*6-@6*3=0）；

自然数4的乘数差值是{4,-5,4,-5,4,-5,4,4,-5}（@4*5-@5*4=0）；

自然数5的乘数差值是{-4,5,-4,5,-4,5,-4,5,-4}（@5*4-@4*5=0）；

自然数6的乘数差值是{-3,6,-3,-3,6,-3,-3,6,-3}（@6*3-@3*6=0）；

自然数7的乘数差值是{-2,-2,-2,7,-2,-2,-2,7,-2}（@7*2-@2*7=0）；

自然数8的乘数差值是{-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,8,-1}（@8*1-@1*8=0）；

自然数9的乘数差值是{0,0,0,0,0,0,0,0,0}（@0*9=0）

当然，计算过程虽不同，出现数值的次序有所变化，可总体合计结果都一样，横向合计为零，纵行数值不同，但合计也为零。只不过乘法的结果，不如陶缻的加法差值那么直观。

根据表1-19以及表1-20的计算，可以发现，纵向与横向的数值1～9是一个变化模板，纵横各9数，共81数，以后的数之和值完全重复1～9变化的模板，换言之，做乘法，随着序列数的增加，首先把序列数转换为数之和值，再去对应1～9的模板变化数，就可以直接得到结果，而不必每次进行计算。因此，在数之和理论中，无论是加法还是乘法，其变化规律的共性是所有的数之和值会发生重复变化，这应该就是《黄帝内经·素问·阴阳离合论》中的“天地阴阳者，不以数推，以象之谓也”，可以以象代替数，1～9的81种变化模板就是“象”。

同时表1-20中，可以看到9个组合81个差值中有9个“0”（零）值，除去“0”值，正负数为72数。如取正数进行统计，正数为36数，合计值为120。这样的结果与表1-8的差值正数结果合计数以及表1-13的横向后10数差的正数小计值相同，也将是天干地支法的基础。

4考古资料

图1-4 殷墟文字缀合第199片是中国科学院考古研究所编辑出版的《殷墟文字缀合》中的一篇，实线内部分为原图，虚线部分为后添加内容，单看图并看不出其中的意义。如把图1-4分为上下2部分，如图1-5所示，可以看出上下左右的数值相等。但如果按照图1-6分为上中下3部分区分，自然数的值不等，但每个部分的数之和值相等。

图1-5的下半部根据表1-19的计算结果，上半部的{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的2倍数的数之和值是{2,4,6,8,1,3,5,7,9}，在数之和理论中，下半部分的数字从上往下看，是上半部分的数之和值的2倍。或者，下半部分的数字从下往上读（9除外）再往下，是上半部的{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的7倍数的数之和值是{7,5,3,1,8,6,4,2,9}，下半部分数字就变成是从7开始的逆时针变化，且可以循环，因为根据表1-19 乘法的倍数结果当序列数按照{10,11,12,13,14,15,16,17,18}计算的7倍数的数之和值也是{7,5,3,1,8,6,4,2,9}。

而{1,3,5,7}的变化，表1-4中，如果三角形的差值计算反向进行加法时，{9,10}的合计数取正数，会出现{1,3,5,7}的变化现象，如果取负数是{-7,-5,-3,-1}排列顺序。

{1,3,5,7}的合计数为“16”，最终数之和值为“7”，因此元君庙甲氏族墓地有7座空墓，可能与此有关。

             图1-4  殷墟文字缀合第199片   

         资料来源：实线部分源自中国科学院考古研究所《殷墟文字缀合》，科学出版社，1955年4月，p.105。

               数字表示源自黄金易道的新浪博客（http://blog.sina.com.cn/soundnature），2012年7月18日。

根据图1-5，该文物分上下2部分，下半部分是上半部分的2倍或7倍乘数的数之和值，上下合数之和值为“9”；但如根据图1-6分上中下3部分，各自的数之和值均相等，等于“9”。

                                                    图1-5  殷墟文字缀合第199片的上下区分

  图1-6 殷墟文字缀合第199片的上中下区分，根据上中下的数之和值均等于9，左右的合计值也是9。如果按上部与中部的左右合计值进行统计，上部的{12,30,48}为差值18数的等差数列，差值合计36数。中部的{6,14,22,30,72}为差值8数的等差数列，差值合计24数。如按数之和值进行统计，上部的{12,30,48}的数之和1值为{3,3,12}，合计18；{12,30,48}的数之和终值均为3数，差值为“0”（零）。说明在数之和理论中，{12,30,48}的数之和终值相同。{12,30,48}分别为“3”值的第{2,4,6}位数（3数的数之和值为{3,12,21,30,39,48}）。中部的{6,14,22,30}的数之和值为{6,5,4,3},为差值1数的等差数列，差值合计3数。如果从位数角度考虑，{6,14,22,30}各自是{6,5,4,3}值的第{1,2,3,4}位。

  换言之，从各自的数之和值的位数观察，{12,30,48}的位数{2,4,6}合计为12（2+4+6=12）；{6,14,22,30}的位数{1,2,3,4}合计为10（1+2+3+4=10）；最下部的{18}为数之和值9数的第2位，因此，上中下位数的合计为24(12+10+2=24)，对应的上中下数之和值的合计分别为{90,72,18}，总计180，为数之和值9数的第20位（180=9+171=9+9×19；19+1=20；180/9=20）。{90,72,18}分别为9数的第{10,8,2}位，合计20（10+8+2=20），与{180}数是9数的第20位数数之和值吻合。

由此可以发现，合计总数180的位数20与上中下分别计算的位数合计24数，差4数。在这里尚不知计算出来的结果，差4数的目的是什么？但是有一点可以明确，按数之和终值计算上中下值，{90,72,18}的数之和终值均为“9”，代表着可持久性，无差别。但是毕竟在自然数的情况下，各自表示的数值不同，存在2大分类。第1大类，前提是数之和终值相同，所有的合计数的各自位数相加等于总数的位数值，如上述的{90,72,18}对应的数之和终值均为9，位数分别是{10,8,2}，合计20（10+8+2=20）与{180}的9数第20位数相等；而第2大类是数之和终值不同，所有的合计数的各自位数相加不等于总数的位数值，如上述的上中下各自的位数合计为24与{180}数第20位的结果不等，差4数（24-20=4），但如把所有的数之和终值进行合计，上中下数之和终值合计结果为“36”（9+18+9=36），36数的数之和终值为9数第4位数（36/9=4），24-4=20，故在不同数之和值的相加时，有必要将位数合计值减去数之和值合计的位数值，最终的结果至少在图1-6中，可以得到平衡。且这里的24-4=20的“20”的概念可能与陶缻的底部（385-365=20）的“20”概念相同。

