接下来要讲的内容有何共性呢？一句话来概括：含有大参数或小参数的微分方程的全局渐近解。我们第四章也讲微分方程渐近解，但是它处理的主要是奇点附近的局部渐近解，也就是说，我们得到的解只在某些孤立点附近成立，远离了这些点，解就失效了。后面我们要讲的全局渐近解，是在某个区间（可以是无穷大）上一致成立的解。那么我们靠什么来“渐近”呢？局部解是越靠近奇点，越精确；全局解的“渐近”体现在哪里呢？就体现在大参数或小参数上，把一个困难问题（Hard Problem，HP） 参数展开为一系列容易问题（Easy Problem，EP），取有限项时，参数越大或越小（其实，大参数的倒数就是小参数），解越精确。用公式表示，就是：

\[\text{HP}(\varepsilon)=\sum_{i=0}^{N}\delta_i (\varepsilon) \text{EP}_i =\text{EP}_0+\delta_1 (\varepsilon) \text{EP}_1+\delta_2 (\varepsilon) \text{EP}_2+\cdots\]

       那么这些大参数或小参数从哪里来呢？这个是问题的关键。其实，绝大部分物理问题中，自然含有这些参数，这些参数表示的就是不同物理因素影响力的相对大小（又回到抓主要矛盾和量纲分析了）。一个物理问题中，往往存在多种因素相互作用，此消彼长。不可能把所有因素都加以考虑，就要抓住要矛盾，看哪些是主要因素，哪些是次要因素，互相比一比影响力，这样一比就得出一些无量纲数，也就是我们这里所说的大参数或小参数。流体力学中的Reynolds数、Mach数、Prandtl数、Liews数等等，太多了。它们都表示某两种影响因素之间的比值，或衡量了某种因素的影响大小。比如Reynolds数代表了什么物理意义（粘性）？Mach数呢（可压缩性）？在研究相对论问题时，特征速度和光速之比也是一个无量纲特征参数。大家各自研究领域内一定还有不少这样的参数。以后进入实际研究工作时，只要找到问题中的主控无量纲参数，问题就可以说解决一半了。所以，大参数或小参数怎么来？你先做个物理分析，或者对方程做个无量纲化，这些参数就自然出来了。

       另外还有一些问题，本身似乎看不出哪里有小参数或大参数，物理上表示两种因素同等重要，无量纲数是中等大小，$O(1)$量级的。这类问题无论从物理上还是数学上，都是比较难以处理的。但是“有条件要上，没有条件创造条件也要上”，我们“没有小参数，就人为造出来一个小参数”，求解之后再让参数等于1，这往往也是可行的。这类问题不是我们后续课程的重点，但大家也要了解一下。这里就举个典型例子，以后就不讲了。

        一个代数方程的例子：求方程 

\[ x^5+x=1 \] 

的实数解（复数解我们一样可以求）。首先我们判断：这是一个困难的问题吗？有没有人觉得这很简单啊？有没有求根公式？求一元五次方程的根式解曾困扰数学家三百余年，阿贝尔和伽罗瓦（\'{E}variste Galois，1811-1832）的工作证明了\textbf{一般一元五次方程没有根式解}。关于伽罗瓦和一元五次方程，有一个悲惨的故事，此处略去不表。1930 年华罗庚《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》一文，是对试图推翻阿贝尔和伽罗瓦证明的一种反驳，也是华罗庚的成名之作。

      那我们怎么来解呢？现在大家都会用计算机了，可以编个程序解一解，精确解为$x=0.75487767\cdots$。我们也可以用最简单方法，也就是画两个曲线求交点，如图1所示，这样可以找出近似解$x\approx 0.755$。我们用手画一下，也能大概确定交点在0.5和1之间，靠近0.75（注意0到1之间，函数幂次越高，曲线越向右下方偏移）。

图1 图示法求方程实根

       我们接下来用渐近方法来求解。既然没有求根公式，它也算是超越方程了，同样可以尝试用上一章最后刚讲的方法来求解。在第四章（往年情况先讲第四章）求解微分方程时，给它了一个标准的名字：主项平衡法！有人说那不是求微分方程的吗？注意我们前边说过的“渐近思想，灵活运用”，不管微分方程，还是代数方程，一样都管用。但问题是在那些情况下，都是求某极限解（参数极大或极小、趋近某奇点）情况下的解，在这个方程并没有显示出极限的存在。这种情况下怎么办呢？我们先试试看。我们已经估计出方程的解在0.75附近，那么方程中的三项就可以分个主次来。哪些是主，哪些是次呢？太简单了，$x^5$项是相对次要的。先忽略次要项，保留主要项，我们得到首次近似：$x_0=1$。这个偏离还太大，接着求次要修正，令$x=1+x_1$，且$\abs{x_1}\ll x_0=1$，代入原方程（其实我们一开始就可以令$x=1-x^*$代入原方程），得到：

\[(1+x_1)^5+1+x_1=(1+5x_1+10x_1^2+\cdots)+1+x_1=1\]

