开场白

如果我设问：1米长，还是800毫米长？1光年长还是1万年长？你会说，问得太“小儿科”了，把我们当小孩子了。就像前天有一位博友跟帖时说，他逗小孩玩时，先问他们1＋1等于几，得到正确答案后，再问1个苹果＋1块糖等于多少？似乎只有对小孩才可以用此类问题逗着玩。非也！无巧不成书，前天吃午饭时看到电视里播着：有一位著名影视演员，他的微博有百万跟帖，他回应道：“对朋友亿万兆光年心不变！”他就不知道“光年”是个长度单位，指的是光在真空中走一年的距离，“亿万兆光年”与他心目中的“很长时间”风马牛不相及。你又会说，艺人是文科类人士，岀这种科技类“洋相”不奇怪，理工科人士不会。然而，正如钱伟长先生所指岀的，学理工的人有时推导出来的方程各项的量纲不同，我在审稿时也遇到过这类问题，与“逗小孩玩”的问题相比，“上了一个档次”，但本质相同。

原因在于，他们搞不清物理量与数学量的区别，没有掌握量纲分析这一锐利的武器。因此，本文的基本观点是：对于理工科学人来说，量纲分析非学不可。

量纲分析ABC

这里介绍一下量纲分析的ABC。

我们知道，自然现象和工程问题都可用一系列物理量进行定量描述，我们学习研究现象或问题的目的就在于探索规律。首先，要把所涉及的物理量按其特性进行分类；其次，要寻找不同物理量之间的内在联系，尤其是找出一组物理量与另一组物理量之间所存在的因果联系。

当我们涉猎新现象或新问题时需要对其中蕴涵的物理因素、关系和过程进行初步的合于实际的分析，运用第一原理确定起控制作用的物理量，认清各种参数的作用大小，并且注意到，只有同类物理量才能用同样的单位进行比较（本文开头的简单例子就是在这方面岀了问题），基于此，才有可能确定各个物理量的因果关系。现代科技中遇到的问题越来越复杂，一开始甚至无法用现成的数学模型来表述，就有必要设计合适的实验室模型或数值模型来揭示问题的物理本质。于是，量纲分析就大行其道了。

量纲分析是做理工类学问的首要步骤和行之有效的方法，是了解所研究的问题的物理实质的重要途径，因此是做学问的“常规武器”。

通过量纲分析可以给出各个物理量之间的关系，并可得到相似准则，对于厘清一些内在规律常有非同凡响的效果。正如著名科学家钱学森先生在三十年前在《土岩爆破文集》的序言中所指岀的：“由于爆炸力学要处理的问题远比经典的固体力学或流体力学要复杂，似乎不宜一下子想从力学基本原理出发，构筑爆炸力学理论。近期还是靠小尺寸模型实验，但要用比较严格的无量纲分析，从实验结果总结岀经验规律，这也是过去半世纪行之有效的研究方法。”这段话不仅适用于爆炸力学问题，也适用于所有其它复杂的科技问题。

我们经常看到，大师级科学家有很好的直觉，对于一些复杂问题善于略加分析就预知可能有的结果，这恐怕得益于他们的量纲分析的功力，至少是其中的一个重要原因。

下面简单回顾一下量纲分析理论的发展史。

1822年，傅里叶（J.-B.-J. Fourier）首次提出量纲的科学概念，将其从几何学推广到物理学的范畴。并指出，单位改变之后，某量的量值发生变化，与此量有关的量的量值随之改变。1871年，麦克斯韦(J.C. Maxwell)指出，对力学问题来说，在长度-质量-时间的L-M-T系统中，任一物理量的量纲均可表示为L、M、T的幂次之积，即Maxwell幂次律。1883年，雷诺（O.Reynolds）做了有名的雷诺实验（圆管内流动的转捩），首次给出了一个无量纲数Re＝ρvD/μ（1908年被被命名为雷诺数），流动从层流到湍流的转捩取决于雷诺数的大小。1914年，巴京汉(E. Buckingham)建立量纲分析与相似理论的π定理，他指出，每个物理定律都可以用几个无量纲量（称之为π）来表述，而且问题中的各无量纲数之间满足一定的函数关系。

