谈到量子力学，人们通常会认为这是前沿科技。谈到概率论，人们通常会认为这是传统经典理论。但这种认识是错误的。恰恰相反，在学科发展史上，概率论比量子理论要成熟得晚。而概率论是量子理论必须要使用的工具。被使用的工具比运用工具的理论更晚成熟，对运用工具的理论形成了障碍和误导。

一 量子力学与概率论的发展史

1923年路易.德布罗意（Louis de Broglie）在他的博士论文中提出光的粒子行为与粒子的波动行为关系。1926年薛定谔在《物理年鉴》上发表论文，提出薛定谔方程。1927年2月海森堡阐述不确定原理。到1929年，量子理论革命基本完成。

但是概率论的发展则更要滞后。1923年，维纳才首次给出布朗运动的严格数学定义。1931年柯尔莫哥洛夫奠定马尔可夫过程的理论基础，并于1933年在他的《概率论基础》中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系。这一公理体系着眼于规定事件及事件概率的最基本的性质和关系，并用这些规定来表明概率的运算法则。它的出现是概率论发展史上的里程碑，为现代概率论的蓬勃发展打下坚实的基础。1938年开始，莱维将逻辑与直觉结合起来，倡导了研究随机过程的概率方法，建立独立增量过程的一般理论。

因此，相对于量子力学，概率论是一门更为晚熟的学科。

换言之，以概率论为重要基础和工具的量子力学，超前于概率论的成熟而发展，必然会出现一系列问题。这些问题之一，就是量子不确定性原理。

二 量子的不确定性就是概率理论中的标准差

本文认为，量子不确定性结论，其本质就是概率论中所说的“标准差不为0”。概率论中，随机变量的标准差不为0，只意味着不可绝对精确预测随机变量，预测精度受标准差制约。但不代表不可以精确测量已经发生的变量值。已发生的变量值的测量可达任意精度，不受标准差的制约。量子不确定性同样是指其预测精度受不确定性约束，但已发生的量子值的测量可达任意精度。

现证明如下（非专业人士可以略过下面部分，直接从第（6）式看起）：

设两个力学量算符（厄米算符）与的对易关系为：

                    （1）

对体系的任意波函数（虽然我们使用的是傅里叶展开的波函数，但（2）式对任意函数均成立），考虑下列积分：

     （2）

式（2）中，为任意实参数。利用与的厄米特性，（2）式右边可表示成：

    (3)

（3）式中、和，分别为其平均值。由于是在区间积分，所以可用与在区间的厄米特性来调换位置，同时与不对易。由判别公式可得：

                                 （4）

、也是厄米算符。且、为厄米算符的平均值，均为实数而可以交换位置，故：

                          (5)

非专业人士继续从这里看起：

有：      （6）

简记为：

      （7）

由此证毕不确定性关系。                                   

若取，，因为，所以：

             （8）

由此证毕位置坐标和动量之间的不确定性关系。

现在本文用经典概率论的符号来表述以上结论：

令、和，分别为其期望值。由（4）式得：

   (9)

由（6）式得：

      (10)

而就是和的标准差之乘积。也即：

                            （11）

故有标准差：        (12)

若取，，因为，所以由（8）式得：

                     （13）  

与此消彼长的关系，是因为概率与波函数振幅平方成正比。而在和之间进行傅里叶变换时，需要大量（也即标准差大）的波函数积分才能得到较为精确（也即标准差小）的，同样需要大量（也即标准差大）的波函数积分才能得到较为精确（也即标准差小）的。因此所谓量子不确定性，就是概率统计的标准差关系。

三 结论

由于概率论的发展滞后于量子力学，因此量子力学在概率论表达上出了严重问题。量子力学将概率论里的标准差理解为不确定性，从而认为量子具有不可测性。但是概率论里的标准差只是表明：在既定概率分布假设下，对样本值的预测准确性，要受标准差限制。标准差越大，预测越不准确。但这并不是说对已经发生的样本无法准确测量。在概率论中，无论随机变量的标准差有多大，一旦随机变量已经发生，就可以准确测量。测量的精度只受测量工具的制约，而不受任何数学规律的制约。量子亦不例外。

而标准差的大小，取决于既定概率分布的假设。假如有更好的测量技术能观测到量子的过程，那么量子的概率就可以改变，标准差就可以缩小，预测也就可以更精确。因为概率并不是客观的数据，它是随着预测者所掌握的信息而改变的。例如路人预测十字路口的车走那条路，其标准差很大。但是车上的司机却知道自己要走哪条路，司机预测自己的车走哪条路的标准差就很小，甚至为0。所以量子的标准差来自量子概率假设，如果可以观测到更多的量子过程，这个量子概率假设就可以改变，量子的标准差也就可以改变，对量子进行预测的精度也会改变。

因此严格说来，只能表述为：在既定量子概率分布假设下，量子某些量的标准差之乘积不低于一定数值。原来量子不确定性的表述，是因为其使用的概率工具并不成熟，对标准差的原理发生错误理解所致。