化简后，再用主项平衡，得到：$x_1=-1/6$，$x=x_0+x_1=5/6$，已经比较接近了。再令$x=5/6+x_2$代入原方程，可类似求出更精确的解。但是这种做法不太标准，大家看出问题了吗？在第一步中，虽然我们假设忽略掉的$x^5$项是次要项，但是求出$x_0=1$后，带回检验一下，发现它并不“次要”。这就与主项平衡法的要求不太相符，很容易让人迷惑，虽然它貌似是可行的。

        我们希望人为引入一个小参数，来让我们的推导更合理一点。怎么办呢？我们在原方程中强行插入一个小参数，得到：

\[x^5+\varepsilon x=1\]

接下来就是标准流程，把难题(HP)拆解为一系列容易的小问题(EP)，即令

\[x=\sum_{i=0}^{N}\varepsilon^i x_i =x_0+\varepsilon x_1+\varepsilon^2 x_2+\cdots\]

代入原方程，得到：

\[(x_0+\varepsilon x_1+\varepsilon^2 x_2+\cdots)^5+x_0+\varepsilon x_1+\varepsilon^2 x_2+\cdots=1\]

这时候有小参数在，我们就可以放心地一次次用主项平衡法。这个过程有一个更标准的名字：\textbf{摄动方法}，它等效于让小参数$\varepsilon$各次幂的系数都等于0，得到$x_i$的一系列递推方程，即

\[\begin{split} & \varepsilon^0: \quad x_0^5=1 \\ & \varepsilon^1: \quad 5x_0^4 x_1+x_0=0 \\ & \varepsilon^2: \quad 5x_0^4 x_2+10x_0^3 x_1^2+x_1=0\\ & \varepsilon^3: \quad 5x_0^4 x_3+10x_0^2 x_1^3+20x_0^3 x_1 x_2+x_2=0 \\ &\varepsilon^4: \quad \cdots \end{split}\]

很容易解出：

\[x_0=1, \ x_1=-\frac{1}{5},\ x_1=-\frac{1}{25}, \ x_3=-\frac{1}{125},\ x_4=0,\ x_5=\frac{21}{15625},\ x_4=0,\ x_5=\frac{78}{78125}, \ \cdots\]

\[x=1-\frac{1}{5}\varepsilon-\frac{1}{25}\varepsilon^2-\frac{1}{125}\varepsilon^3+\frac{21}{15625}\varepsilon^5+\frac{78}{78125}\varepsilon^6+\cdots   \]

然后，令$\varepsilon=1$，就回到我们的原方程了，得到$x=0.75434\cdots$，非常接近精确解了。注意，在求解$x_0$时，不局限于求实数解，实际上可以在复数域把5个根都找到。

        但问题来了：1，能随便让小参数等于1吗？可以证明关于$\varepsilon$的级数收敛半径是大于1.6的（$1.64938\cdots$）；2，小参数能放到其他地方吗？比如

\[\varepsilon x^5+x=1\]

可以，但要小心，刚才是正则摄动方法，现在是奇异摄动问题了。若不小心，仍按照上面正则方法流程处理，将得到

\[x=1-\varepsilon+5\varepsilon^2-35\varepsilon^3+285\varepsilon^4-2530\varepsilon^5+23751\varepsilon^6+\cdots   \]

取6项近似时，得到$x=21476$。其实上面级数的收敛半径远小于1（实际为0.08192）。那怎么办呢？我们有处理奇异摄动问题的方法。此处仅提示一下，我们在第七章将详细讲述它。

       通过这个简单例子，我们看到，把渐近方法的思想运用得当，可以收到意想不到的效果。但是虽然看着玄妙，貌似又有点无章可循。是不是太随意了，随便给你一个方程，这种方法就能用吗？接下来课程里，我们要较为系统地、较为严格地介绍几种渐近分析的方法。让我们分别从数学形式和物理含义两个方面来初步认识后面课程的主要内容。

数学形式

        我们在研究物理问题时，经常遇到二阶变系数线性常微分方程，它的一般形式为

\begin{equation}\label{eq:2ode0} y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)\end{equation}

这是一个非齐次方程，它的通解是什么呢？齐次方程的通解加上非其次方程的一个特解。特解我们总有其它方法找到，关键是找对应齐次方程的通解（常系数怎么求？）。所以我们的重点是求解

\begin{equation}\label{eq:2ode1} y''+a(x)y'+b(x)y=0 \end{equation}

或者

\begin{equation}\label{eq:2ode2} y''+p(x)y=0 \end{equation}

这两个方程一样吗？等价吗？其实通过一个简单变化就可以证明，二者是等价的。令$y=U(x)z(x)$，代入原方程，得到

\[U''z+Uz''+2U'z'+aU'z+aUz'+bUz=0\]

这是一个$z$关于$x$的微分方程，变换之后看着比原来更复杂了啊？但这里$U(x)$是未知待定的，我们有选择的自由。我们不想要一阶导数项，就可以选择令其前面的系数$2U'+aU=0$，那么

\[U(x)=\exp(-\int_{0}^{x}\frac{a(t)}{2}\text{d}t)\]

