【开篇语】

微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚；以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。

当前，围绕微分定义问题，国内外学术界已经开始形成一些讨论，参与者从科学院院士，中青年数学工作者，以致在读博士硕士，当然也包括一些毫无话语权的“N无数学家”。但真理面前人人平等，只要我们抱着持之有故言之成理的科学态度，相信会引发深刻的思考。

为了使得微分定义的讨论更加深入，并且有充足的养料支撑，有必要将古今中外现行微积分学术著作中的微分定义详细调查。从今天起，我将在我所搜集整理的微积分定义逐次摘录在网上，方便大家讨论。在摘录的同时，将做一些简单的讨论。

【清华大学】

一、

定义：设函数$f$在$(a, b)$内有定义，且$x_{0} \in(a, b)$。如果存在一个常数$\lambda$，使得

$f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=\lambda \Delta x+o(\Delta x)$，$\Delta x \rightarrow 0$，

则称函数$f$在点$x_{0}$处可微；函数的改变量的线性主要部分$\lambda \Delta x$称为$f$在$x_{0}$处的微分，记为$d f\left(x_{0}\right)$.

令$\Delta x \rightarrow 0$，可得

$\lambda = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x _ { 0 } + \Delta x \right) - f \left( x _ { 0 } \right) } { \Delta x } = f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right)$

如果函数$f$在$( a , b )$内可微，那么$d f ( x ) = f ( x ) A x$对一切$x \in ( a , b )$成立.对特殊的函数$f ( x ) = x$，这时

$d x = ( x ) ^ { \prime } \Delta x = \Delta x$

这表明，当$\mathcal { X }$是自变量的时候，我们有$\mathrm { d } x = \Delta x$，即是说它的改变量就等于自身的微分，这样一来，可以改写成

$d f ( x ) = f ( x ) d x$

参考文献：

[1] 常庚哲，史济怀等.数学分析教程[M].北京：高等教育出版社.2012:190.

二、

定义：

一般地，设医院函数f在一点x附近有定义，我们把$f(x+h)-f(x)$叫做f在x的“增量”或“差分”，其中h可正可负。由上例看到，我们的问题是：是否存在一个与h无关的常数A使得

                                 $f(x+h)-f(x)=Ah+o(h)$                                                          （1）

如果（1）式成立，则称函数f在点x可微，这时记

df(x)(h)=Ah, h∈R，

则一元一次齐次函数df(x)叫做f在点x的微分。

微分在整个微积分学中是一个重要的概念。综上所述，我们应从下面几个方面掌握这个概念：

1.函数在一点可微的定义，即（1）式。

2.如果函数f在一点x可微，则f在x就是微分df(x)，并且：

1）微分df(x)是一个一元一次齐次函数：

df(x)(h)=Ah,h∈R.

它的定义域是整个R，因此上式并不要求h很小。

2）当$h \rightarrow 0$时微分值df(x)(h)与差分值f(x+h)-f(x)相差h高阶去穷小：

f(x+h)-f(x)=df(x)(h)+o(h)

设函数f在其定义区间I上可微（即在I中每一点上都可微）。视x为I上的变数，令y=f(x),记

dy=df(x)=f’(x)h (x∈I,h∈R)，（2）

叫做变量y=f(x)的微分，它依赖于x和h两个变量，x和h是相互独立的。特别，若f(x)=x则得

dx=h.

由于这个缘故，今后我们记（2）式为

dy=df(x)=f’(x)dx, x∈I.

其中dx=h叫做自变量x的微分，是一个独立变量，它实际上与x无关，即x和dx是相互独立的。

参考文献：何琛, 史济怀, 徐森林. 高等学校教学参考书 数学分析 第一册[M]. 1983.147-150.

