自牛顿、莱布尼茨发明微积分以来，在伯努利兄弟、欧拉等大数学家的推动下，行之有效的微积分方法促进了整个自然科学的蓬勃发展。但由于牛顿“逐渐消失的增量”的不可捉摸，一会儿为零，一会儿不为零，受到贝克莱的责难，称为“消逝的量的鬼魂”；贝克莱同样对莱布尼茨的无穷小量概念毫不客气，他嘲讽道，承认一个无穷小量的概念超过了“我的能力”，接受像${{(dx)}^{2}}$这样的无穷小量的无穷小部分“对任何人而言都是无限困难的”。为了解决贝克莱悖论，以柯西为代表的数学家抛弃了无穷小量，用极限理论重新定义微分、导数等概念，赋予了微积分特别的严格性和精确性。进入20世纪，又经过康托、达布和沃尔泰拉等数学家的奠基性工作，勒贝格将传统微积分原理推向了新的高度。自此，国际数学界公认并宣布微积分原理完善。

然而事实果真如此嘛？

A.Robinson和K.Godel是数学界的杰出代表。Godel说：“以这种或那种形式表示的非标准分析，将成为未来的分析学。”非标准分析的作者Robinson说：“本书证明了Leibniz的思想能够全面维护。”又说：“有一个鲜明的对比：对Leibniz及其追随者，给以严格的待遇，而对极限学说的发起者的错误却予以谅解。”

莫绍揆先生是南京大学数学系的著名教授，在微积分的研究方面颇有造诣，尤其在微分本质的探讨上，特别指出了前人的极限理论在定义微分上的本质缺陷，具有重要的学术价值。由于微分在积分和微分几何领域不可替代的地位，莫绍揆先生尝试提出了一种新的微分定义。笔者觉得有必要介绍一下莫绍揆的《试论微分的本质》一文，希望与在数学上具有求真和探索精神的读者一探究竟。

莫绍揆先生在文中明确指出了古典的微分理论的错误。这种古典的微分理论，正是废除了无穷小代之以极限论的微分理论。

在牛顿、莱布尼茨时代，人们把自变元$x$的无穷小增量$\theta$叫做$x$的微分，函数$f(x)$的相应的增量$f(x+\theta )-f(x)$（当舍弃了高级无穷小后）叫做$f(x)$的微分，并分别记为$dx$及$df(x)$。对一元的情况还定义导数${{f}^{'}}(x)$如下：

${{f}^{'}}(x)\text{=}df(x)/dx$                    （1）

对多元的情况，人们仍把自变元${{x}_{i}}$的无穷小增量${{\theta }_{i}}$叫做${{x}_{i}}$的微分，记为$d{{x}_{i}}$，而函数$f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$相应的增量，当舍弃了高级无穷小后，叫做$f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$的微分，记为$df({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$。并推出了（事实上需假定各偏导数连续，$f$对第$i$自变元的导数下文记为${{f}_{(i)}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$，有：

$df({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})\text{=}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{(i)}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})d{{x}_{i}}$      （2）

当人们抛弃了无穷小量代之以极限理论，此时“无穷小量”$\theta $或${{\theta }_{i}}$便换为有限增量$h$或${{h}_{i}}$。

对于一元函数，人们用有限增量的比的极限来定义导数；多元函数则同法定义偏导数。之后人们引入微分。分两种情况。对一元函数的$f(x)$，则：

         $f(x)$的微分$df(x)$指${{f}^{'}}(x)h$（$h$意指$x$的增量）        （3）

对多元函数$f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$，则：$f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$的微分

$df({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})\text{=}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{(i)}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}){{h}_{i}}$ （${{h}_{i}}$意指${{x}_{i}}$的增量）                                          （4）

然而不管哪种情况，我们都必须引入自变元的微分。现在有两种说法：

其一是“证明”$h=dx$以及${{h}_{i}}=d{{x}_{i}}$。其证明的过程如下。由$df(x)\text{=}h$，令$f(x)=x$，则$dx=h$。又由$df({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})\text{=}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{(i)}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})d{{x}_{i}}$；令$f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})\text{=}{{x}_{i}}$，这时${{f}_{(i)}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})\text{=1}$及${{f}_{(i)}}({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})\text{=0}j\ne i$，故便得$d{{x}_{i}}={{h}_{i}}$，这样我们便推得了（1）和（2）。