所以，在数之和理论中，位数是区分自然数的一个标准，在10进制的自然数转换为数之和值的时候，不能不考虑其位数的区别，需要一分为二考虑问题。

                         图1-6  殷墟文字缀合第199片的上中下区分

      图1-7根据中部的自然数差值为8，下部的数值为9，把上部的数字各自扩大8倍和9倍，所得到的数之和值分别是

数1{8,7,6,5,4,3,2,1,9}和数2{9,9,9,9,9,9,9,9,9}，然后数2减数1，差值为{1,2,3,4,5,6,7,8,0},对应上部的排序，呈现的结果是{1,4,7,2,5,8,3,6,0}，与上部的不同之处在于差一个“9”数，合计值36数与图1-6中部左右的单边合计数吻合，这样的结果与第三部分的八卦有关。

由此根据表1-19的序列数第8列，{1,2,3,4,5,6,7,8,9}乘以8得到的乘数数之和值为{8,7,6,5,4,3,2,1,9}，合计为45，第9列{1,2,3,4,5,6,7,8,9}乘以9的数之和值是{9,9,9,9,9,9,9,9,9},合计为81，差值是“36”（81-45=36），加之“36”的数之和值为“9”，是数之和值“9”数第4位，所以9放在最下面是有道理的，代表左右平衡，“9”为最高数。

此外上半部分的数字，{3,6,9}的合计数是18（3+6+9=18）；{2,8,5}的合计数是15（2+5+8=15）；{1,4,7}的合计数是12（1+4+7=12），这与陶缻中的三角形间距{12,15,18}是有关联的，所以此文物应该也是目前支持数之和理论的重要考古依据之一，但比较元君庙陶缻，该文物是残片，并不完整。

                          图1-7  殷墟文字缀合第199片的乘法计算

5 陶缻的除法余数计算

按上述的陶缻第3三角形可以成为日法“九九八十一”的逻辑，故其他9个三角形底数为10数，10乘10得到10的2次方，一个三角形可以成为10数平方，9个三角形就可以成为10数的18次方（2×9=18），以81为分母，从10数的平方开始除以81数，将有什么结果呢？

表1-21是10数的1-20次方除以81数后的余数结果。表中被除数为10的1-20次方，除数81，商取整数，再把整数商值乘以81数，得到81的倍数，之后原先得被除数减去81数的倍数值，得余数。可以观察到2-10次方的余数分别为{19,28,37,46,55,64,73,1,10}，合计333，数之和值为“9”。如以{19,28,37,46,55,64,73,1,10}的数之和值统计，各自均为“1”，9个次方的数之和值余数合计仍然为“9”。同理10数的11-19次方的结果也与2-10次方一致，可循环。因10的1次方除以81没有大于零的整数商，也不存在正数的余数，故从10的2次方开始，2-19次方为2个循环，9个底数为10锥数的三角形，10的18次方设计同样有效，只不过这里的18次方指从10的2次方开始的18次方，第2与第3三角的顶部间距18，就是暗示着从2开始的18数，10的2-19次方计算可以循环。而表1-21详细列出数值的变化的另一个原因，这样的计算结果，除了具有实际的意义以外，数值的变化视乎也与陶缻的三角形图形相似。

因陶缽的顶部倒置的5个三角形，代表10的10次方，因除数为“1”值的结果等于被除数，故表1-22是10数的1-10次方分别除以2-9数的余数值。

      表 1-21 10数的1-20次方除以81数的余数计算

 表1-22 10数的1-10次方除以2-9数的余数计算

从表1-22中，可以看到{2,5}数的余数为“0”，{3,9}数的余数为“1”，{6}数的余数为“4”，且除数9得到的商取整数的数值就是陶缻三角形底数为10的数值，只是排列需要居中，这应该是陶缻的三角形设计源泉。其余{4,8}、{7}各自不同，{4,8}分别在10数的1次、2次方之后，余数为“0”。{7}的余数按{3,2,6,4,5,1}循环，10的1-6次方是一个循环。如果对{4,8,7}的不确定值进行观察，{4,8,7}的合计值为19数（4+8+7=19）。

表1-23 10数的2次方除以2-100数的余数计算

表1-23是10的2次方分别除以2-100数的余数统计，发现2-50数的余数变化为一个大类，51-99数为另一个大类。在除数2-50的49数中，前11数（2-12数）看不出具体变化规律，之后出现余数差具有递减的趋势，具体计算在表1-30中表述。而后50数（51-100）的余数差保持“1”数递减，如果把余数和前项的除数相加，各自的合计数均为100（10的2次方），且余数按数之和值进行统计，最后49个数值（51-99数）的数之和值合计为“235”数，与之前19年用235个塑望月相等，说明元君庙陶缽的数据均是通过实际计算产生的结果，且数之和值的差值合计为“0”，这里的除数100的余数为“0”，数之和值不表示，但有确认；如不确认则数之和差值的合计为“-1”（0-1=-1），即最后一个50组合的数之和差值为“6”数。

因表1-21至表1-23的计算具有实际的数学以及天文意义，故表1-24和表1-25分别将10数的3次方除以2-1000数的余数和10数的4次方除以2-10000数的余数进行统计，其结果是表1-24的10数的3次方999个余数，按500数为分水岭，前499个数（2-500数）的中，开始的40数（2-41数）余数没有规律，第42数开始出现余数差递减的趋势，具体计算在表1-30中表述。而后500数（501-1000数）与10数的2次方的规律一致，余数差保持“1”，余数和前项的除数相加，各自的合计数为1000（10的3次方），最后49个数值（951-999数）的数之和值的合计数为“235”数。

    表1-24 10数的3次方除以2-1000数的余数计算

 表1-24-1 10数的3次方除以2-1000数的余数计算（后50%）汇总

根据以上的汇总，可以看到在10的3次方的余数计算中，后500个余数的个数出现值，按50数分类，其数之和值的出现次数以{5,6}数交替出现。如按后499数的个数合计统计，数之和值{1,2,3,4}数各自出现56次；{5,6,7,8,9}数各自出现55数，@56×4+@55×5=499。

按数值统计，{1,2,3,4}合计10数，{5,6,7,8,9}合计35数，499数的数之和值合计为2485（244+255+248+250+252+245+256+240+260+235=2485=@56×10+@55×35），因最后一个50数（951-1000）组合的余数数之和值为49数，而非50数，故按501-950除数的450数9个组合进行统计，合计为2250。最后一个50数（951-1000）组合的余数合计235与表1-23的除数最后50数（51-100）的余数数之和值相等。

