从自学量子力学的第一天起，我就有许多疑惑。电子和光子到底是波还是粒子？一个客体怎么可能既是波又是粒子？问起周围一些人，得到的解释各式各样，又是“微观宏观”，又是“波粒子互补性”，我却越听越糊涂。再进一步追问为什么，就有人出来教训“不要问，只管算”。尽管思考过很长时间，仍然无法把“波”和“粒子”在头脑中统一起来，这时却被告知“没有人真正懂得量子力学”。后来经过研究生阶段的系统学习才认识到，量子力学在讨论微观粒子的运动的时候，需要把一个完整的过程分为三个阶段：

(1)   根据粒子的初始条件确定这个粒子的初始波函数；

(2)   由薛定谔方程计算波函数随时间的演化；

(3)   用测量仪器来发现粒子的所测物理量最终的状态。

在这三个阶段里，量子力学关注的焦点在粒子和波函数之间转移。在第一阶段，必须设法确定初始波函数，否则量子力学就无法开始讨论。在这个阶段，量子力学关注的焦点从粒子转移到波函数。第二阶段里量子力学关注的是波函数的演化，避免直接讨论粒子的行为。在第三阶段，关注的焦点从波函数再回到对粒子的各种物理量的测量，预言物理量的观察结果。量子力学的“三阶段论”用波函数和粒子分别描述系统演化的不同阶段。“三阶段论”是量子力学入门的钥匙。

作为一个例子，考虑一维量子势垒模型中电子的运动。当一个电子被发射时，它的初始状态就由发射器所决定了，于是就有了一束射向势垒的初始波函数，见图1(a)。这是“三阶段论”之第一阶段。在“三阶段论”之第二阶段，波函数由薛定谔方程所决定的方式演化。波函数首先向势垒运动，当波函数到达势垒时分裂为两部分，一部分穿透势垒继续前行，另一部分则被势垒反射而折回。整个波函数就是这两个部分波函数的叠加。图1(b) 、(c)和(d)大致反映了波函数按照薛定谔方程演化的三个瞬间。最后，在“三阶段论”之第三阶段，电子被穿透探测器和反射探测器所测量。按照“玻恩法则”，在每一边探测到电子的几率，由波函数在两边的分布决定。如果穿透探测器探测到电子，波函数就由图1(d)的两部分突然变成唯一的穿透部分（图中的左边部分），右边那部分反射波函数就不存在了。反之，如果反射探测器探测到电子，那么波函数就由图1(d)的两部分突然变成唯一的反射部分（图中的右边部分），左边的穿透波函数就不存在了。测量之前波函数在势垒两边广阔的范围内分布着，在测量电子位置的过程中波函数会从这种广阔分布的状态突然收缩到空间某个特定区域，这个过程称为波函数的“缩编”。

米勒和惠勒在1983年用一条“龙”的形象对基本量子现象做了生动的解释[1]。在他们的描述中，量子现象这条龙的头部和尾巴是可见的，但是，在它的头尾之间，其身体是不为人知的，见图2。量子力学里的“三阶段”，就分别对应龙的头部、身体和尾巴。头部和尾巴分别相当于第一阶段初始条件的准备以及第三阶段测量和观察的结果。所谓“龙的身体是不为人知的”，就是说，在第二阶段里，量子力学仅仅知道波函数如何演化，但是不知道粒子如何运动。

如果用经典力学讨论粒子的运动过程，也可以分为三个阶段：

(1)   确定粒子的初始位置和动量；

(2)   由牛顿方程计算粒子的位置和动量随时间的演化；

(3)   用测量仪器发现粒子最终的状态。

量子力学的三阶段分别对应着经典力学的三个阶段。经典力学和量子力学在描述物理过程的时候，最重要的区别是，在第二阶段里经典力学描述粒子的运动，而量子力学描述波函数的演化。由于第二阶段不同，第一阶段和第三阶段也就相应地有所区别。在第一阶段，经典力学和量子力学都需要准备初始条件，经典力学准备的初始条件就是粒子的初始状态（如坐标和动量等），但是量子力学的初始条件必须是波函数的初始状态。在第三阶段，经典力学和量子力学都需要测量所研究系统的物理量的值，经典力学可以直接测量粒子的状态，包含同时测量多个物理量。但是量子力学必须有自己的测量理论，说明如何从波函数得到某个确定的物理量的测量结果。目前的量子力学教科书里在讲解测量理论时，多数都遵循哥本哈根诠释，这种诠释是以玻尔为代表的哥本哈根学派提出的。

由于经典力学和量子力学有不同的三阶段论，在分析运动过程时就有不同的观念。

按照经典力学，一旦发现粒子被反射探测器所俘获，就可以确认这个粒子曾经沿着“从发射器出发到势垒、然后被反射、最后到达反射探测器”这条轨道运动；反之，一旦发现粒子被穿透探测器所俘获，就可以确认这个粒子曾经沿着“从发射器出发到势垒、然后穿透势垒、最后到达穿透探测器”这条轨道运动。在经典力学中，总可以根据测量结果对粒子的运动轨迹作出可靠的推理，无论粒子被哪个探测器发现，都可以断言粒子从来不曾访问过势垒的另一边。这是经典力学遵循的逻辑，不妨称之为“经典直观逻辑”。

但是，量子力学的三阶段论挑战了经典直观逻辑。在量子力学的三阶段论中，第二阶段的运动完全由波函数描述。无论粒子被哪个探测器发现，波函数都像图1里从(a)到(d)四个图所描绘的那样演化。不能因为测量的时候粒子被反射探测器发现，就认为波函数到达势垒的时候完全被反射，没有任何一部分穿透了势垒。反之，即使穿透探测器接收到粒子，也不能说测量之前反射波函数就不存在。量子力学里粒子的命运，既不是在粒子被发射的时候由它的初始条件所决定，也不是在粒子遇到势垒的时候由粒子与势垒的相互作用所决定，而是直到第三阶段实施测量的时刻才决定的。第三阶段的测量不会改变第二阶段里波函数演化的历史。在量子力学中，不能根据粒子最终的测量结果猜测粒子的运动路径。

黄祖洽先生在北京师范大学开设的“现代物理学前沿选讲”课程中曾经说过[2]：“物理学家的量子观念是逐步确立的。而且直到现在，不光普通的人，即使是学过物理的人，也并非全都真正理解了或者接受了量子观念。”经典力学和量子力学在观念上的区别，从一维势垒这个最简单的例子可见一斑。

[1]  Miller W A,  Wheeler J A, Delayed-choice experiments and Bohr's elementary quantum phenomenon, //Proceedings of International Symposium of foundations of Quantum Mechanics in the light of New Technology: Physical Society of Japan, Tokyo, 1983.

[2] 黄祖洽，现代物理学前沿选讲，北京：科学出版社，2007。