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非线性方程组的吸引域和分界线

已有 4548 次阅读 2013-1-24 21:46 |个人分类:探疑求惑|系统分类:科研笔记|关键词:非线性动力学,微分方程组,分界线,稳定流形,FHN模型| 非线性动力学, 分界线, 微分方程组, 稳定流形, FHN模型

二维的非线性方程组,比如有名的FHN模型:

$frac{mathrm{d} V}{mathrm{d} t} =  V(a-V)(V-1)-w+I \frac{mathrm{d} w}{mathrm{d} t}  =  bV-cw$
其临界线(separatrix)是否是可由解析函数表示?
下图中虚线为临界线,是用数值方法近似的:

fhn模型吸引域及分界线


2013-04-01

搜separatrix总是得不到什么结果,搜stable manifold才得到一些信息。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stable_manifold

http://en.wikipedia.org/wiki/Stable_manifold_theorem


2013-08-22

原来做这个图的时候,是用的搜索的方法,采用二分法扫描,通过计算不同初值最后趋近于哪个结点得到分界线。这是效率很低的笨办法。

后来知道,其实用时间逆向积分来得到这个分界线更容易,至少对FHN方程来说是这样的。


FHN方程中间的点是一个鞍点,二维的鞍点存在两条稳定流形,也就是从无穷远或其它稳定点流进来的轨线,这两条轨线就是FHN模型的分界线。


那么数值上近似得到稳定流形呢?

首先可以计算出鞍点的坐标,然后通过计算雅可比矩阵求出在这点的特征向量,然后可以在这点坐标的加上一个微小的特征向量偏移,把这样得到的坐标作为初始值,进行时间逆向积分就可以得到近似的稳定流形轨线了。


Mathematica有一个专门用来做动力学分析的扩展包DynPac,笔者对Mathematica不是很熟,中间学着使用还费了不少时间,不过对Mathematica比较熟悉的人可能能够很快掌握吧。下载地址:

http://www.me.rochester.edu/~clark/dynpac.html 

当然,动力学分析还有专门的软件,比如auto,xppaut。





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2 杨华磊 蒋迅

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