（本系列笔记系阅读文献 "Renormalization and tensor product state in spin chains and lattices" Cirac and Verstraete, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 504004 (2009)。）

    实空间重整化群是计算强关联系统，克服指数墙的一条巧妙思路。考虑两个自旋，我们选择其Hilbert空间的子空间，且。我们再加上一个自旋，并选取，其中。这样直到我们获得，。于是，我们获得了在H_N空间中的近似哈密顿量，只要d_N足够小，我们就可以通过对角化H_N上的哈密顿量获得系统本征态的信息。

       在给出怎样在每一步选取子空间的具体方案之前，我们很感兴趣，上面的H_N空间中的近似哈密顿量的本征态具有什么样的结构。我们从H₂开始，我们写下子空间中的正交归一基底：

 其中的系数B可以形式上写成：

 

 其中：

注意，子空间的是正交归一的，故A矩阵要满足下面的性质：

 

 

 可以依此持续的做RG，这样得到：

 

 同样，有正交化条件可以得到：

 

我们定义一系列矩阵 ,这些矩阵满足下面的条件：

 

 注意，这里的两个矩阵位置不能换，即他们不是幺正矩阵，基底|beta>只有正交性，而无归一性。

 这样，M步RG得到的Hilbert空间的基底具有如下的结构：

 其中A1是一个矢量（行矩阵），所以上面的矩阵乘积结果也是一个向量（行矩阵），不同的是，A1为d1列，而结果为dM列。上面括号表示取其第beta个分量。

是Hilbert空间H_N 中的正交归一基底（但不完备）。注意前的系数为一矩阵乘积，具有这样结构的态称为矩阵乘积态。推而广之，在RG得到的H_N 中的任意的态都具有矩阵积态的结构：

此时， A_N为一列向量。这里的道理是|Psi>为一叠加态，设其为：

 这里为一列向量，且行数为d_M-1，由波函数|Psi>的正交性及A矩阵的性质，可得：

 这里，我们就将重整化群得到的波函数的结构揭示出来了，他正是矩阵积态。值得注意的是，波函数中的A矩阵是不唯一的，因为我们可以对他做一个变换，而保持波函数不变。

 只要X矩阵是满秩的，上面的变换不改变波函数。所以，我们可以在矩阵积态的A矩阵上强加某特定条件，来取定某种规范。而RG过程得到的附加条件 就可以视为一种具有物理意义的规范。

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