以下表1-25是关于10的4次方的计算。由于数值太多，只选出一部分的数据进行讨论。具体是前499数（2-500数），中间的500数（5001-5500数）以及最后的500数（9501-10000数）。在除数2-136数的余数中，基本找不出规律，从137数开始出现余数差递减的趋势，具体计算将结合10的2次、3次计算在表1-30中一并表述。

这里首先讨论10的4次方，10000数的后50%（5501-10000）的变化规律，比较10的2次、3次计算结果，同样10的4次方从除数5501开始出现余数差值为“1”，且余数加除数等于10的4次方；最后的一个50数（9951-10000）组合的余数数之和值个数为49数，49数的数之和值合计也为235数。

表1-25的最后，对除数5501-6000以及除数9501-10000的10组合的小计数进行汇总，发现10的4次方的最后10个组合（9501-10000）的小计值与表1-24的10数3次方的最后500数（501-1000）的结果完全一致，与除数5501-6000相比较，各自第10个组合（5451-5500）与最后第10个组合（9501-10000）的差别在于用数之和值进行统计，最终结果是一致的，但实际情况是，10000数除以自己本身10000的余数为零，数之和值不表示。数之和值以1-9数的表示形式，遇到“0”值不表示，因此从除数的角度计算余数的数之和值，只要除数的数之和值相等，余数的数之和值也相等，不必一一计算，但前提是余数不能为“0”值，如果遇到“0”值，就没有相对应的数之和值。

根据以上的结论，除数以50数为一个组合，进行分类的必要性就产生了。

因为{50,100,50,200,250,300,350,400,450……}，在以50数的等差组合中，数之和值为{1,2,4,5,8}均有可能被10的N次方整除，余数为“0”值。而{1,2,4,5,8}的合计数为“20”，元君庙陶缽的底边长度385与365的差值“20”，可能与余数的这个规律有关。但具体情况还需具体分析，例如在10的3次方的情况下，1000除400数或800数就存在余数；在10的4次方的情况下，10000除800数也存在余数，所以，除数的数之和值{4,8}，在什么情况下会出现余数，是特别需要关注的。因此，以上“除数的数之和值相等，余数的数之和值也相等”的结论，是指10的N次方的后50%的情况下的结论，不适用于前50%的余数。

表1-25 10数的4次方除以2-10000数的余数计算

表1-25-1 10数的4次方除以2-10000数的余数计算汇总（3次方汇总为比较对象）

以上根据除数的数之和值计算，可以发现，除数的数之和值相同，只要余数不为“0”值，则余数的数之和值也相等。但{1000,5500,10000}的数之和值均为“1”数，5500有余数的数之和值，{1000,10000}的余数数之和值不表示，故需要另外考虑。同时可以看到，以50数为分类标准，除数差“50”的数之和值从550-1000的变化是{1,6,2,7,3,8,4,9,5,1}进行循环。

      表1-26  10数的5-8次方除以后50%数的余数计算

   在表1-26中，当数之和值“9”用“0”值代替，50数的数之和值合计数为“190”数。即按数之和终值计算，只要把以上的余数数值除以9数后，再得到余数值就是数之和终值，因此，9数的余数为“0”，这里暂时不进行调整，合计值190可以认为是1-19数的连加合计数{（1+19）×19/2=190}。由此可知19年235个朔望月是计算结果，而且具有实际的天文意义。

如把表中的“0”值替换回“9”数，表1-26中每50数有6个“0”值，6×9=54，54+190=244，从数之和终值角度考虑，小计值190或244，其数之和终值均为“1”数，没有差异，但从“1”数位数考虑，190是第22位“1”（1+21×9=190），244是第28位“1”（1+27×9=244），相差6位（28-22=6）。这概念与第3部分的先天八卦有关。无论如何，按9数的余数计算数之和值，比较之前的加法连加计算数之和终值要简单地多，且可以快速计算。

其实从数学角度进行考虑，任何以10的N次方数区间计算（1～10的N次方），除数用后50%序列数的数值进行除法计算，商取整数均为“1”数，故余数等于10的N次方减除数。以表1-26为例，因10的N次方从5次方至8次方，除数作为序列数，根据10数的次方数不同，除数值中间增减“0”值；而余数值是根据10数的次方数不同，数值中间增减“9”数值，故以数之和终值进行统计，余数的数之和值与在10的N次方下，其数之和值结果是一致的。唯一需要注意的是，当除数的数之和值为{1}时，是否会出现余数为“0”值的情况。如表1-27所示，在10的N次方区间中，取后50%余数差值为“1”数的情况下，最后一个末位数（10的N次方本身）余数为“0”，因此数之和值不表示。且除了末尾数以外，其他不为“0”值的余数、按数之和值进行统计，除数的数之和值与余数的数之和值的合计为“10”数。

         表1-27  10数的2-4次方后50%数的50（或500）倍数差计算

表1-28继续探讨10数的2-4次方后50%数的余数与数之和值之间的关系，与表1-27的不同之处在于，表1-27是取余数与除数的各自数之和值进行合计。而表1-28，是取余数的后2位数值，即551数取51数，5551数同样也取51数，与余数的数之和值进行加法。其理由是，在前表1-21和表1-22中，观察商的N倍数变化，可以发现只有数值的后2位数发生不同的变化，其余的数值变化，只有增减“9”或“0”值2大类别。而“9”和“0”值无论个数多少，对计算该数值的数之和终值没有影响。同时，在表1-27中已经得到除数与余数的各自的数之和终值合计为“10”（余数为“0”值除外）的结果，所以，表1-28计算的目的不是为了计算除数与余数的数之和终值合计数值，而是计算二者合计后，产生合计值的种类变化。

     表1-28  10数的2-5次方除以后50%数的余数数之和值计算

表1-29为表1-28的汇总结果，发现10的2次方，除数加余数的数之和终值，合计值的数之和终值均为“1”，产生“1”数共有6种{55,64,73,82,91,100},个数分别为{4,9,9,9,9,9},合计49数。之后，10数的3次方出现的数值，同样是相同的数之和终值，如“5”至“1”数的50数，出现的数值合计数分别有7类和6类的情况，100个余数值中合计值出现13大类；而最后一个数之和终值为“1”的100个除数（开始数901-结束数1000）中，余数的数之和值只有99个数值，出现的合计数值各为6大类，99数合计出现12大类。

