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黎曼猜想: zeta 函数 精选

已有 5910 次阅读 2020-2-8 14:37 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦| 数学物理, 统计物理

黎曼3.jpg

1. 多年以前,观看电影《美丽心灵》,其中有一个片段印象很深。那是年迈的约翰.纳什(J.Nash)在普林斯顿大学图书馆里工作,一位青年认出他来,并发现他正在研究一个称为黎曼猜想(Riemann Hypothesis)的数学问题。青年问:“您刚刚解决了黎曼猜想吗?”纳什回答:“证明只在特定情形下成立,所以,没有,不过我相信我在取得进展。”

   纳什是一位极具才华的数学家,以至于其导师在推荐信中,只需要一句话"He is a mathematical genius"(他是个数学天才)。与电影描述的不同,真实生活中,纳什是在麻省理工学院工作期间开始患上了妄想症。期间,纳什开始研究黎曼猜想,并宣称自己有了一个全新的想法,然而在关于新想法的报告会上,人们发现其报告完全经不起推敲,已经失去了天才思维的光泽,之后,纳什开始饱受妄想症的折磨。


2. 2018年9月,著名数学家,年已89岁的迈克尔.阿蒂亚(M.Atiyah)爵士登上海德堡论坛,此前他宣布自己证明了黎曼猜想。在45分钟的报告中,蒂亚爵士尝试用一种“简单而全新”的反证法解决黎曼猜想。蒂亚爵士有着辉煌的职业生涯,他获得了菲尔兹奖和阿贝尔奖,这是数学界的至高奖项,因此,这个报告可谓举世瞩目。然而,报告结束后,是令人尴尬的沉默,没有数学家愿意公开评论。从数学界的反映,已可看出这个插曲的悲观色调。三个月后,2019年1月,阿蒂亚爵士去世。


3. 据说,有人曾问著名数学家大卫.希尔伯特(D.Hilbert):“如果您沉睡了五百年后醒来,那么您最想干什么?”希尔伯特说:“我想问是否有人证明了黎曼猜想,我太想知道了。”

   另一则故事。希尔伯特的一个学生宣称自己证明了黎曼猜想,然而,希尔伯特在学生的论文里发现了一个漏洞,不过证明方法是美丽的,希尔伯特希望可以和学生一起沿着这个方法做下去。

   可惜,学生在次年因病去世,希尔伯特非常悲伤,他请求在学生的葬礼上致悼词。当天,大雨滂沱,希尔伯特开始致辞:“这样一个有才华的孩子,这么年轻离我们而去真是太可惜了”,家属们悲声一片。接着,希尔伯特说:“这个孩子的证明虽然有问题,但是,若我们沿这个方法走下去,应该能证出黎曼猜想”,家属一片痛哭,哭声中,希尔伯特继续热情地说:“接下来,让我们考虑一个单变量的复函数......”


4. 哈代(Hardy)是一位著名的数论学者,在黎曼猜想上做了极重要的工作。有一次假期,哈代去丹麦和数学家波尔(H. Bohr)(物理学家尼尔斯.波尔的弟弟)讨论黎曼猜想。之后返回剑桥,需要坐船。不幸的是,此时只剩一只小船可坐了。一叶小舟渡过茫茫大海,显然很危险。其他人都开始祈祷上帝保佑,可是,哈代是不信上帝的。那么,哈代做了什么呢?他马上给波尔发了一封简单的明信片,上边只有一句话:“我证明了黎曼猜想”。

    之后,哈代乘船顺利回到了剑桥。哈代为什么要这么做呢?他事后解释说:“如果小船沉没了,人们就只好从明信片相信我证明了黎曼猜想。可是我这样一个不信上帝的人,上帝是不会把这么大的荣誉给我的,因此上帝一定不会让小船沉没。”


5. 前文里提到的这个神秘的黎曼猜想究竟是什么呢?黎曼猜想是德国数学家伯恩哈德.黎曼(B. Riemann)在1859年提出的一个猜想。黎曼是历史上最伟大的数学家之一,在短短40年的人生中,黎曼著作不多,然而,黎曼的每一篇论文都极为深刻,充满了原创性的洞见。