三、

定义8.2.1 设$U \subset R^{n}$为开集，$f : U \rightarrow R^{1}$为n元函数，

$\mathbf{x}^{0}=\left[\begin{array}{c}{x_{1}^{0}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}^{0}}\end{array}\right] \in U, \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right] \in U, \Delta \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{\Delta x_{1}} \\ {\vdots} \\ {\Delta x_{n}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x_{1}-x_{1}^{0}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}-x_{n}^{0}}\end{array}\right]=\mathbf{x}-\mathbf{x}^{0} \in R^{n}$

$\mathbf{A}=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$为行向量，$a_{i} \in R$为常数（与△x无关）。

如果

$\Delta f=f\left(\mathbf{x}^{0}+\Delta \mathbf{X}\right)-f\left(\mathbf{x}^{0}\right)=A \Delta \mathbf{x}+o(\|\Delta \mathbf{x}\|)$，$\|\Delta \mathbf{x}\| \rightarrow 0$

$f\left(x_{1}^{0}+\Delta x_{1}, x_{2}^{0}+\Delta x_{2}, \cdots, x_{n}^{0}+\Delta x_{n}\right)-f\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \cdots, x_{n}^{0}\right)=a_{1} \Delta x_{1}+a_{2} \Delta x_{2}+\cdots+a_{n} \Delta x_{n}+o\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\Delta x_{i}\right)^{2}}\right)$，

即

$\Delta f=f(\mathbf{x})-f\left(\mathbf{x}^{0}\right)=A\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{0}\right)+o\left(\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{0}\right\|\right)$，$\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{0}\right\| \rightarrow 0$，

$f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)-f\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{1}\right)=a_{1}\left(x_{1}-x_{x}^{0}\right)+a_{2}\left(x_{2}-x_{2}^{0}\right)+\ldots+a_{n}\left(x_{n}-x_{n}^{0}\right)+o\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{i}^{0}\right)^{2}}\right)$,

则称$f$在${{\mathbf{x}}^{\mathbf{0}}}$点处可微。记

$d f\left(\mathbf{x}^{0}\right) : R^{n} \rightarrow R^{1}$，

$d f\left(\mathbf{x}^{0}\right)(\Delta \mathbf{x})=A \Delta \mathbf{x}$，$\Delta \mathbf{x} \in R^{n}$。

显然，$d f\left(\mathbf{x}^{0}\right)$为线性映像，称$d f\left(\mathbf{x}^{0}\right)$为$f$在$\mathbf{x}^{0} \in U$处的微分。

注：谈论一元函数的微分性质时，徐森林 薛春华数学分析.第1册中并未给出微分定义（只有导数定义）

参考文献：徐森林 薛春华. 数学分析. 第2册[M]. 2006：72.

四、

定义（167）：$R \rightarrow R$的线性映像

$h \mapsto f^{\prime}(x) h$，（5.1.11）

称为函数$f$在x处的微分，记做$d f_{x}$，即

$d f_{x} : h \mapsto f^{\prime}(x) h$，（5.1.12）

或

$d f_{x}(h)=f^{\prime}(x) h$。（5.1.13）

从等式（5.1.13）看，$f^{\prime}(x)$与$d f_{x}$几乎相同 。事实上，$d f_{x}$是$R \rightarrow R$的线性映像，而$f^{\prime}(x)$正是代表线性映像$d f_{x}$的（关于一维线性空间R的通常的基的一行一列的）矩阵，后者与数成一一对应。我们常常把一行一列的矩阵与它所对应的数看成是同一个东西。

注  微分这个词是Leibniz于17世纪引进的，他是在极限概念尚未弄清楚的情况下为了解释微分学的形式运算规律而引进的。他用了在当时还没有清晰定义的无穷校的概念，在传统的数学分析教科书中，一元函数f在点x处的导数$f^{\prime}(x)$看成是一个（依赖于x的）数。我们现在把导数看成一个一行一列的矩阵，因为一行一列的矩阵与数成一一对应，一元函数f在点x处的导数$f^{\prime}(x)$看成是一个（依赖于x的）数。我们现在把导数看成一个一行一列的矩阵。因为一行一列的矩阵与数成一一对应，一元函数f在点x处的导数$f^{\prime}(x)$看成是一个（依赖于x的）.

