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理解黎曼猜想(二)两个自然数互质的概率是多少? 精选

已有 7711 次阅读 2018-11-2 15:56 |系统分类:科普集锦

 

导读:

任选两个自然数,它们互质的概率是多少?它就是s = 2时欧拉乘积公式右边的连乘的倒数,因此它等于s = 2时欧拉乘积公式左边的连加的倒数,即1/ζ(2)。而ζ(2) = π^2/6,因此这个概率等于6/π^2 ≈ 60.79%。同样的,三个自然数互质的概率是1/ζ(3) ≈ 83.19%,四个自然数互质的概率是1/ζ(4) ≈ 92.39%。


在上一期节目(文章见理解黎曼猜想(一)背景 | 袁岚峰,视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488)中,我们首先介绍了黎曼猜想的背景,即质数分布问题。然后指出了研究质数分布的基本工具,即欧拉乘积公式




这个公式左边的n指的是所有的自然数,1、2、3、4、5等等,右边的p指的是所有的质数,2、3、5、7、11等等。公式两端都出现的s是一个变量,当s > 1时欧拉乘积公式成立。


数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和,用大写的希腊字母Π来表示连乘。用这种表达方式,我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样:


    

然后,我们给出了欧拉乘积公式的证明。如果把n-s记作f(n),左边就是无穷级数Σn f(n)。对这个无穷级数乘以[1 - f(2)],就会消掉所有的f(2n)项。再乘以[1 - f(3)],就会消掉剩下的项中所有的f(3n)项。再乘以[1 - f(5)],就会消掉剩下的项中所有的f(5n)项。把这样的操作重复无限多次,就会消掉所有的质数的倍数对应的项,也就是消掉所有的大于1的自然数对应的项,最后只剩下f(1)这一项,它等于1。把所有乘上去的[1 - f(2)] [1 - f(3)] [1 - f(5)]…等等移到右边去,就是欧拉乘积公式的右边Πp [1 - f(p)]-1。这样,我们就证明了欧拉乘积公式。


这其实就是当初欧拉的证明方法。它确实是一个非常巧妙的证明,堪称人类智慧的伟大结晶,令人赞叹不已。


欧拉.jpg


欧拉


在上期节目的视频中,我注意到一件有趣的事。当我开始讲这个证明过程的时候,弹幕中充满了“告辞”、“劝退”、“阵亡”、“我是谁,我在哪,我在干什么”之类自暴自弃的话。但随着讲解过程的深入,越来越多的弹幕变成了“懂了”、“妙啊”、“存活”、“说得很清楚啊”。最后当证出来的时候,更是充满了一大片的“原来如此”、“太精彩了”、“恍然大悟”、“开心”等等。


真香.jpg


真香


隔着屏幕都能感觉到同学们的“开心”,令我很欣慰。呐,做人呢,最重要就是开心!


开心.jpg


做人最重要就是开心


理解数学有一种独特的开心,是其他任何东西都不能代替的。就像我以前讲蓝眼睛岛问题的十个层次从蓝眼睛问题,看群众理解能力的巨大差异 | 袁岚峰,完全理解了的同学就会非常高兴,因为他们从中学到的不止是这个问题本身的答案,还包括如何研究问题、如何获得深入理解的思维方法。


在上期节目的开头,我就讲了两个心理建设:一是打破跳蚤效应,勇敢地去面对数学;二是拿起纸笔,把瓜放下。任何同学如果真正按照这两点去做,我相信你就一定能领略到数学的乐趣!


回到欧拉乘积公式,左边的无穷级数Σn n-s是一个以s为自变量的函数,可以记作ζ(s)(ζ是一个希腊字母,发音zeta)。现在我们把它称为欧拉ζ函数,以后我们会看到它如何变成了黎曼ζ函数。通过研究ζ函数,我们就有可能对质数获得深刻的了解。什么样的了解呢?下面就来举一个例子。


请问:任选两个自然数,它们互质(coprime)的概率是多少?


首先来解释一下,两个自然数互质的意思,就是它们没有共同的质因数,换句话说就是,它们的最大公约数是1。例如2和3互质,2和15互质,但15和21不互质,因为15和21都以3作为质因数。很快可以看出,任意两个不同的质数是互质的,一个质数和一个不以它作为质因数的合数是互质的,1和任意自然数都是互质的。


了解了互质的定义之后,我们如何计算两个自然数互质的概率呢?


