【开篇语】

微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚；以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。

当前，围绕微分定义问题，国内外学术界已经开始形成一些讨论，参与者从科学院院士，中青年数学工作者，以致在读博士硕士，当然也包括一些毫无话语权的“N无数学家”。但真理面前人人平等，只要我们抱着持之有故言之成理的科学态度，相信会引发深刻的思考。

为了使得微分定义的讨论更加深入，并且有充足的养料支撑，有必要将古今中外现行微积分学术著作中的微分定义详细调查。从今天起，我将在我所搜集整理的微积分定义逐次摘录在网上，方便大家讨论。在摘录的同时，将做一些简单的讨论。

【同济大学】

１、

定义 设函数$y=f(x)$在点$x$有导数$y'$，则自变量的增量$\Delta x$与这个导数的乘积$y'\cdot \Delta x$叫做函数在该点$x$的微分，记作

$dy=y'\cdot \Delta x$；（1）

这时（即微分存在亦即导数存在时）并叫函数在该点$x$是可微分的。

我们把自变量$x$的微分认为就是函数$y=x$的微分，则根据前节的式（1），

$dx=dy=(x)'\cdot \Delta x=1\cdot \Delta x=\Delta x$。

参考文献：

[1] 樊映川等.高等数学讲义上册（第二版）[M].北京:高等教育出版社.1964.279-281.

２、

定义  设函数$y=f(x)$在$\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}$的某个邻域内有定义，当自变量在$\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}$处取得增量$\Delta x$时，如果相应的函数的增量$\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$可以表示为

$\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)$.

其中$A$是与$\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}$有关的而不依赖于$\Delta x$的常数，$o(\Delta x)$是比$\Delta x$高阶的无穷小量（当$\Delta x \rightarrow 0$时），那么称函数$y=f(x)$在点$\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}$是可微的，$A \Delta x$称为函数$y=f(x)$在点$\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}$相应于自变量的增量$\Delta x$的微分（differential），记为$\mathrm{d} y$，即

$\mathrm{d} y=A \Delta x$.

如果函数$y=f(x)$在区间$I$内每一点处都可微，就称$f(x)$是$I$内的可微函数.函数$f(x)$在$I$内任意一点$x$处的微分就称为函数的微分，也记为$\mathrm{d} y$，即有

$\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \Delta x$.

通常把自变量$x$的增量$\Delta x$称为自变量的微分，记为$\mathrm{d} x$，即$\mathrm{d} x=\Delta x$。于是函数的微分又可以记为

$\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) d x$ 

参考文献：

[1] 同济大学数学系.微积分上册（第三版）[M].北京:高等教育出版社.2009.6.112-114.