科学风景真好分享 http://blog.sciencenet.cn/u/sunbing01

博文

刘瑞祥:面积的剖分相等与拼补相等

已有 1125 次阅读 2019-5-20 11:06 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦

  上一篇博文发表后蒙多名博主推荐,特此感谢,但也有朋友私下和我交流时让我觉得自己没把概念说清楚,这里说一下有关内容,无关的就不说了。

  所谓剖分相等,是希尔伯特提出的概念,如果两个面积相等的多边形,把其中一个分成有限份以后,能够重新组合成另外一个,就说这两个多边形是剖分相等的。

01.png

图一,把十字形阴影部分切下三角形ABC,变成ADE,其余部分同样变化。此为剖分相等。

  与之对应的概念是拼补相等,对于面积相等的两个多边形,如果分别添加上同样的若干个全等形(但是组合方式不同),能够组成大的全等形,那原来的两个多边形就是拼补相等的。

02.png

图二,每个图形各加上四个直角三角形,变成全等形,此为拼补相等。

  下面只谈剖分相等。希尔伯特断言,任何两个面积相等的多边形,一定剖分相等。而且,剖分相等都有传递性

  两个等底等高的三角形一定剖分相等(因此面积相等)的证明如下。

1.在同一直线上等底等高且相邻的三角形剖分相等。

01-40-1.png

图三,见图自明

2.任何两个等底等高的三角形彼此剖分相等。

  将这两个三角形相等的底对齐,另外的顶点分别位于底的两侧。过顶点C和C'分别作高CE和C'E',连接CC'。

01-40-2.png

图四

  如上图,当CC'与底AB有交点D时,因为ABC和ABC'等底等高,容易知道,CD等于C'D。根据上右图可以知道因此整体是剖分相等的。

  如果CC'与AB边不相交,设CC'约AB的延长线交于点D,则:

01-40-3.png

图五

  依据欧多克斯-阿基米德公理,一定存在一个整数n,是的AB延长n倍后,长度超过AD

  又,根据前面的第一步,三角形ABC与BB1C、BB1C与B1B2C、...、Bn-2Bn-1C与Bn-1BnC的每一对剖分相等,所以根据剖分相等的传递性,ABC与Bn-1BnC剖分相等。

  而根据前面第二步可以证明,Bn-1BnC和Bn-1BnC'剖分相等。再次利用剖分相等的传递性,即得证三角形ABC和ABC'剖分相等。

得证。

(参见《几何基础》,钱端壮著,高等教育出版社1959年出版,P146-148)

  原著还有任意两个面积相等的三角形剖分相等的证明,就不引用了。

  前面用到了阿基米德公理。希尔伯特说,等底等高的三角形要做到剖分相等,必须用到阿基米德公理。其证明如下:

03.png

  假设阿基米德公理不成立,即没有一个整数n,使得ne>a。

  如图,两个等底等高的三角形ABC和ABC',有共同的底AB=e,其中AC垂直且等于AB,C'D垂直AB的延长线于D,且AD=a。容易知道,三角形ABC的最长边BC<AB+AC=2e。

  设ABC和ABC'是剖分相等的,则两者能分成有限多且彼此对应全等的k对三角形。其中,ABC里每个小三角形的边或者在三角形ABC的边上或者在其内部,因此这k个小三角形的最长边都不会大于ABC的最长边,更不会大于2e。所以这k个小三角形的全部边长之和一定小于6ke。

  将这k个小三角形重新组合成ABC',全部边长之和不变。而这“全部”边长一定含有AC'的全部。即AC'<6ke。而a<AC',更应该有a<6ke。于是和前面的假设矛盾。

  得证。




http://blog.sciencenet.cn/blog-3388899-1180116.html

上一篇:刘瑞祥:学习几何基础产生的一个困惑——关于面积论
下一篇:刘瑞祥:美哉“大乘数学”

2 尤明庆 史晓雷

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...
扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2019-10-16 10:02

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部