而表1-29中的10数的4次方出现的数值，在数之和终值为“1”的100除数中，有2大类，一大类以余数有2个50个数的情况，100个数值中合计出现13大类数值；另一大类是最后的100除数，余数99数，出现的12大类数值，且最后500数的数之和值为“5”至“1”数的数值与10的3次方的数值完全相同。

因此，在天文历法上采用最后一组50数除数，49个余数的数之和值合计值“235”数作为19年太阳与太阴（月亮）的运行变化调整值，235数可以实现阴阳平衡，而最后100数组合，其出现不同类别的数值按12大类计算，故阴阳合历的历法按1年12个月，而非13个月。

      表1-29  10数的2-5次方除以后50%数的余数计算汇总 

根据表1-29的汇总，10的3次方与10的4次方，如综合在一起，取相同结果，按数之和终值统计，{5,4,3,2,1}的合计数为“15”，但因“1”数有2种分类，故最终按{5,4,3,2,1,1}计算，合计数为“16”，在同一个10的N次方的情况下，15数的变化应该是常态，但当需考虑最后一个50组合数时，数之和值的总计应该按“16”数计算。而15与16的变化，与太阴（月亮）的满月，按每个月30天计算，是月中15日还是16日的变化有关。

但10的4次方与10的3次方依然存在差异。因10的3次方的合计数之和值只有产生{5,4,3,2,1}的分类，而10的4次方除了{5,4,3,2,1}以外，实际是{5,4,3,2,1,9,8,7,6}的循环，即在4次方的后50%的除数中，除数5001-5450的个数变化是一个循环，之后5451 - 5900是一个循环，每50数出现的数值有所不同，但是出现的个数是循环变化。因此，除数5451 -5500的个数与5001-5050的个数值相同，均为{4,9,9,9,9,9,1}，合计50数。之后出现的数之和值{9,8,7,6}与之前的{5,4,3,2,1}比较，每100个数中的数之和值个数总数相等，均为100数，但对应的个数出现值是之前的后一半，这样的结果至数之和值{6}的情况下，除数第5801-5900的最后1个100数，出现的个数不再是13种类，而是12种类。代表着在数之和值{6}的情况下，出现的个数现象是12种类。从除数第5901开始，完全与除数第5501-5900的结果一致，至除数第9500数，有4个{5,4,3,2,1,9,8,7,6}的大循环，其中除“6”数以外的数之和值出现13个种类的数值，“6”数出现12个种类的数值。最后除数第9501-10000的500个数之和值为{5,4,3,2,1}，但其中的“1”数为出现12个种类的数值。而因为最后一个组合值的数值为“235”，由此，最后一个组合值出现的12种类分类比作为1年12个月，按19年朔望月为228个月（12×19=228）计算，再加7个月调整（228+7=235），235个朔望月使得阴阳平衡。

10的5次方的结果与4次方是基本相同的，只是除数与循环的组合扩大10倍。从除数50001开始，至50900的个数变化是一个循环，以900数的数之和值{5,4,3,2,1,9,8,7,6}进行循环，且数之和值为{6}数的情况下，出现数值种类为12大类，最后一个组合（除数第99501-100000）的500个数之和值为{5,4,3,2,1}，最后一个数之和值{1}的出现数值种类为12大类。

由于10的5次方与4次方的区别在于后50%的除数数量不同，其他余数的数之和值以及取除数最后2位与余数的数之和值的合计数也均相同，故5次方的汇总表示的只是前500数以及最后一个50数的组合值。由此，证明老子的“道生一，一生二，二生三，三生万物”的理论不只是哲学理论，而是数学中的数之和理论。10的1次方就是10数本身，除了个位数，2位数以上的除数不存在整数的商值，故从10的2次方开始至4次方，{2,3,4}次方得到的余数结论，之后从5次方开始就反复出现，无需在数之和值的层面上重新计算。对于后50%的除数只要数之和值相同，余数就相同，唯独N次方的最后50数需要特别关注（其实计算结果也是一致的）。

在中文里有个“一分为二”的成语，如今的解释指事物作为矛盾的统一体，均包含着相互矛盾对立的两个方面。从以上10的N次方余数计算可以观察到，N次方的后50%除数和余数的差值为“1”，数之和值以“1～9”数循环，最后的50数组合，因除数为10的N次方值本身余数为“0”（零值），故余数的数之和值为49数，49数的数之和值合计值为“235”。同时非最后50%的除数，以50数为一个组合，每2个组合100数出现的组合数值种类有{13,12}2大分类，数之和值为“6”数，或为最后一个100数组合的数之和值“1”数，每100数的出现种类为12大类。其余的数之和值为{2,3,4,5,7,8,9}（合计38数），每100数中均为13大类的数值出现，所以“一分为二”在这里代表着后50%的余数计算结果有规律可循，是发现宇宙自然规律的开端，这些变化规律正是元君庙陶缽设计的理论基础。而且，除了元君庙陶缽的设计被具体运用以外，还将被运用到后续的之后的河图洛书以及先天八卦的体系中。换言之，10的N次方余数计算是中国古代天文历法的起始点。

后50%的变化如此具有规律，前50%是否也具有规律呢？依然需要有“一分为二”的哲学理念，首先表1-30根据以上10的2、3、4次方的余数以及余数差值，对应的递减等差值的余数进行了统计。

在表1-30中，开始数与结束数指的是除数的数值，同时对余数，以前数值（上数）减后数值（下数）产生的差值最为一个递减指标，发现在以10的2次方中，从第13位除数开始，余数的前后差为“7”数，之后以{6,5,4,3,2,1}递减，同时余数的最大差值数与同差值产生的种类数相同，如2次方余数的前后最大差“7”数，种类数有7种；3次方中余数的前后最大差“23”数，种类数有23种；4次方中余数的前后最大差“72”数，种类数有72种，5次方中余数的前后差最大“230”数，种类共有230种，比较3次方扩大了10倍。

同时，观察2-5次方的递减个数合计与递减个数差合计比较，递减个数合计分别为{88,959,9864,99568},以前数减后数，差值{-871,-8905,-89704}，并没有特殊规律，而对递减个数差的合计进行统计，2-5次方的合计数分别为{-48,-498,-4998,-49998}，按前数减后数，差值{450,4500,45000}，说明计算递减个数差是有必要的。如果以“48”数的数之和终值“3”进行统计，所有的{-48,-498,-4998,-49998}的绝对值对应的数之和终值均为“3”数。换言之，以“48”数为基础，10的次方值的变化，带来的结果是“4”与“8”数之间增加多少个“9”数，3次方增加1个“9”数，4次方增加2个，5次方增加3个，N次方增加（N-2）个（N≥2）的“9”数，而数之和终值保持不变。

