表面之间的相互作用力是软物质和生物物理的一个重要题目。对于特征尺度在微米的物体，例如胶体的大小，薄膜的尺度等，人们可以在粗粒化的水平上描述表面，进而计算表面力。

    表面之间由于 van der waals 吸引力，或者在更小物体存在时由小自由度平动熵导致的排空力(Depletion Force),将会失去稳定性而在宏观的尺度发生凝聚。如何稳定体系？一般的做法是通过表面改性(Surface Modification)引入表面间排斥力。通常是: 1. 表面接枝聚合物长链(Polymer Chain),利用聚合物链的熵弹性(Entropic Elasticity)引入排斥; 2.表面带电(Surface Charge), 利用库仑静电力引入排斥。如果将1和2结合，则是利用聚电解质刷(Polyelectrolyte Brush)引入表面间的排斥力量，稳定体系的同时，另一方面也降低了表面间的摩擦力,即实现表面润滑(Lubrication)。

    本文中，我们通过简单的标度理论，定性讨论两个平直表面（板）之间的排斥力。这是处理弯曲表面的一级近似。

1.聚合物链的熵弹性

    让我们估算将聚合物链引入两板之间时的能量损耗。

    一根聚合物的链长：R, 其满足标度关系：R～N^ν,依赖于所讨论的问题，ν有不同取值。最简单的情形是理想链问题，此时聚合物链统计对应于无规行走(Random Walk)，ν=1/2.

    两板间距：D。板面积: A。 讨论D<<A^1/2的情形。

    当R>D,聚合物自由进出两板。

    当R<D,聚合物进板将变形，带来变形能量，这是需要计算的物理量。

    我们有如下图像：为了进入两板，聚合物调整自身为刚好进入两板的一串子链(Blob),显然每一个Blob的大小应为板间距D。

    另一方面，我们考虑能量学(Energetics)。显然在子链内，r<D,链未感觉到两板挤压；子链尺度之上，r>D，链感受到挤压，作为响应，子链间顺序排列，而不再是无规排列。

    从能量学上，挤压使得聚合物链变形，产生变形能E_deform～fr。这里，f是力，r是链尺寸。从以上分析可知：fD～kT。对于r<D,E_deform～fr<kT, 热能统治，子链仍服从随机行走；对于r>D,E_deform～fr>kT,变形能统治，链挤压而顺序排列。

    一根子链（Blob）设定了该问题的基本能量：kT；基本尺寸：D.

    Blob内包含g个链单元，其服从自由统计：D～g^νa, 这里a是链单元尺寸。

    计算一根链的总变形能: N/g个子链，每个子链能量kT

  (1)

    对应的单位面积表面力（Disjoining Pressure）：

 (2)

    此即聚合物链熵弹性带来的排斥力。

2. 静电力

   先通过能量平衡发现几个静电问题里重要的特征长度。

2.1 Bjeruum 长度

    考虑一对带基本电量e的正负电荷对。

    库仑吸引力保持正负成对；热能驱动电荷对解离。两者竞争定义出：

       (3)

其中，ε是介电常数。当r>l_B,电荷对解离。显然，极性溶剂由于介电常数较大，l_B较小，因此在极性溶剂中的大分子链由于电荷对解离而带电。由于生物环境中溶剂是极性的水，因此生物大分子是带电的聚电解质。

2.2 Gouy-Chapman 长度

    考虑一个电荷密度为(σe)的正电平板和附近的一个基本电量负电荷。由高斯定理知：

  (4)

    将负电荷从平板移动至距离d处的静电能：E_elec=eEd.

    静电能将负电荷吸引在板附近；热能驱动负电荷远离，两者竞争定义出：

 (5)

    显然，小的σ和l_B,带来大的l_GC。对于d<l_GC,热能大于静电能，热能主导使得反离子自由分布，形成带电板附近的扩散层(Diffusive Layer)。对于d>l_GC,由于静电能大于热能，因此热能不足以驱使反离子扩散至此，有较少的反离子。所以，我们得到一个图像：反离子大部分分布在距离带电平板l_GC的层内。

    当然以上的定性分析，可以从求单板问题的泊松-玻尔兹曼(Poisson-Boltzmann)方程严格解出来。

2.2 表面静电力

2.2.1 无盐体系

    现在考虑两个带电平板之间的表面力(Disjoining Pressure)。同样，我们只定性讨论出结果，而不解方程。

    由统计力学的 Contact Value Theorem 知道，两板的表面力:

         (6)

    这里n₀是两板的中间平面上反离子的浓度。

    显然，本问题有两个尺度需要考虑：板间距离D和Gouy-Chapman长度l_GC。

(1)D<<l_GC,弱耦合极限(Weak Coupling Limit)

    从上边的分析知道，大的l_GC对应静电耦合弱的极限。

    在D<<l_GC时,是在Gouy-Chapman层内，热能主导，反离子自由运动，平均分布。因此有：

 (7)

    因此，当两板靠近至Gouy-Chapman层内时，表面静电排斥力采取D^-1的形式。

(2)D>>l_GC,强耦合极限(Strong Coupling Limit)

    小的l_GC是强静电耦合极限。

    可以期待D趋向于无穷大时，两板间力衰减到零，那么以什么函数形式呢？

    在这种情形下，由于强静电吸引，反离子在两板间不再是平均分布。我们引入电荷屏蔽的观念迅速得到结果。隔着一段距离观察带电平板，所观察的有效电荷不同于裸电荷，而是由于平板附近反离子层的存在平板电荷被修正(renormalize)成一个较小的有效值。

    因此，板间距离大于Gouy-Chapman层厚时，问题可以等价于两个有效平板（平板+反离子层）之间的弱耦合极限问题。沿此思路，用（1）的结果，我们发现：

 (8)

因此，此时的排斥力由于反离子屏蔽效应而从近距离的D^-1修正成了衰减更快的D^-2。

2.2.2 盐效应(Salt Effect)

    前述的分析里，表面力都是幂函数形式的衰减。在真实的体系里，人们发现，表面间的排斥力通常是更快的指数形式衰减。原因在于真实体系里存在的盐。

    盐的存在使问题里由于盐离子的电荷屏蔽效应引入一个新的尺度l_DH，称为Debye-Huckel长度。此时，由于盐的数目远远大于反离子的数目，因此盐的静电屏蔽占主导，反离子屏蔽可以忽略，我们有 l_DH《l_GC,问题的分析里不再出现l_GC。

    具体来说，盐的屏蔽使得平板的有效电荷变成：

 (9)

    我们发现，这是一个指数衰减的表面排斥力。

3. 静电关联

    我们以上的定性讨论只适用于静电关联效应弱，平均场泊松-玻尔兹曼方程适用的情形。此时，两个带同种电荷的平板间表面力一定是排斥力。

    已经知道，例如在高价次盐(+2, +3）存在时，静电关联效应强，同种电荷的平板间可以产生吸引力。实际上，这种静电关联效应正是生物物理中DNA凝聚的道理。在这些情形下，以上的分析失效，需要考虑具体的静电关联理论模型，这是一个聚合物物理(Polymer Physics)和软物质物理(Soft Matter Physics)中活跃的和富有挑战性的题目。