【开篇语】

微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚；以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。

当前，围绕微分定义问题，国内外学术界已经开始形成一些讨论，参与者从科学院院士，中青年数学工作者，以致在读博士硕士，当然也包括一些毫无话语权的“N无数学家”。但真理面前人人平等，只要我们抱着持之有故言之成理的科学态度，相信会引发深刻的思考。

为了使得微分定义的讨论更加深入，并且有充足的养料支撑，有必要将古今中外现行微积分学术著作中的微分定义详细调查。从今天起，我将在我所搜集整理的微积分定义逐次摘录在网上，方便大家讨论。在摘录的同时，将做一些简单的讨论。

【复旦大学】

1、

定义  如果$\Delta y$总能分解成为这样两个部分：

$\Delta y = A \left( x _ { 0 } \right) \Delta x + o ( \Delta x )$，

其中$A \left( x _ { 0 } \right)$与$\Delta x$无关，第一项$A \left( x _ { 0 } \right) \Delta x$是$\Delta x$的线性项，成为$\Delta y$的主要部分，第二项$o(\Delta x)$当$\Delta x\to 0$时是一个高阶无穷小量，成为$\Delta y$的次要部分，则称$y=f(x)$在点${{x}_{0}}$可以微分（简称可微）。此时，在$\Delta x\to 0$的条件下，得到一个等价无穷小量关系

                 $\Delta y\sim A({{x}_{0}})\Delta x$。

采用与导数记号中相一致的符号，在$y = f ( x )$的情况下，将$\Delta x$记为$dx$，叫做自变量$x$的“微分”，将$\Delta y$记为$dy$，叫做因变数$y$的“微分”，上述等价无穷小量关系就成为因变量微分与自变量微分之间的比例关系：$dy=A({{x}_{0}})dx$。

参考文献：

[1]陈传璋等.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

2、

定义  对函数$y = f ( x )$定义域中的一点$x _ { 0 }$，若存在一个只与$x _ { 0 }$有关，而与$\Delta x$无关的数$g \left( x _ { 0 } \right)$，使得当$\Delta x \rightarrow 0$时恒成立关系式

$\Delta y = g \left( x _ { 0 } \right) \Delta x + o ( \Delta x )$，

则称$f ( x )$在$x _ { 0 }$处的微分存在，或称$f ( x )$在$x _ { 0 }$处可微。

若函数$y = f ( x )$在某一区间上的每一点都可微，则称$f ( x )$在该区间上可微。

由定义知道，若$f ( x )$在$x$处是可微的，那么当$\Delta x \rightarrow 0$时$\Delta y$也是无穷小量，且当$g ( x ) \neq 0$时，成立等价关系

$\Delta y \sim g ( x ) \Delta x$。

“$g ( x ) \Delta x$”这一项也被称为$\Delta y$的线性主要部分。很明显，当$| \Delta x |$充分小的时候，干脆就用“$g ( x ) \Delta x$"这一项来代替因变量的增量$\Delta y$，所产生的偏差将是很微小的。

于是，当$f ( x )$在$x$处是可微且$\Delta x \rightarrow 0$时，我们将$\Delta x$称为自变的微分，记作$d x$，而将$\Delta y$的线性主要部分$g ( x ) \mathrm { d } x$(即$g ( x ) \Delta x$)称为因变量的微分，记作$\mathrm { d } y$或$\mathrm { d } f ( x )$，这样就有了以下的微分关系式

                   $\mathrm { d } y = g ( x ) \mathrm { d } x$。

参考文献：

[1]陈纪修.数学分析(第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004，120-121.

3、

定义  在一般情形下有以下定义：

设$x$是自变量，函数$y(x)$在点$x$可导。导数$y'(x)$与$x$的增量$\Delta x$的乘积$y'(x)\Delta x$称为$y(x)$在点$x$的微分$dy$：

                       $dy=y'(x)\Delta x$。

为了记号整齐起见，在上式中将$\Delta x$改记为$dx$。$dx$（$=\Delta x$）称为自变量$x$的微分，于是

                       $dy=y'(x)dx$

从（1）知，$dy$是$x$，$dx$的二元函数，引用函数记号$dy=dy(x,dx)$，当$dx$不变时，$dy$变成$x$的一元函数，这时可记为$dy=dy(x)$。

参考文献：

[1]姚允龙等，复旦大学数学系.数学分析(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2007.