可以这样思考。首先,考虑两个自然数有公约数2的概率。这等价于它们都可以表示成2n,而所有可以表示成2n的自然数在所有的自然数当中占据的比例是1/2。因此,任选一个自然数,它可以表示成2n的概率是1/2。而任选两个自然数,它们都可以表示成2n的概率就是1/2的平方,这就是它们公约数2的概率。那么作为跟这种情况互补的情况,两个自然数没有公约数2的概率,就是1-1/22


然后,根据同样的推理,两个自然数没有公约数3的概率,就是1-1/32。继续下去,两个自然数没有公约数5的概率,就是1-1/52,如此等等。


最后,两个自然数互质,就等价于它们的公约数既没有2,也没有3,也没有5等等,没有任何一个质数。因此,两个自然数互质的概率等于上面各个概率乘起来,




这个表达式等于什么?仔细看一下,你就会发现,它就是s = 2的时候欧拉乘积公式右边那个连乘的倒数!因此,它等于s = 2时欧拉乘积公式左边那个连加的倒数,也就是1/ζ(2)


真是妙啊!现在问题变成了,ζ(2)等于多少?根据定义,




也就是所有自然数的平方倒数的和。请问,它等于多少?


回答是π2/6,约等于1.6449。咦,在这里为什么会出现圆周率?这当然是有原因的啦。事实上这个等式又是欧拉证明的,这是欧拉的成名作之一。这个证明十分有趣,不过要用到微积分,许多同学们还没有学过,而且这个证明不是我们当前必需的,所以在这里我们就不讲了,有兴趣的同学请自己查阅文献。


欧拉.jpg


欧拉


对于当前的目的,把ζ(2) = π2/6代进去,我们就知道了:两个自然数互质的概率等于6/π2!数值计算一下,它约等于60.79%。


这个结论对不对呢?我们还可以用计算机来验证一下。


我的朋友、风云学会会员陈经是计算机专家,他帮我写了一个程序,在1到32768(即2的15次方)之间随机取两个自然数,看它们是否互质。在测试1千万次后,发现两个自然数互质的次数总共有6080726次。因此在这个测试中,两个自然数互质的频率是60.80726%。请看,它跟理论值60.79%是多么接近!


事实上,如果你学过数值分析,你就会知道这是一个相当粗糙的数值实验。在你考虑全体自然数的性质的时候,32768这个取值上限实在是太小了,小得有点令人发笑。以后我们会讲到一个例子,算到1千亿亿都不足以保证结果成立。我们重复一下,1千亿亿!这是一个令人惊掉下巴的例子。但在这里,令人吃惊的却是,对32768这么小的样本取样,就足以得到十分接近理论值的结果。这说明,两个自然数互质的概率这个问题,随着取样范围的增大,收敛得是非常快的。


你看,我们是不是通过研究ζ函数,对质数的分布获得了惊人的结果?


根据同样的推理,我们很快会发现,任选s个自然数,它们互质的概率就是1/ζ(s)。在这里需要说明一下,三个或更多个自然数互质的意思,是所有这些数的整体的公约数只有1,而不是其中任何两个自然数的公约数也只有1。例如考虑2、3、4这三个自然数,其中的两个数2和4不互质,但这三个数的整体是互质的,这种情况我们把它算作三个数互质。


根据这个定义,你很容易看出,s越大,s个自然数互质的概率就越大。因为随着s的增大,某个质数刚好是s个自然数的共同质因子的可能性,就越来越低了。


从ζ函数的角度来考察,也确实应该如此。当s > 1的时候,n-s是一个减函数,所以ζ(s) = Σn n-s也是一个减函数。随着s的增加,ζ(s)在减小,所以ζ(s)的倒数在增大,也就是说s个自然数互质的概率在增大。


好,现在让我们把视线投向任意正整数s对应的ζ(s)。


在这里可以告诉大家,对于正的偶数s,ζ(s)是可以快速求出的,而且其中总是包含圆周率π的s次方。例如ζ(4),也就是所有自然数的四次方的倒数之和,它等于π4/90,约等于1.0823。由此可以算出,四个自然数互质的概率等于90/π4,约等于92.39%。


然而对于正的奇数s,ζ(s)的计算就会变得非常麻烦,很难有个简单的表达式。例如对于ζ(3),也就是所有自然数的三次方的倒数之和,我们就只能说它约等于1.2021。你要是想把它精确地表示出来,就只有一些比较复杂的积分或者无穷级数或者连分数的表达形式。


无论如何,根据ζ(3) ≈ 1.2021,我们可以算出三个自然数互质的概率约等于83.19%。从两个自然数互质的概率60.79%,到三个自然数互质的概率83.19%,到四个自然数互质的概率92.39%,我们看到它们确实是在上升的,符合预期。


随着s趋于无穷大,ζ(s) = Σn n-s当中只有第一项1不受影响,后面的项都迅速地趋近于0,所以ζ(s)会趋近于1。相应的,s个自然数互质的概率也确实会趋近于100%,这都是很容易理解的。


你也许会问:s只能取整数值吗?当然不是,它完全可以取3/2(也就是1.5)或者1.6或者π等非整数的值。对于非整数的s,ζ(s)仍然是有明确定义的,只不过这时不能跟所谓“s个自然数互质的概率”联系起来了。你可以计算ζ(3/2),它约等于2.6124,但你无法谈论所谓“1.5个自然数”。


如果你对分数指数感到迷惑,请翻一下高中数学课本就知道了。这里可以提示一下,一个数的3/2次方,等于它的三次方的平方根。而一个数的π次方,就等于它的3次方、3.1次方、3.14次方、3.141次方、3.1415次方、3.14159次方等等这个数列的极限。


现在,我们对ζ函数增加了许多了解,明白了它跟质数有深刻的联系,并且知道了它在若干个点上的取值。现在,你是不是对这个函数感到很亲切,而不会感到恐惧了?


