利用初等数学确定铅球抛高、抛程和最佳抛角的关系，介绍了曲线簇的包络线；考虑手臂长度、滑行助跑因素,证明抛体以最佳抛角到达指定距离或高度时沿初始抛掷方向的速度为零。抛角对抛投效果影响较小，投掷铅球时应选择合适的姿态以求得较大的出手速度。

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铅球最佳出手角的初等解法及讨论

尤 明 庆

      抛点和落点高度相同时中学物理可确定抛角45⁰时抛射距离最远；而铅球掷远的抛点高于落点，确定最佳抛角通常利用导数知识[1~4]。龚劲涛等[5]给出一个初等解法，但未给出数学证明。抛体问题较为常见，也有许多实际应用，如飞石系绳[6]，最好能为中学生所了解。

1  抛程、抛高与最佳抛角

铅球以速度V、角度θ从原点O 抛出，其运动轨迹是

x = Vt cosθ                                                                               (1)

y = Vt sinθ－gt²/2                                                                    (2)

消去时间参量t得到抛物线方程

y = x tanθ－x² (1+tan²θ) / 4H₀                                                (3)

式中H₀ = V²/2g  即垂直上抛高度。上式可改写为

x²/ 4H₀ = H₀－y－H₀ (1－xtanθ / 2H₀) ²≤H₀－y                 (4)

给定抛高y = H（铅球出手高度的负值），抛程x达到最大值

S = 2sqrt (H₀ (H₀－H))                                                             (5)

时，最佳抛角为

tanθ = 2H₀ / S = 1 / sqrt (1－H/ H₀)                                     (6)

投掷铅球时抛高H小于0，因而最佳抛角小于45⁰。

2  抛物线簇的包络线

在给定铅球出手速度后，不同抛角得到不同的抛物线，即公式(3) 构成一簇曲线。图1给出了抛角0~90⁰之间每隔15⁰的抛物线，几何尺度以垂直上抛高度H₀无量纲化。最佳状态即公式(4) 右侧等号成立时构成曲线簇的包络线：给定y时曲线簇中所有x的最大值，或给定x时所有y的最大值。该包络线恰巧是在y = H₀处以速度V平抛的轨迹，在整个抛物线簇(3) 右上方，且与每一根抛物线都有一点相切（图）。据此可解决坡面上的抛射问题[1]：求出坡面方程与包络线的交点，即最远抛投位置，再由公式 (6) 确定最佳抛角。

若铅球的出手速度为V = 10 m/s, 则在g = 10 m/s²时，H₀ = 5 m；出手高度2 m，即H = - 2 m，则最佳抛角为40.2⁰, 最大抛程为11.83 m。若以45⁰抛掷，相应抛程是11.71 m, 比最大值小0.12 m，相差仅1%。如图所示，最佳抛角小于45⁰之后，抛物线与包络线在很大范围内差别不大，即抛角偏离最佳值对抛高或抛程的影响并不显著。

3  一般情形下铅球的最佳出手角度

对于抛掷铅球而言，运动员以速度U滑步助跑；且铅球出手高度随抛角θ而变化，与臂长b相关。以肩关节为坐标原点，铅球的运动轨迹是：

x = bcosθ + (U + Vcosθ)t                                                             (7)

y = bsinθ + Vt sinθ－gt²/2                                                           (8)

包络线与参数方程(7)、(8)表示的曲线相切，因而x对t、y对θ的偏导数之积等于x对θ、y对t的偏导数之积，有

(V + Ucosθ)－gt sinθ = 0                                                           (9)

这表明抛体以最佳抛角达到指定距离或高度，即抛物线与包络线的切点处，沿初始抛掷方向的速度正好减少到零。文献[5]给出的论断是U = 0 时的特例。又，由公式(7) 解得t,代入公式(8)，得到铅球运动的抛物线方程，再依据给定x下确定θ使y达到极值，即y对θ的导数为零亦可得到公式(9)。

由公式(9)解得t，代入公式(7)、(8)，可得抛物线簇的包络线方程（以最佳抛角θ为参变量），进而可以确定给定抛距、抛高或抛距和抛高的关系（如坡面上抛投）的最佳抛角。

定性地说，铅球的落点低于抛点，增加了空中飞行时间，抛角稍小于45⁰可增大水平速度以利用较多的飞行时间；而滑步速度的存在又要求适当增大抛角，从而增加铅球在空中飞行时间以利用较大的水平速度。综合结果是最佳抛角仍在45⁰左右。具体计算不再给出。

4  结 语

确定铅球最佳抛角的初等方法及包络线的概念，或许可由高中物理老师向同学介绍。不过，抛角对抛投效果的影响较小，投掷铅球时应选择合适的姿态以求得较大的出手速度。       

1    朱照宣，周起钊，殷金生.  理论力学(上)[M]. 北京：北京大学出版社，1982. 116-117.

2    张培和.  斜抛运动的最佳角度的选择[J]. 南平师专学报，1996, (4): 74-78.

3    楚安夫.  关于斜抛运动的分析[J]. 大学物理，1997, 16(9): 46-47.

4    徐月明.  铅球运动最佳出手角的理论分析和实验模拟研究[J]. 大学物理, 2004, 23(2): 21-24.

5   龚劲涛，任全红，冯文林.  巧解铅球最佳出手角[J]. 力学与实践，2011, 33(5): 61-62.

6    尤明庆. 飞石系绳的力学分析[J]. 力学与实践，2011, 33(5): 93-95.

尤明庆. 对铅球最佳抛角的讨论. 力学与实践，2013,35(1): 67-68