另一个说法是：当$f(x)$或$f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$非自变元时如上定义，但当$f(x)$为$x$或$f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$为${{x}_{i}}$时，则定义为：$dx=h$，$d{{x}_{i}}={{h}_{i}}$。代入上定义式便得（1）（2），显然，这个说法不是“证明”，而是用定义来保障（1）（2）的正确。

莫绍揆先生认为，“无论是用定义或者作出‘证明’，所得的两式即$dx=h$及$d{{x}_{i}}={{h}_{i}}$都是不正确的。因为，人们所以要采用微分$dx$主要在于对其中的$x$可以作代入”。如果$x=g(t)$及 $X=G(T)$即有：

                                     $df(g(t))={{f}^{'}}(g(t))dg(t)$以及

$df(G(T))=\sum\nolimits_{i}{{{f}_{i}}}(G(T))d{{g}_{i}}(T)$，（${{g}_{i}}(T)$为$GT$的分量）

实践表明，上面两式是正确的。这两式正是微分论中重要的公式。但若按照古典的微分理论是无法真正证明上面两式的，或者说这“证明”是有问题的。具体阐述如下：

例如由（1）式而获得$df(g(t))={{f}^{'}}(g(t))dg(t)$，但是由（3）得：无论$dx$或$d{{x}_{i}}$，都是与$x$或${{x}_{i}}$无关的量$h$、${{h}_{i}}$，这时即使对$dx$的$x$作代入它仍是$h$而非$dg(t)$，这是明白易见的，绝不能因为把$h$写成$dx$的有所改变。人们为什么能够“证明”呢？这是一个明显的概念混乱所致。

因为从定义（3）（4），$d$是作用于函数关系$f$之上的算子，“$df(x)$”应理解为$d$作用于$f$得$df$，再作用于$x$而得它在$x$处的值。这时如果把“$f(x)$”代之以$x$，应理解为代入以恒等函数$Ix$；如果把$f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$代入以${{x}_{i}}$应理解为代入以射影函数${{I}_{ni}}({{x}_{1}},...,{{x}_{n}})$。所以我们只能得

                        $dI(x)=h$及$d{{I}_{ni}}({{x}_{1}},...,{{x}_{n}})={{h}_{i}}$                    （5）

从而（1）式只能写为（用$X$表示矢量$({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}$）:

         $df(x)={{f}^{'}}(x)dI(x)$及$df({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})\text{=}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{(i)}}}(X)d{{I}_{ni}}(X)$。       （6）

这里是$dI$作用于$x$，$d{{I}_{ni}}$作用于$X$，而不是$d$作用于填式$I(x)$、${{I}_{ni}}(X)$（$I(x)$与${{I}_{ni}}(X)$是函数填式而不是函数关系本身，它们不应是$d$的作用对象），因此绝不能从（6）中这两式作代入而得出。

在此，简单说一下，$dI(x)=h$可以简记为$dx=h$。由$x=g(t)$，我们可得：$dx=dg(t)$。但这两个$dx$不能划等号，两者$d$的作用对象不同，前者是$d$作用于$I$，而后$dI$作用于$x$，后者是$d$作用函数$x=g(t)$。两者有本质的区别。前者与$x$的取值无关，只跟$x$的增量$h$有关，而$h$是一个大小可变的量。而后者只与$t$的取值和$t$的增量有关，$t$的增量是一个变量。两者表达的含义不同。因此，绝对不可以把两个$dx$等同于一个$dx$。否则，则是明显的概念混乱。