不过我们必须强调一下,到目前为止,所有的s都是大于1的。你也许会问,ζ(1)等于多少?也就是说,所有自然数的倒数和等于多少?在数学上,我们又把它称为调和级数(harmonic series)。


现在,一个关键点来了:ζ(1)等于无穷大!也就是说,调和级数是发散的!


为什么会这样?让我们把ζ(1)的表达式写出来,就能够做下面的推理:


公式.png


最后那个式子中,随着项数的增加,会出现无穷多个1/2。无穷多个1/2加起来当然会大于任意的有限值,因此最后的式子是发散的。而ζ(1)比它还要大,所以当然也是发散的。


如果你觉得上面的表达方式不太严格,那么我们真正想表达的意思是:对于任意大的自然数k,都有下面的不等式。





实际上,调和级数虽然是发散的,但它发散得非常慢。把前面的10的43次方项加起来,都没有超过100。10的43次方是多少?一亿是10的8次方,所以10的43次方就是1千亿亿亿亿亿。用物理世界举个例子,整个宇宙的半径大约是137亿光年,量级是10的26次方米,一个原子核的半径是10的-15次方米的量级,宇宙半径除以原子核半径也不过是10的41次方而已,还要再乘以100才能达到10的43次方。想想看,1千亿亿亿亿亿个数加起来,都没超过100!这是怎样的一种增长速度啊!


为什么会这样呢?原因又是欧拉告诉我们的。欧拉证明了,调和级数的增长速度,大致就是自然对数的增长速度。如果你没学过自然对数,那么可以简单解释一下:常用对数(经常写成lg)是以10为底的对数,而自然对数(经常写成ln)是以e为底的对数,这里的e是一个常数,约等于2.71828。为什么要以这样一个数为底?因为在数学上,lnx具有许多很好的性质,处理起来比lgx方便得多。其实在数学中,自然对数才是“常用”的,比所谓“常用对数”常用得多。



欧拉.jpg

欧拉


更具体地说,欧拉证明了,调和级数的前n项之和约等于lnn,而随着n的增大,它们的差值会趋近于一个常数γ:


公式1.png


这个常数叫什么名字呢?当然,又叫做欧拉常数(Euler’s constant)……咦,我为什么要说“又”呢?



欧拉


我们可以用两个面积的差来形象地表现欧拉常数。一个面积是一系列的矩形之和,它们的宽度都是1,而高度从1到1/2,到1/3,到1/4,如此等等,一路下降。另一个面积是y = 1/x即倒数函数曲线下面的面积,即图中的深红色部分,数学家会告诉你,它就等于lnx。这两个面积的差,就是图中的蓝色部分。


用面积表示欧拉常数.png


用面积表示欧拉常数


你会看到,在每一个矩形中,矩形的面积都大于倒数函数曲线下方的面积,但相差得越来越小。当x趋于无穷的时候,蓝色部分的面积就趋于一个有限值,它等于欧拉常数。


了解了调和级数即ζ(1)的发散性质以后,让我们回到欧拉乘积公式。在上一期中我们说过,欧拉乘积公式只在s > 1的时候成立。有同学问我,欧拉乘积公式的推导过程好像跟s完全没有关系,那么它是不是对于任意的s都成立呢?回答是:不行,只有对大于1的s才成立


这是因为我们的推导过程有一个前提,就是ζ(s)是一个有限值,或者说ζ(s)是收敛的。只有在这个前提下,才能把它当成一个正常的数进行种种操作,例如乘以1 - f(2),消去所有包含2n的项。但假如ζ(s)是发散的,那么这样的操作就毫无意义,有可能导致各种各样的错误。例如你经常听说的所谓“全体自然数的和等于-1/12”,就是这样的一个错误!


在欧拉那个时代,许多数学知识的基础定义还不够严格,数学家还经常搞一些有越界之嫌的操作,欧拉就搞了不少。而现代的数学家是非常注重严格性的,他们给你看的证明,一定都是保证了可靠性,每一步都有精确定义的。我虽然不是数学家,但我给你看的证明,也一定是保证了可靠性的。


既然ζ(1)是发散的,那么你很容易发现,当s < 1的时候,ζ(s)会变得更大,当然就更是发散的了。因此,对欧拉ζ函数的研究,只能在s > 1的范围内进行。从中我们确实能得到一些有趣的结论,例如s个自然数互质的概率等于1/ζ(s),但这些毕竟还是对质数分布的间接了解,直接的了解还很欠缺。


如何才能对质数的分布获得更加深入的了解呢?


我们的大事件来了:你的好友黎曼已上线!欧拉ζ函数升级为黎曼ζ函数!


黎曼.jpg


黎曼




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