如果对绝对值数之和终值为“3”数的{48,498,4998,49998}的分别属于哪位数进行统计，各自为{6,56,556,5556}（48=3+5×9，1+5=6；498=3+55×9，1+55=56；4998=3+555×9，1+555=556；49998=3+5555×9，1+5555=5556），按前数减后数，差值{-50,-500,-5000}，均为“5”的倍数，按绝对值的数之和终值考虑，均为“5”数。

因10的N次方的后50%是一个有规律可循的部分，其差值递减个数差合计，2-5次方的结果分别为{-33,-333,-3333,-33333},是“3”数的不断增加，按前数减后数，差值{300,3000，30000}，作为整体有必要一起考虑，但如把后50%去除，只计算前50%的差值等差结果，发现扣除后50%的合计数，前50%的差值递减个数差合计分别为{-15,-165,-1665,-16665},以“15”数为基础，10次方的次方值的变化，结果是“1”与“5”数之间增加多少个“6”数，3次方增加1个“6”数，4次方增加2个，5次方增加3个，N次方增加（N-2）个（N≥2）的“6”数，由于{-15,-165,-1665,-16665}取绝对值的数之和终值分别为{6,3,9,6}，是{6,3,9}的循环变化。按前数减后数，差值{150,1500，15000}，前50%的等差变化，随着10的N次方的变化，在“15”的基础上，增加15乘以10的（N-2）次方（N≥2）的数值。

这结论应该与元君庙陶缻的三角形间距15毫米，有关联性。不包括第2、第3三角形间距的其他三角形的等距离间距15毫米，代表着各个三角形在10的2次方的前提下，保持等距离，其结果递减个数的合计就变为“38”数（88-50=38）。换言之，间距15数的含义，代表着陶缽的主要计算是在10的2次方下的结果，因此，第3三角形的底边数值设38的寓意就非常之丰富。

作为整体考虑，在被除数10的2次方下，余数差{7,6,5,4,3,2,1}，合计28数，以及递减个数差“48”数，都将成为天文观察的重要要素。28数与28星宿有关。48数与先天八卦有关。因为前50%的等差变化合计中间值增加“6”数，以及后50%的等差合计变化增加“3”数，可解释八卦的形成原理（具体内容将在第3部分中详细阐述）。

如果取绝对值{15,165,1665,16665}的数之和终值，分别为{6,3,9,6}，{15,16665}分别为“6”数第2、1852位（15=6+1×9，1+1=2；16665=6+1851×9，1+1851=1852）。{165}为“3”数第19位（165=3+18×9，1+18=19），{1665}为“9”数第185位（1665/9=185），按各自出现的位数统计，{2,19,185,1852}前数减后数，差值分别为{-17,-166,-1667}，按绝对值{17,166,1667}的数之和终值考虑，各为{8,4,2}，代表着不等值。故只有在数之和值相同的情况下，{15,16665}为“6”数第2、1852位，差值1850（1852-2=1850）的数之和终值为“5”，即从位数的角度观察，递减个数的变化，在相同的数之和值的前提下，差值的绝对值的数之和终值才为“5”数。但{15,16665}是10的2次方与5次方的计算结果，中间差3次方（5-2=3）。

同时，{-15,-165,-1665,-16665},以“15”数为基础，中间添加的6数，会因10次方值的变化，发生{6,3,9,6}的变化，并不稳定。与表1-19中，6的倍数变化相同，在数值“6”的情况下，有一定的稳定性，而数值{3,9}的变化是奇数变化，代表不稳定，故10的次方值从2次方开始，每增加3次方的差值，即在10的（2+3N）次方（N≧0）的情况下，保持相对的稳定性。

       表1-30  10数的1-5次方余数等差值计算汇总

        10的5次方

        10的5次方

表1-31是对余数差不具有递减性，且不保持等差值的数据进行汇总，从个数数量上观察，1次方的1-5数占前50%数（5/10=50%）；2次方的1-12数占前50%数的24%（12/50=24%）；3次方的1-41数占前50%数的8.2%（41/500=8.2%）；4次方的1-136数占前50%数的2.72%（136/5000=2.72%），5次方的1-433数占前50%数的0.866%（433/50000=0.866%）。因{2,3,4}次方是主要的观察对象，所以个数的占比{24%,8.2%,2.72%}如果不考虑百分比以及小数，取整数{24,8,2}将有一定的实际意义，可以发展为阴阳（2），八卦（8）和24节气（24）。

如果从余数的差值角度观察，{1,2,3,4}次方的余数差值合计分别为{0,-4,-16,-72}，这里暂看不出意义何在，将在第3部分八卦中详细解释。但如取绝对值{4,16,72}的数之和终值分别为{4,7,9}，合计数20，应该与陶缻底部长度385，减去365数后的差值20数有关联性。

     表1-31  10数的1-5次方除以前50%数的余数不等差值计算汇总（1） 

          表1-32  10数的1-5次方除以前50%数的余数计算汇总（2）

      表1-32是在表1-31的基础上，增加余数的数之和值，对10的1次-4次方的余数和其数之和值进行了的差值计算，其结果与表1-31的小计结果{0,-4,-16,-72}取绝对数的数之和值，转换为{4,7,9}是一致的，数之和“0”值不表示。但表1-32的意义在于，相较表1-31，数之和差值比较直观。在表1-31中，余数为“0”时，余数差合计为“0”，而表-32只要观察最后的数之和差值就可以。例如，10的2次方，除数第2-10数，余数出现“0”值，数之和值不表示，只要观察除数第10-12数的差值就可以了。同理10的3次方，第40除数的余数为“0”值，观察第40-41数的差数就可；而10的4次方，第125除数的余数为“0”值，观察之后的第125-136数的差数。因此，10的4次方的除数第1-100的差值就不必再观察，理由是除数50、100的余数均为“0”值，故差值合计也为“0”值。

通过以上的除法余数计算，可知元君庙陶缻的设计基础与除法的余数计算有关。且除了第2与第3三角形之外，其他三角形的间距为15，代表着陶缽的设计是在10的2次方下进行，因此，对于10的2次方除数的1-50数，还有必要进行更为详细的计算。表1-33是对于10的2次方的情况下。前50除数对应的商值，取整数进行统计。可以看到，以100除以1-50，得到的整数商值共18个不同商值，18个商的差数，按上数减下数，合计值为98（96+2=98）。

