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调和级数的部分和

已有 737 次阅读 2020-8-10 19:35 |个人分类:数学基础|系统分类:科研笔记

调和级数的部分和

 李鸿仪[1]

 

    调和级数是发散的。这意味着,对于任意有限的自然数或实数p,调和级数的和s都大于np, 这里,n是任意大的自然数。证明很简单:对任意n和p, np都是有限数,而s是无限的,所以s>np.

调和级数虽然是发散的,但其发散的“速度”很慢,不太直观,为此,可以通过其部分和的规律来观察其发散性。

 

    以下推导可以估算调和级数前m项的部分和:

 

    如所周知,公式(1)到(4)证明了调和级数是发散的

S=1+1/2 +1/3+1/4+...+1/n +...                                         (1)

=1+1/2 +(1/3+1/4 )+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...                          (2)

>1+ 1/2 +(1/4+1/4 )+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...                              (3)

=1+ 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...---> ∞                                         (4)

 

  

    以上推导仅仅用到了加法交换律,因此是可靠的。



   注意: 从式(3)的第2项开始,每个1/2用掉的项数分别为

 

                 1,21,22,23,… 2n,…

 

    所以,级数的前                                           

 

m=1+(1+2+22 +23,…,+2n)                                                           (5)

 

项的和大于第一项的1(可看作两个1/2)和n+1个1/2即共n+3个1/2的和,换言之,  这时的部分和

s’>(n+3)*(1/2)                                                                     (6)

---------------------------------

 

    由(5),(6)可以进行部分和s’,所需要的项数m以及指数n之间的换算

    例如,如果希望s’>10,根据(6),可设 (n+3)*(1/2)=10, 即n=20-3=17,这时,

m=1+(1+2+22+….217)=262144。不难验证,前262144项的部分和s’= 13.0539>(n+3)*(1/2)=10

     

    一般,前

 

      m=1+(1+2+22+…+22p-3)                                            (7)

 

项的部分和s’>p

                     


    例如,

    m1=1+(1+2+22+…+22p-3)

时的级数和

    s’>p

同理

     m2=1+(1+2+22+….24p-3)

 

时的级数和

    s’>2p,

 

     m3=1+(1+2+22+….26p-3)

 

时的级数和

    s’>3p

....

    因此,

1到m1项的级数和>p

1到m2项的级数和>2p 

1到m3项的级数和>3p

....

 

 

 

    这里,理论上p可以是任意大的数,但在实际计算中,例如在matlab 上,m>21000就要溢出了,因此,对于较大的p,可用指数计算。

例如,当p=1010


m1=1+[1+2+22+…+2(2*10^10)-3]

    m2=1+[1+2+22+…+2(4*10^10)-3]

    m3=1+[1+2+22+…+2(6*10^10)-3]



 

 

 

 

 

[1] https://orcid.org/0000-0002-3758-6741

 



http://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1245803.html

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1 王林平

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