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从量子理论与概率论发展史,看量子不确定性的本质就是概率论的标准差

已有 763 次阅读 2020-12-30 16:47 |个人分类:纹明|系统分类:科研笔记

  谈到量子力学,人们通常会认为这是前沿科技。谈到概率论,人们通常会认为这是传统经典理论。但这种认识是错误的。恰恰相反,在学科发展史上,概率论比量子理论要成熟得晚。而概率论是量子理论必须要使用的工具。被使用的工具比运用工具的理论更晚成熟,对运用工具的理论形成了障碍和误导。

量子力学与概率论的发展史

1923年路易.德布罗意(Louis de Broglie)在他的博士论文中提出光的粒子行为与粒子的波动行为关系。1926年薛定谔在《物理年鉴》上发表论文,提出薛定谔方程。19272月海森堡阐述不确定原理。到1929年,量子理论革命基本完成。

但是概率论的发展则更要滞后。1923年,维纳才首次给出布朗运动的严格数学定义。1931年柯尔莫哥洛夫奠定马尔可夫过程的理论基础,并于1933年在他的《概率论基础》中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系。这一公理体系着眼于规定事件及事件概率的最基本的性质和关系,并用这些规定来表明概率的运算法则。它的出现是概率论发展史上的里程碑,为现代概率论的蓬勃发展打下坚实的基础。1938年开始,莱维将逻辑与直觉结合起来,倡导了研究随机过程的概率方法,建立独立增量过程的一般理论。

因此,相对于量子力学,概率论是一门更为晚熟的学科。

换言之,以概率论为重要基础和工具的量子力学,超前于概率论的成熟而发展,必然会出现一系列问题。这些问题之一,就是量子不确定性原理。

量子的不确定性就是概率理论中的标准差

本文认为,量子不确定性结论,其本质就是概率论中所说的“标准差不为0”。概率论中,随机变量的标准差不为0,只意味着不可绝对精确预测随机变量,预测精度受标准差制约。但不代表不可以精确测量已经发生的变量值。已发生的变量值的测量可达任意精度,不受标准差的制约。量子不确定性同样是指其预测精度受不确定性约束,但已发生的量子值的测量可达任意精度。

现证明如下(非专业人士可以略过下面部分,直接从第(6)式看起)

设两个力学量算符(厄米算符)1.png2.png的对易关系为:

3.png                    1

对体系的任意波函数4.png(虽然我们使用的是傅里叶展开的波函数,但(2)式对任意函数4.png均成立),考虑下列积分:

5.png     2

式(2)中,39.png为任意实参数。利用1.png2.png的厄米特性,(2)式右边可表示成:

6.png    (3)

3)式中7.png8.png9.png,分别为其平均值。由于是在10.png区间积分,所以可用1.png2.png10.png区间的厄米特性来调换位置,同时1.png2.png不对易。由判别公式11.png可得:

12.png                                 4

13.png14.png也是厄米算符。且40.png41.png为厄米算符的平均值,均为实数而可以交换位置,故:

15.png                          (5)

非专业人士继续从这里看起:

有:16.png      6

简记为:

17.png      7

由此证毕不确定性关系。                                   

若取18.png34.png,因为35.png,所以:

21.png             8

由此证毕位置坐标和动量之间的不确定性关系。

现在本文用经典概率论的符号来表述以上结论:

22.png23.png24.png,分别为其期望值。由(4)式得:

25.png   (9)

由(6)式得:

26.png      (10)

27.png就是28.png29.png的标准差之乘积30.png。也即:

31.png                            11

故有标准差:32.png        (12)

若取33.png34.png,因为35.png,所以由(8)式得:

36.png                     13 

37.png38.png此消彼长的关系,是因为概率与波函数振幅平方成正比。而在28.png29.png之间进行傅里叶变换时,需要大量(也即标准差大)的28.png波函数积分才能得到较为精确(也即标准差小)的29.png,同样需要大量(也即标准差大)的29.png波函数积分才能得到较为精确(也即标准差小)的28.png。因此所谓量子不确定性,就是概率统计的标准差关系。

结论

由于概率论的发展滞后于量子力学,因此量子力学在概率论表达上出了严重问题。量子力学将概率论里的标准差理解为不确定性,从而认为量子具有不可测性。但是概率论里的标准差只是表明:在既定概率分布假设下,对样本值的预测准确性,要受标准差限制。标准差越大,预测越不准确。但这并不是说对已经发生的样本无法准确测量。在概率论中,无论随机变量的标准差有多大,一旦随机变量已经发生,就可以准确测量。测量的精度只受测量工具的制约,而不受任何数学规律的制约。量子亦不例外。

而标准差的大小,取决于既定概率分布的假设。假如有更好的测量技术能观测到量子的过程,那么量子的概率就可以改变,标准差就可以缩小,预测也就可以更精确。因为概率并不是客观的数据,它是随着预测者所掌握的信息而改变的。例如路人预测十字路口的车走那条路,其标准差很大。但是车上的司机却知道自己要走哪条路,司机预测自己的车走哪条路的标准差就很小,甚至为0。所以量子的标准差来自量子概率假设,如果可以观测到更多的量子过程,这个量子概率假设就可以改变,量子的标准差也就可以改变,对量子进行预测的精度也会改变。

因此严格说来,只能表述为:在既定量子概率分布假设下,量子某些量的标准差之乘积不低于一定数值。原来量子不确定性的表述,是因为其使用的概率工具并不成熟,对标准差的原理发生错误理解所致。



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1 黄河宁

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