如果以陶缽底部5个三角形的底边49锥数考虑，被除数除以除数“1”等于被除数本身，所以，去除1数的商“100”数，余下的2-50的49个除数的商值合计为“332”（432-100=332），商差值合计为“48”（98-50=48）。如果按陶缻设计的底部1-49数考虑商数，1-49除数的商值合计为“430”（432-2=430），商差值合计为“98”（98-0=98）。具体应采用除数是，2-50数的商，还是1-49数的商，这里尚不能进行判断，后续在八卦以及凌家滩玉龟中进行解释。

如果按50个商值的出现个数进行分类，可以分为2大类。第一大类是商数值虽各不同，但个数只有1个，共12个值；第二大类是商为{7,6,5,4,3,2}，共6个商值，个数共38数。而{12,38}与陶缽的第2三角形与第3三角形的底边间距12毫米，以及第3三角形的底边长度38毫米吻合。此外，对表1-33中序数13-18的出现个数进行差值计算，上数减下数，得到的个数差合计为“-15”；如果以序数1-18出现的18大类个数进行差值统计，得到的个数差合计为“-16”，所以，陶缽的顶部第2三角形与第3三角形的间距18毫米的另一个含义是，按不同的商值18大类进行分类，个数差值合计取“-16”值，而不是“-15”，同时陶缽的底边长度385数的数之和1值为16（3+8+5=16），其实也强调16数的重要性，即其他三角形间距为15，但是另需考虑16数的差值，这部分内容也与后续的河图以及八卦图有关。

            表1-33  10数的2次方除以前50%数的商

元君庙陶缽设计9个三角形底边边长50毫米；顶部5个三角形的底边10个锥刺数，共50个锥数，总之，陶缽强调50数的概念是非常明确的。表1-34对10的2次方前1-50除数再次进行计算，表1-34与之前表1-23的不同之处在于，讨论的主要不是余数的数值，而是因余数数值的不同，形成的种类有几种，按余数的数之和值进行统计，可知共10大种类，余数为“0”（零）值的共8个，但数之和值不表示。之后42个数之和终值按{1,4}各10个数，{2,7}各4个数，{3,5,6,8}各3数，{9}2个数，共得个数4大类42个数值。对42个不同余数值按数之和终值1-9数分类，余数种类各自有{4,2,2,3,3,3,2,2,2}，合计23，余数值的合计为“476”，数之和1值为“17”（4+7+6=17），终值为“8”。如果按42个余数值的大小进行统计，各自为{1,2,4,5,6,7,8,9}；{10,12,13,14,15,16,18}；{19,20,22,24,26}，{28,30,32}共23个种类，对应的个数分别为{8,7,5,3}，合计23大类。对此分类这里暂时不做解释。

             表1-34  10数的2次方、除数前50%数的余数统计

表1-35除数依然取1-50数，但被除数取10数的1-19次方进行余数统计，并在表1-36中进行汇总，共分为2大类14小类，第1大类，16个余数为单一余数，其中再细分为6小类。第2大类，余数不同值，其中对10数的1-19次方中，余数可以循环出现的数值分为4小类；余数不可循环，但有规律变化分为2小类；无规律变化为1小类，共7小类。

      表1-35  10的（1-19）次方、除数（1-50）的余数统计（1）

         表1-36  10的（1-19）次方、除数（1-50）的余数统计（2）

         表1-36-1  10的（1-19）次方、除数（1-50）的余数统计（2）汇总

表1-36中，第1大类中，对16个余数始终保持一致的单一值，再细分为6小类，具体是按余数{0,1,10,28,4}的5个数值进行分类。把余数为{0}值分为2大类的原因是，个位数在被除数10数的1次方时，商有整数值，而2位数以上的除数，在10的1次方情况下，不存在整数。故余数为“0”值的除数，需要分为{1,2,5,10}与{20,25,50}2小类。

当除数为{1,2,5,10}、被除数为10的1次方的情况下，余数为“0”，商为整数，且得到的商分别为{10,5,2,1},除数{1,2,5,10}对应商值{10,5,2,1}，各自合计分别为“18”（1+2+5+10=18），如把除数{1,2,5,10}排列称为正向排列，则商值{10,5,2,1}就是逆向排列。这样的排列将在河图中体现。从10的2次方开始，除数{20,25,50}与{1,2,5,10}的情况一致，均有整数商值，且被除数在10的2次方的情况下，除数{20,25,50}的商值分别为{5,4,2},合计“11”。同时，还有一个除数“4”，在10的2次方的情况下，余数为“0”，商为“25”数，11+25=36，故在不同的10次方数下，余数为“0”的结果有必要详细考虑。这里首先对余数做大分类，之后在表1-39中进行详细计算。

表1-36与表1-34的结果不同，主要的区别在于，表1-34的被除数为10的2次方，而表1-35从10的1次方开始计算，故表1-36作为表1-35的汇总，其中的“0”值只有7个，而非表1-34中的8个“0”值。因10除4数得余数为“2”，非“0”值，而10的2次方之后，除数4的余数均为“0”值。同时，对于表1-36中的7个“0”值，其除数的数之和值为“23”。这也是一个非常重要的结论，这里暂时不做解释，将在第4部分凌家滩玉版中一并阐述。

此外{1,10,28}，余数虽不同，但余数的数之和终值，均为“1”值，如按数之和值统计，{1,10,28}的除数有7个，除数{3,9}、{15,18,30,45}、{36}的数之和终值小计分别为{12,27,9},合计48数，数之和终值为“3”数。如果按余数值统计，7数合计为70（1×2+10×4+28=70），以余数的数之和终值统计，则为“7”数。

最后余数等于“4”数的情况是除数为{6,12}时，除数的数之和值为{6,3},合计数之和值终值为“9”数（6+3=9）；余数的数之和值合计为“8”（4+4=8）。

以上第1大类6小类16个数值，如果按数之和终值分类，可以分为表示和不表示2类。7个余数为“0”值不表示，9个不为“0”值进行表示。其中，再分为7个“1”数与2个“4”数，数之和终值合计为15（1×7+4×2=15）。这样的分类也将在第2章的河图洛书中体现。

表1-36的第2大类中，把10的1-19次方中，出现的余数各自分为3大类。

（1）延续第1大类的余数单一值，把除数为{4,8,16,32,40}，分别在10数的{1,2,3,4}次方之后，出现余数为“0”值称为第7小类。把除数{24,48}，分别在10数的{2,3}次方之后，出现余数为“16”值的类别归为第8小类。

