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高维球面面积怎么算

已有 2356 次阅读 2020-2-29 13:39 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦| 统计物理, 数学物理

    在量子场论和统计场论中,散射振幅的计算需要考虑大量费曼图(Feynman Diagram)所对应的4维积分。其中涉及到的一个重要计算是4维球面面积。


    我们早就知道,2维球面面积(圆周长)是2πR,3维球面面积是4πR2,那么4维,5维,以及更高维呢?本文介绍一种计算一般维球面面积的技巧,我们将利用高斯积分。


    让我们在一般的d维考虑如下积分:

 (1)

这里,k是d维矢量的模,被积函数f(k)仅依赖于模k,因此在等式里,我们可将d维空间的角度部分积出,定义为C(d)。C(d)是什么?若我们考虑

     (2)

则由(1)易知C(d)正是d维单位球面的面积。若定义f(k)=δ(k-R),立即得到d维半径为R的球面面积为C(d)Rd-1


    满足上述性质的哪个积分在任意d维我们都会算呢?高斯积分。考虑f(k)是高斯函数,我们有

 (3)

    另一方面,由(1),有

 (4) 

其中,Γ(x)是伽马函数。结合(3)和(4),我们得到d维单位球面面积:

 (5)

    让我们检查一下:d=1,C(1)=2,1维单位球面面积是两个端点,为2;d=2,C(2)=2π;d=3,C(3)=4π;全对。同时,d=4,我们立即知道:C(4)=2π2。此式用于费曼图的计算。更加高维的C(d)在量子场论维数正规化(Dimensional Regularization)中用到。另外,若在(1)中取f(k)=1,换积分限为0到R,即得d维半径为R的球体体积为C(d)Rd/d。



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