方程就变为

\[z''+[\frac{U''+aU'}{U}+b(x)]z=z''+[b(x)-\frac{a^2(x)}{4}-\frac{a(x)}{2}]=z''+p(x)z=0\]

所以，我们在讲WKB方法时，一般不列出一阶导数项。如果实际问题中遇到带有一阶导数项的问题，别说没法解哦，要知道怎么变换把它消去。

       你能想象这个方程解的图像吗？它定性上是什么样的？如果一开始想不到，就从你最熟悉的、和它样子很相似的方程出发做类比。如果$p(x)=C$是常数，那么结果就简单了吧？它就的解就表示振动或指数变化。如果与质量为$m$、弹性系数为$k$的弹簧振子系统类比，$y''$就是加速度（惯性力）项，$ p(x)y $就是恢复力项，此时$p(x)>0$就相当于$k/m=\omega^2$。那么上面的方程不过就是表示质量或弹性系数（或者说振动频率）随时间变化的振子系统，它的解虽然不是严格的简谐振动，但定性上肯定会存在往复运动。如果$p(x)<0$呢？我们可猜测，它肯定表示某种指数变化。本质上，上面方程就表示系统偏离平衡位置后，受到某种广义的“力”，使其恢复到平衡位置，或者更远地偏离平衡位置。这就是我们面对陌生的方程时，从我们熟悉的方程出发进行合理猜测和推断的过程。

        我们要意识到，这是一个非常难以求解的方程，难在哪里呢？我们知道，一阶常微分方程$y'+a(x)y=f(x)$总是能解的，它有通解。但是二阶常微分方程，即使线性的，除了极少数情况，一般也是没有通解的。

        但如果这个方程中存在大参数或小参数，我们就可以求它的近似解。小参数在哪里呢？因为这个方程只有两项，所以就分两种情况：一种是

\[\varepsilon y''+q(x)y=0\]

或者，令$\lambda^2=\varepsilon^{-1}$，等价得到

\[y''+\lambda^2 q(x)y=0\]

这类方程就要采用第五章的WKB方法来求解。

         另一种情况就是

\[y''+\varepsilon p(x)y=0\]

即使没有小参数的方程 $y''+ p(x)y=0$，只要$p(x)$本身不是很大，我们也可以人为插入小参数，求解后再让小参数等于1。求解这类方程可采用正则摄动方法，我们将在第七章来讲解。

物理背景

       我们提出数学方程式是为了描述物理过程变化规律的，那么常见的变化规律有哪些呢？从宏观上说，也就是中学和本科教科书上学过的，包括

• 均匀变化（不变、线性变化……）
  

• 振动（振荡、波动、周期往复……）

• 指数衰减（增长、过渡）

• ……

       上述规律中，第一个最简单，也可以看作是其他规律的特例。振动和指数变化又可以在复数域统一描述，就是$~\mathrm{e}^{\pm ix}~$和$~\mathrm{e}^{\pm x}~$的区别。我们上面提出的方程就是来描述这些物理变化规律的，它的应用范围相当广泛，在各个学科中都有体现。

      就拿振动模型来说吧，在讲课中有些同学可能会有疑问：老师，你怎么老是在讲振动方程啊？能不能讲点别的新鲜的？其实，有人做过统计，宇宙间至少80%的物理规律最终都可归结为简谐振动。注意，还不是复杂的振动，而是简谐振动！这句话怎么理解呢？有这么夸张吗？

       有人从数学角度解释：一般函数变化都可以做Fourier分析嘛？还有小波分析，正弦和余弦，不都是振动嘛？这也算是一种解释。

      从物理上说呢？说到振动，有人就想到弹簧黄振子、单摆等，这是标准的振动模型。让我们的思维更开放些、发散些！我在这里说话，你能听得到声音，靠什么啊？（耳朵？）振动！你能看到我在这里走来走去，靠什么啊？（眼睛？）振动！光是波动吧？整个客观世界、宇宙万物，振动真是无处不在。让我们想象一下，从宇宙大尺度，到量子小尺度，你都知道哪些振动吧！

• 大尺度 宇宙扩展收缩，星系旋转，黑洞、恒星伴星旋转，引力波，行星公转、自转……
  

• 常规尺度 潮汐，波浪，声，光，电，各种机械振动，各种电磁波（手机信号）……

• 小尺度 分子转动、振动，电子轨道，物质波，概率波，弦论，膜论……

       广义地看振动，就是某个物体或者事物，偏离平衡位置后，受到恢复力（也可能是排斥力）的作用。那就还可以定义一些广义的振动：人口（人口过多了，环境压力大，就会降一些）、股市涨落，情绪波动，政治（分久必合、合久必分），轮回、因果报应（也有恢复力？上帝的惩罚，作恶越多，惩罚越厉害）。

       总结一下，我们这里研究的方程模型，看似简单，但不要小看它。它实际很复杂，很有用，能够描述相当大一类物理问题的本质。最后，请从图2所示物理领域常用的势阱、势垒模型出发，想象振动、指数变化模型的普遍性，理解相关方程的重要性。

图2 物理领域常用的势阱、势垒模型（图片来自网络）

（2019年某日初稿，2020年2月27日修订。）