另外，有学者认为，微分是无穷小增量，而$dy={{f}^{'}}(x)\Delta x$只是近似式，要$\Delta x\to 0$时方有$dy={{f}^{'}}(x)dx$，遂认为$dx$、$dy$分别是“无穷小”的$\Delta x$、$\Delta y$；或者“$\Delta x\to 0$时的$\Delta x$、$\Delta y$”。如陈纪修的《数学分析》（第二版）便持这样的观点。其实当$\Delta x\to 0$时显然$\Delta x\to 0$及$\Delta y\to 0$，哪能得出$dx$、$dy$呢？这种错误的理解也是古典理论的错误说法引起的。

最后，莫绍揆先生得出结论，“说$dx=\Delta x$，无论如何都是不能接受的”，又说“在微分学中，微分概念在理论上（指自变元微分）是讲不通的，在使用上是没有用的，甚至于会引起麻烦的”。

莫绍揆先生同时讨论了多元函数的可微性，并且认为多元函数微分学的内容可以根本不提到“微分”而简捷地完美地发展着。

多元函数的可微性定义如下：

定义  如果存在线性函数$L$（与$X$有关）便得

$\underset{H\to 0}{\mathop{\lim }}\,(f\text{X+H})-f(X)-L(H))/\left| H \right|=0$，

则说函数$fX$在$X$点可微（可导）。

以前把$LH$叫做$fX$在$X$点的微分，新近理论则把$L$本身叫做$fX$的微分，但$H$既非$dX$，叫做微分不妥当，应该叫做$fX$在$X$点的导数，由于它又含有$H$，可叫做带参数的导数。注意在一元时，导数与带参导数均存在但不相等（后者多一因子$h$），在多元时，只有带参导数。

把$L(H)$叫做含参数的导数后，通常认为多元函数微分学的内容就可以根本不提到“微分”。而且，这里先生还认为“在多元函数的微分学中，微分概念以及微分算子d的引入，不但没有必要，反而会引起种种麻烦与不方便，我们应废除它”。

但微分概念却一直被沿用迄今，从来没有人提议废除它，这是什么缘故呢？莫绍揆先生认为，“在别的领域（例如积分学以及微分几何等），使用微分概念不但是方便的，有时还是必要的，不能用别的概念（例如导数）而简捷地代替它”。

仔细考究需使用微分的地方，可以归结为对微分的两个要求：

1、当作换元$x=g(t)$或$X=G(T)$时，对$dx$需作代换$dx=dg(t)$，对$d{{x}_{i}}$需作代换$d{{x}_{i}}=d{{g}_{i}}(T)$（亦即对$dX$作代换$dX=dG(T)$）。

2、如果$x$、$y$间有关系$y=f(x)$，则$dy={{f}^{'}}(x)dx$，或者如果$F(x,y)=0$则${{F}_{(1)}}dx+{{F}_{(2)}}dy=0$。

表面看来，古典的微分理论是可以推出这两个性质的，从而似乎是可以接受的。但是，如上所述，古典的微分理论并没有真正的推出这两个性质（其推导实际上似是而非，不能接受的）。莫绍揆先生同样指出，继古典微分理论之后的近代微分理论实质与古典理论无别同样无法真正推出这两个性质。

因此，莫绍揆先生在文中认为“我们要重新定义自变元的微分$dX$以及函数的微分$df(x)$，重新发展微分论”。

在现有的微分理论中，自变量微分的定义是很不合理的。但是，依变元微分的定义又是离不开自变元微分的，那么有一个办法便是：把自变元也看作别的变元的函数，而该别的变元则从来不使用的，这样我们所碰到的便都是依变元的微分了。于是莫绍揆先生有了如下定义：

定义  特别指定一个变元（事实上在别处永不使用）$t$，$x$对$t$的导数记为$dx$，$X$对$t$的导数记为$dX$。亦即，$dx$实即${{D}_{i}}x$，而$dX$实即${{D}_{i}}X$。

通常认为自变量的微分就是其增量，依变元的微分近似于其增量，当增量越变越小时它们非常接近。换句话说，人们认为（像莱布尼茨那样）：微分就是无穷小的增量。这种看法是不对的，正如莫绍揆先生所说，我们应该认为：诸微分之比近似等于相应增量之比，当增量趋于零时，两比相等。这是不难证明的。