调和级数的部分和

 李鸿仪[1]

    调和级数是发散的。这意味着，对于任意有限的自然数或实数p，调和级数的和s都大于np, 这里，n是任意大的自然数。证明很简单：对任意n和p, np都是有限数，而s是无限的，所以s>np.

调和级数虽然是发散的，但其发散的“速度”很慢，不太直观，为此，可以通过其部分和的规律来观察其发散性。

    以下推导可以估算调和级数前m项的部分和：

    如所周知，公式（1）到（4）证明了调和级数是发散的

S=1＋1/2 ＋1/3＋1/4＋．．．＋1/n ＋．．．                                         （1）

=１＋1/2 ＋（1/3＋1/4 ）＋（1/5＋1/6＋1/7＋1/8）＋．．．                          (２)

>1+ 1/2 ＋(1/4＋1/4 )+（1/8＋1/8＋1/8＋1/8）＋．．．                              （3）

=1+ 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ．．．---> ∞                                         （4）

    以上推导仅仅用到了加法交换律，因此是可靠的。

   注意: 从式（3）的第2项开始，每个1/2用掉的项数分别为

                 1，2¹，2²，2³，… 2ⁿ，…

    所以，级数的前                                           

m=1+(1+2+2² +2³，…，+2ⁿ)                                                           （5）

项的和大于第一项的1（可看作两个1/2）和n+1个1/2即共n+3个1/2的和，换言之,  这时的部分和

s’>(n+3)*(1/2)                                                                     （6）

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    由（5），（6）可以进行部分和s’，所需要的项数m以及指数n之间的换算

    例如，如果希望s’>10，根据（6），可设 (n+3)*(1/2)=10, 即n=20-3=17，这时，

m=1+(1+2+2²+….2¹⁷)=262144。不难验证，前262144项的部分和s’= 13.0539>(n+3)*(1/2)=10

    一般，前

      m=1+(1+2+2²+…+2^2p-3)                                            （7）

项的部分和s’>p

    例如，

    m₁=1+(1+2+2²+…+2^2p-3)

时的级数和

    s’>p

同理

     m₂=1+(1+2+2²+….2^4p-3)

时的级数和

    s’>2p，

     m₃=1+(1+2+2²+….2^6p-3)

时的级数和

    s’>3p

....

    因此，

1到m₁项的级数和>p

1到m₂项的级数和>2p 

1到m₃项的级数和>3p

....

    这里,理论上p可以是任意大的数，但在实际计算中，例如在matlab 上，m>2¹⁰⁰⁰就要溢出了，因此，对于较大的p，可用指数计算。

例如,当p=10¹⁰时

m₁=1+[1+2+2²+…+2^{(2*10^10)-3}]

    m₂=1+[1+2+2²+…+2^{(4*10^10)-3}]

    m₃=1+[1+2+2²+…+2^{(6*10^10)-3}]

[1] https://orcid.org/0000-0002-3758-6741