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刘瑞祥:学习几何基础产生的一个困惑——关于面积论

已有 1258 次阅读 2019-5-17 09:19 |个人分类:数学|系统分类:观点评述

  我在阅读《几何基础》时遇到一个问题,恳请科学网的老师答疑解惑。

  《几何基础》里说到,等底边等高线的两个三角形,恒剖分相等,然而我们要注意,这种证明不用阿基米德公理是不可能的(P45)书中随后给出了证明。但是我受到网络资料的启发,感觉好像未必如是,因此把自己的困惑写在下面。为了说明问题,我把我思考的过程分成三个部分。

一、任意长方形都和等面积的正方形剖分相等。

图一

  图一的左图是矩形ABCD的短边大于长边一半时的作图,BF为AB、BC的比例中项;中图是矩形短边小于长边一半时的作图,AE为AB、BC的比例中项;右图是矩形长边恰好等于长边一半时的作图,十分简单。以上见图自明,不再赘述其具体作图过程及证明。

  值得注意的是,这里显然没有用到阿基米德公理。根据多边形面积剖分相等的传递性(《几何基础》定理43,P43)可知,任何两个面积相等的长方形,在无须阿基米德公理的条件下,彼此也剖分相等。

二、任何三角形都和等面积的长方形剖分相等。

  下面是一个三角形ABC与矩形剖分相等的作图,其中角C是最大的角。这里也没有用到阿基米德公理

图二

三、结论

  根据前面的作图结果,任意两个面积相等的三角形(当然也就更包括等底等高的三角形),因为都能和等面积的矩形剖分相等,而等面积的矩形也和等面积的正方形剖分相等,因此等面积的三角形彼此也剖分相等。可以图示如下:

图三

  而以上均未用到阿基米德公理。因此,根据剖分相等的传递性,任意两面积相等的三角形,无须阿基米德公理就可以证明彼此剖分相等

四、补充说明

  作为一名十八线学渣,我当然不敢说希尔伯特的论述是错误的,我也无意成为立志推翻某大人物或者大理论的那种“民科”,但是以上确实是我的困惑,不知道哪位朋友可以帮到我,给我看看我的错误在什么地方,比如在什么地方隐晦地暗含了阿基米德公理而我不自知。


本文所引用的《几何原本》,是北京大学出版社2009年版。文中提到的阿基米德公理是指,ABCD是任意两线段则必存在一个数n使得沿AB的射线上A作首尾相接的n个线段CD必将越过B

前面提到受网络启发,主要说的是第一部分的中图,见https://zhidao.baidu.com/question/182732425.html。

ps.

有论者认为,我前面的分析没有考虑到细长而且非常倾斜的平行四边形(见下面的左图),姑且不论前面压根没有涉及平行四边形,是借助矩形来论述的。即便是细长而非常倾斜的平行四边形,如果连接两短边中点,并过这两个中点做长边的垂线,亦可将此平行四边形变为剖分线相等的矩形(见下面的右图),然后就能够按前面内容做了。

图四



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