量纲分析中基本概念少而简单。量纲是给出个物理量量值的基本工具，表征为单位。如：长度的量纲是米；基本量指的是具有独立量纲的量；有量纲量指的是量值与度量时的单位有关的量；无量纲量指的是量值与度量时的单位无关的量。

量值取决于量纲，无量纲化后才可以进行各物理量之间相对大小的比较。物理现象和规律与单位制无关，从而经过无量纲化之后，可以更好地揭示各物理量之间的基本关系。

量纲分析广泛应用于自然科学之中，尤其是在物理、工程、力学分支的数学分析、模型实验和计算机模拟实验中的应用更加广泛，其中Buckingham π定理更是有极其重要的作用。

我们可以举出很多应用实例。通过无量纲化，可以为简化物理和工程问题提供科学途径，经带有无量纲数的各项的比较，可科学地确定各种情况下的取舍；通过量纲分析得到的相似准则，可以在实验室缩尺实验中把握与原型的可比较性，从而正确地制订实验方案；利用Buckingham π定理可以确定一些基本的物理规律，例如给出圆管流动阻力系数、找到点爆炸波的传播规律、分析船舶阻力、确定各种水波的色散特征等等，不胜枚举。而在上述过程中，不必通过建立复杂的方程和进行繁复的计算，只要进行简单的函数分析就行了，学过高等数学的大二学生就足可胜任。

一个实例

这里讲一件发生在身边的事情。

2005年1月，本课题组的一位硕士生完成了一篇关于行人流的论文，他通过量纲分析，用Buckingham π定理导出了一个稠密行人流的离心力模型，也就是说，行人间的排斥力可用离心力来模化，并且用此模型进行计算机仿真，成功地再现了行人流中的一些自组织现象，如逆向行人流的成行现象、突发事件下人们疏散时在门口的成拱现象等。论文几经修改后投到“Physical Review E”。没多久，审稿人意见来了，其中一位审稿人显然不懂Buckingham π定理，他从《物理世界》中引述了Buckingham π定理的不完整的提法，其中只说到物理规律与单位制无关，并认为用该定理无法给出文中的模型。我们对此据理力争，找到了林家翘先生的名著《自然科学中确定性问题的应用数学》，在中文版的139页上找到了一个与建立行人流离心力模型有类似思路的内容，有理有据的argument说服了这位审稿人，但他还是认为最好不提Buckingham π定理，我们决定用“通过量纲分析”的字样取代“采用Buckingham π定理”。于是，审稿顺利通过，投稿七个月之后，此文顺利刊出。

出现这种情形并非偶然。我所的研究生教学在钱伟长老所长的倡导下，一直把量纲分析和数学建模作为必修课，二十几年前由蔡树棠教授主讲“物理和工程问题的数学简化”，后来由中青年教师继续，此课常开常新，始终把量纲分析和数学建模的教学放在很重要的地位。三年前，还特意把中科院力学所的量纲分析专家谈庆明研究员请到所里，为研究生和青年教师开设“量纲分析”课程，讲了54学时，大家收获良多。近年来我为博士生讲授高等流体力学，在第二章就专门讲量纲分析概要，通常用3个学时，博士生自学能力强，有需要时可深入学习。

环顾我国的理工科基础教学，我发现：除了个别理科专业为量纲分析设了专题，多数专业对量纲分析要么视而不见，要么轻描淡写。我想，这也是我国高水平科技成果少的一个小原因，亟待改进。

其实，量纲分析并不困难，只要学过高等数学和普通物理的本科生就能掌握其中的精华，若能通过实践不断应用，很快就能运用自如。

最后，推荐三本讲量纲分析的入门书：

1.        谈庆明，量纲分析，中国科学技术大学出版社，2000。

2.        谢多夫，Л.И.，力学中的相似方法与量纲理论，沈青等译，科学出版社，1982。

3.        钱伟长，应用数学，安徽科学技术出版社，1993，第五、六章。

写成于2011年4月27日晨