   1859年,黎曼发表了论文 "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einergegebenen Grosse"(论小于某给定值的素数的个数)。这是一篇光辉的文章。文中,黎曼提出用复变函数的方法研究数论,黎曼研究了黎曼zeta函数(ζ函数),该函数与素数的分布之间有着深刻的联系,在此过程中,黎曼提出了黎曼猜想:

黎曼ζ函数所有的非平凡零点分布在复平面实部为1/2的直线上。

    大多数数学家会同意,黎曼猜想是至今仍未解决的最重要的数学猜想,其证明或证否,将是一个数学家可能想象的最高荣耀。


6. 在黎曼之前,欧拉(Euler)发现了欧拉乘积公式:

   (1)

这里,右侧的连乘对于所有的素数进行,而左侧的级数,正是黎曼ζ函数的级数表达式,只收敛于Re(s)>1。从欧拉乘积公式,已经可以看出黎曼ζ函数与素数问题之间存在着联系。


7. 在1859年的论文中,黎曼也是从(1)开始研究的。然而,不同于欧拉,黎曼将ζ函数解析延拓到了整个复平面上,黎曼ζ函数是一个只在s=1有一个简单极点的亚纯函数。

   黎曼的延拓依赖于一个ζ函数满足的函数方程(Functional Equation)。下文中,我们给出该方程的两种推导。这两种方式均见于黎曼的论文中。黎曼ζ函数之函数方程

 (2)

由该方程,黎曼将ζ函数从Re(s)>1解析延拓至除了单极点s=1外的复平面。并且,由(2),我们立即知道s=-2n,n=1,2,...是ζ函数的(平凡)零点,这是因为(2)中正弦函数的性质。注意,s=0和2n,n=1,2,...也是正弦函数的零点,然而,由于其对应的ζ(1)和Γ(1-2n)的奇异性,我们不能判定它们是ζ函数之零点,实际上,这些点不是零点(由欧拉的证明ζ(2)=π2/6已可知道)。


方法一:

    在《从阶乘说开去》一文里,我们已经得到:

 (3)

此式即为黎曼ζ函数的积分表示。

    由(3)出发,我们研究如下积分:

     (4)

显然,被积函数有简单极点:zm=±i2πm,m=0,1,2,...; 支点:z=0,∞;我们在正实轴引入割线,将多值函数限制在黎曼面之一叶(上下岸位相分别为0和2π)。积分路线C起自割线上岸之正无穷,经原点附近时沿逆时针方向,以无穷小半径旋转(将极点zm=±i2πm,m=1,2,...排除在外)至割线下岸,继续沿割线下岸至正无穷。

    在Re(s)>1时,容易知道无穷小圆之积分为零。则有:

 (5)

其中,利用了(3)。现在,利用伽马函数的性质:Γ(s)Γ(1-s)=π/sin(πs),得到:

   (6)

    另一方面,由于积分在|z|→∞趋于零,我们可从无穷远处封闭积分路线C而构成封闭路线,该环路逆向包围了被积函数除去原点外的所有极点:zm=±i2πm,m=1,2,...;利用留数定理(Residue Theorem),有:

 

 

                     (7)

   现将(7)代入(6),立即得到函数方程(2)。


方法二:

对欧拉的伽马函数略作变形,我们考虑:

 (8)

若在两边同时求和n,则有:

 (9)

其中,利用了ζ函数的级数定义,并定义了:

   (10)

从《对偶》一文,我们知道,利用泊松求和公式(Poisson Summation Formula),我们有:

 (11)

利用(11),易得:

 (12)

我们对(9)做如下演算:

 

 

     (13)

最后一行看出,该式具有s和1-s的对称,因此:

 (14)

现在,利用伽马函数的性质:Γ(z)Γ(z+1/2)=21-2zπ1/2Γ(2z),有:

 (15)

将(15)代入(14),并利用Γ(z)Γ(1-z)=π/sin(πz),立即得到函数方程(2)。



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