（2）对第9至12小类可循环余数，按5、6数循环分类，同时6数循环中，再区分3、2、6数循环，共16个余数。

5数循环以除数“41”为代表，余数以{18,16,37,1,10}合计82，数之和值以{9,7,1,1,1}合计19，进行循环，归为第9小类。

3数循环以除数{27,37}为代表，余数27以{19,1,10}合计值30，数之和值为{1,1,1}，合计3数；余数37以{26,1,10}合计值37，余数的数之和值为{8,1,1}，合计10数，循环变化，归为第10小类。

2数循环以除数{11,22,33,44}为第11小类，其中{11,33}余数以{1,10}合计11，数之和值相同，以“1”数循环；除数为{22,44}的余数以{12,10}或{12,32}循环变化，余数的数之和值以{3,1}或{3,5}循环变化。{12,10}的最小公倍数为“60”，{12,32}的最小公倍数为“96”。

6数循环以除数{7,13,14,21,26,28,35,39,42}9数为代表，余数如表1-36所示，不同的余数按6数进行循环。6数的小计值换算为数之和值后，就是{3,6,9}的变化，最终余数9个组合54个余数合计值为636数，按数之和1值计算为“15”（6+3+6=15），数之和终值为“6”数，归为第12小类。

以上15个2、3、6数循环的除数中，如再仔细观察，可以发现除余数{7,28,44}以外，其他12个余数（{11,13,14,21,22,26,27,33,35,37,39,42}），合计320，在10的7次方或（7+6n）次方时，余数均为“10”数，合计值120。

如果加上5数循环，除数{7,28,41,44}，合计120，在10的7次方的余数不为“10”数，各自在10的19次方的情况下，余数合计为“96”（37+32+3+34=96）。因5数循环与6数循环，不完全重叠，除数{7,28,44}的余数，在10的7次方或（7+6n）次方时余数值均为“59”数，故5数循环的余数值在10的7次方或（7+6n）次方时，除数41的余数，在10的{7,13，19,25,31}次方的各自余数为{18,16,37,1,10}，故与{7,28,44}的余数合计分别为{77,75,96,60,69}，之后10的{37,43,49,55,61}次方再次重复。以10的30次方为一个循环。

（3）对10数的1-19次方中，余数无规律变化为13小类，除数有11个，以{17,19,23,29，31,34,38,43,46,47,49}为代表，合计值376。

表1-37进一步对表1-36中，在10的1-19次方中，找不到循环规律的11个余数扩大次方值范围，寻找可循环的规律。观察到{17,19,23,31,34,38,43,46}超过10的15次方，分别在10的16-23次方范围内可以找到循环，除数{29,47,49}分别需要在10的{29,47,43}的次方数下，进行循环。表1-38是对表1-37的具体统计，各自发生的循环数以及10的次方数，其中{17,19,23,29,47}可循环的10的次方数等于除数，在10的{17,19,23,29,47}的情况下，各自除数的余数会发生循环。{17,19,23,29,47}的数之和终值各自为{8,1,5,2,2}，合计18数。

如把{17,19,23,29,31,34,38,43,46,47,49}的11除数的循环余数进行小计，并按照小计值转换为数之和终值，发现数之和终值的合计值为“47”数，与元君庙陶缽的10个三角形分别进行组合叠加的数之和终值的合计数47数相等，只是，元君庙陶缽的会数“47”数比较直观。

表1-37  10的（1-19）次方、除数（1-50）的余数统计（3）

       表1-38  10的（1-19）次方、除数（1-50）的余数统计（4） 

以下表1-39是对表1-36除数中，出现余数为“0”的商数进行统计，除数{1,2,5,10}有10的1次方的整数商值，从10的2次方开始，除数{20,25,50,4}出现余数为“0”，之后10的{3,4,5}次方，各自有除数{8,40}、{16}、{32}出现余数为“0”的现象。在10的5次方的情况下，除数1-50数中，所有可以出现余数为“0”的除数可以找到，共12个除数。

对除数和商值进行分类，可以观察到，按数之和终值进行统计，在表1-39中，2者的合计总数均为“28”数。如按每4个除数以及商数进行分类，在前8个序数，即按除数{1,2,5,10}和{20,25,50,4}分类，相同除数的不同商值，以合计数{18,36}的10倍数变化。之后的除数{8,40}、{16}、{32}因10的次方数不同，各自的出现值依然按10倍数增加，但因不是数之和9数，出现在被除数是10的{3,4,5}次方情况下，除数的数之和值的合计数按{48,64,96}发生变化。商数的数之和1值合计数按{6,19,21}发生变化。

           表1-39  10的（1-19）次方、除数（1-50）的余数统计（5）

          余数为“0”的商值

  如按10的1-5次方汇总统计，商数的数之和1值的合计为“64”（9+9+6+19+21=64），终值合计为“28”（9+9+6+1+3=28）。“64”与“28”的数之和终值均为“1”数，但“64”为第8位“1”数（64=1+7×9，1+7=8）；“28”为第4位“1”数（28=1+3×9，1+3=4）。这样的计算结果，代表着用数之和值统计，数之和1值与数之和终值最终结果是一致的，但过程的不同，代表的内容也将不同。“64”将用八卦表示，“28”将用另一个系统“28星宿”表述。其结果最终要达到阴阳合的目的。当然，这只是八卦与28星宿产生的一个重要原因，还不是全部内容。

此外，以12个商数按数之和值进行统计，各自的数之和值与10的次方数无关（因商值均为10的倍数），但如果按10的次方数的不同，得到的相同次方数的合计数之和1值与每个商数转换为数之和值的合计数，结果也应该相同。

以10的5次方观察，商值合计“240375”的数之和1值为“21”，与每个商值的数之和1值合计“66”，差值“45”数（66-21=45），如按每个商值的数之和终值合计“48”，差值为“27”数（48-21=27），因{21,48,66} 的数之和终值均为“3”数，差值{45,27}的数之和终值均为“9”数，故在数之和终值层面没有差别。

其他在10的4次方的情况下，以商值合计数“23725”的数之和1值为“19”，按每个商数的数之和1值统计，合计数为“55”（66-11=55），差数为“36”（55-19=36）；按每个商数的数之和终值统计，合计数为“46”（48-2=46），差数为“27”（46-19=27），因{19,46,55} 的数之和终值均为“1”数，差值{36,27}的数之和终值均为“9”数，故在数之和终值层面也没有差别。