特别，当$f=i d_{R}$（R上的恒等映射）时，即$f : x \mapsto x$或$\forall x \in R$（$f(x)=x$）时，为了方便，映射$f=i d_{R}$常记作x。应注意的是：x表示映射

$x : x \mapsto x$

上式中，第一个x表示映射，第二个x表示自变量的值x，第三个x表示自变量的值x在映射x下得值。同一个x表示很多不同的东西。根据上下文，一般不会搞混。当然，同学应小心区别它们的涵义。

这时，我们有

$d x : h \mapsto h$，

换言之，$d x=i d$。故公式（5.1.13）可改写成

$d f_{x}=f^{\prime}(x) d x$（5.1.14）

应注意的是：最后的$dx$表示的是恒等映射。

这个（5.1.14）也可改写成

$f^{\prime}(x)=d f_{x} \circ(d x)^{-1}$（5.1.15）

公式（5.1.15）与leibniz引进的导数记法

$f^{\prime}(x)=\frac{d f}{d x}$

参考文献：陈天权. 数学分析讲义(第一册)[M]. 北京大学出版社, 2009.

 五、

1.微分是增量中的线性主部。具体来说，考虑$y=f(x)$在点$x_{0}$由自变量的增量$\Delta x$引起的因变数的增量$\Delta y$。若有常数$a$使得$\Delta y=a\Delta x+o(\Delta x)$（$\Delta x\to 0$），则称$\Delta y$有线性主部。这时称$y=f(x)$在点${{x}_{0}}$可微，并将这个线性主部称为$y=f(x)$在点${{x}_{0}}$的微分。

4.上述微分的记号是$dy=f'({{x}_{0}})dx$，其中将自变量的增量$\Delta x$写为$dx$，这是因为，对于最简单的线性函数$y=x$，确实有$dy=dx=\Delta x$。

6.由于历史原因，有时会将微分说成是“很小很小的量”，“小于任何给定量的量”等等。应当指出这样说是错误的。在$dy=f'(x)dx$中$dx$只不过是一个自变量，当$f'({{x}_{0}})\ne 0$时，只要$\Delta x=dx$取得足够大，微分$dy$的值就可以取到任意大的值。

参考文献：谢惠民 恽自求 易法槐. 数学分析习题课讲义(上)[M]. 高等教育出版社, 2006.

六、

定义3.3

设y=f(x)在区间I有定义，x₀∈I，若存在一个现行映射${{l}_{{{x}_{0}}}}:\Delta x|\to A\Delta x$（A是依赖于${{x}_{0}}$的一个常数），即${{l}_{{{x}_{0}}}}(\vartriangle x)=A\vartriangle x$，使得$\forall {{x}_{0}}+\vartriangle x\in I$有

$\vartriangle y=f({{x}_{0}}+\vartriangle x)-f({{x}_{0}})={{l}_{{{x}_{0}}}}(\vartriangle x)+o(\vartriangle x)$

（其中$\underset{\vartriangle x\to 0}{\mathop{\lim }}\,o(\vartriangle x)/\vartriangle x=0$），则称f(x)在点${{x}_{0}}$处可微并且称${{l}_{{{x}_{0}}}}(\vartriangle x)$为f(x)在点${{x}_{0}}$处的微分，记作$df({{x}_{0}})$或$dy{{|}_{{{x}_{0}}}}$，即$dy=A\vartriangle x$.

当$y=I(x)=x$时，$\vartriangle y=(x+\vartriangle x)-x=\vartriangle x$，所以，$dy=\vartriangle x$，即$dx=\vartriangle x$，因此经常记

$dy=f'(x)dx$，相应地$\frac{dy}{dx}=f'(x)$。

参考文献：居余马 葛严麟. 高等数学. 第II卷. 一元微积分与微分方程[M]. 清华大学出版社, 1996.

七、

定义：

定理1  函数$f\left( x \right)$在点${{x}_{0}}$可微的充分必要条件是$f\left( x \right)$在点${{x}_{0}}$可导且有

$dy={{f}^{'}}\left( {{x}_{0}} \right)dx$

如果函数$y=f\left( x \right)$在区间                                               上每一点可导，则得到了函数的微分

$dy={{f}^{'}}\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x$

对于特殊的函数$f\left( x \right)=x$，它本身就是线性函数。容易求得$dx={{f}^{'}}\left( x \right)\Delta x=\Delta x$，$\Delta x$就是函数$f\left( x \right)=x$的微分$dx$，因此函数的微分今后总是写成下面的形式

$dy={{f}^{'}}\left( {{x}_{0}} \right)dx$

参考文献：郭林  王学武  王利珍. 数学分析[M]. 清华大学出版社, 2011.