10的3次方的情况下，以商值合计数“2310”的数之和1值为“6”，按每个商数的数之和1值统计，合计数为“42”（66-11-13=42），差数为“36”（42-6=36）；按每个商数的数之和终值统计，合计数为“42”（48-2-4=42），差数为“36”（42-6=36），因{6,42} 的数之和终值均为“6”数，差值{36}的数之和终值为“9”数，故在数之和终值层面同样没有差别。

10的2次方的情况，以商值合计数“216”的数之和1值为“9”，按每个商数的数之和值统计，合计数为“27”（9+18=27），差数为“18”（27-9=18）。数之和终值均为“9”数。

在10的1次方的情况下，以商值合计数“18”的数之和1值为“9”，按每个商数的数之和值统计，合计数为“9”，差数为“0”。

以上的计算表明，在同一个次方数的情况下，各个商数的合计值的数之和值，与每个商数转换为数之和值之后，再进行合计，在数之和1值层面会产生“9”或“9”的倍数差，但在最终换算为数之和终值之后，结果是相等的。而把10的1-5次方的余数为“0”值的合计数进行汇总，数之和1值的合计数为“64”数，终值为“28”数。之后10的N次方（N≥6)的情况下，余数为“0”值的12个除数（{1,2,4,5,8,10,16,20,25,32,40,50})商值将增加10的5次方的合计数“240375”乘以10的n次方（n≥1），而按照数之和1值统计，合计值均为“66”数，数之和终值合计为“48”数，最终{48,66}为数之和终值“3”数，因此，将来八卦可以用“48”数三爻进行表述。同时这里10的1-5次方出现的45个商值将与数之和值“1-9”结合，形成“阴阳五行”的概念。

表1-40把被除数10数的2-6次方，除数1-50的余数以及余数的差值（前数-后数）的结果再次进行一次汇总，其目的是强调统计余数为“0”值的重要性。如果观察10数的2-6次方下的余数变化，除2次方有一定的规律以外，其他的余数很难找出规律，但当余数出现“0”值，余数差就会产生“0”值。以表1-40中10的6次方数为例，50个余数共产生49个差值，因除数“1”为第1位，差值计算是从第1位余数减去第2位余数开始，之后依次类推，所以后11个除数中，{2,4,5,8,10,16,20,25,32,40,50}各自有11个差值合计为“0”的结果，且出现的差值数分别为{1,2,1,3,2,6,4,5,7,8,10}，合计49数。

如果结合元君庙陶缽，前20数产生19个差值（{1,2,1,5,10}），差值合计为“0”。后5数至第25除数（{5}}），差值合计为“0”。最后25数（第25-50数）差数为“0”。这是因为元君庙陶缽的设计是运用被除数10的2次方的计算结果，所以，2位数的除数出现第1个余数为“0”值的是除数“20”，因此余数差值取19数，合计为“0”，完全可以证明，19年闰7月的19年是与余数计算有关。且10的2次方的后50%数的余数数之和值合计为“235”，作为19年太阴（月亮）与太阳的阴阳平衡的塑望月数，这样的计算如此简洁明了，堪称奇迹。

          表1-40  10的（1-19）次方、除数（1-50）的余数统计（6）

                         注：表中的差值是前数减后数（上-下）的计算结果。

同时，不只是10的2次方，对被除数10的N次方的最后一组（50个）余数的数之和值进行合计，均可得“235”数，在天文历法上，作为太阴“月亮”与太阳的阴阳平衡数，而通过10的2-19次方的余数计算，可以发现，余数差值的循环规律，19年一个循环数同样是计算后的结果。换言之，在元君庙陶缽中，所有的数字含义，绝对不是唯一的结果，而是从多个角度都可以印证，才作为最终的选择。如果从这个观点出发，除数“20”产生19数差合计为“0”，同理除数1-25数的余数差也为“0”值，故差数的“24”数，与“19”数相同，将来也要被利用到天文历法中来，就是八卦中的“24节气”。因除数的余数1-50中，第“20”、“25”的除数产生“19”以及“24”的差数合计为“0”，所以在天文历法上作为2个重要指标，阴阳合选“19”年为一个循环，每年按“24”节气作为一个循环，至今，中国社会仍然在使用这样的历法（几千年来依然沿用着阴阳合历的历法）。当然从严格意义上说，进入西元20世纪前期，导入西方的历法理念后，国家层面已经按西历纪年，但农业生产方面以及日常的生活中，依然需要阴阳合历的历法，简称为“农历”。

{20,25,50}是一个概念组合，产生的19年闰7月以及每年按24节气循环的理念，如今完全是中华文明圈的科学常识，未来只要人类需要粮食，离不开农业，阴阳合历的理念在地球的中华文明圈中就永远有其存在的必要性。而50数产生的49数差，同样在数学意义上差值为“0”，但用如今的科学观进行观察，是否具有科学性，还不得而知，可作为传统习俗，至今仍然保留着故人去世后，有七七四十九天的祭祀活动，可能希望通过祭祀的方式达到阴阳平衡。

而49数与50数相同，均为元君庙陶缻中强调的数值，因为正置的5个三角形（{1,3,5,7,9})的三角形底部的锥数合计为49（4×10+9=49）。回到天文历法的计算中，主要突出的是最后50数中的49个数之和值，按第3三角形的9数（即1-9数的数之和理论），计算出235数的塑望月值，19年按235个塑望月计算，达到阴阳平衡的效果。如果从历法的角度去理解，陶缽底部长385毫米，减去365数得到的“20”差，就可以理解为，突出除数为“20”的情况下，余数为“0”，余数第1-20的余数差为“0”，19个差值的余数差合计“0”，达成正负数平衡。只不过当时可能不使用正负的概念，而用“阴”与“阳”代替正负数。

以上的结论对理解强调底部“20”数的重要性是有帮助的，换言之，底部的差值20得到了正解，那么顶部的差值“38”数（403-365=38），除了前面表1-33中阐述的50个商值，产生的个数按1数和非1数分类，有12个不同的商值只有出现1次，后出现的商值{7,6,5,4,3,2}6小类共38数，12+38=50，因此，第3三角形的底部38毫米，与第2三角形的间距12毫米也与商值的个数有关。

从以上计算可知，除法的余数理论，结合数之和理论，最终用找出余数为“0”值的12除数为代表，在10的1-5次方的计算下，具体形成19年235个塑望月的阴阳合历。十进制的除法的余数理论和9进制的数之和理论，这二者应该是中华文明在数学和天文学中的理论基础，也是重要的2大支柱。19年闰7月的天文历法是实实在在通过数学计算得到的结果，在人类历史上，有着不可磨灭的贡献，乃至如今仍然在使用。