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留数定理的一个应用: The Argument Principle

已有 3677 次阅读 2019-12-9 17:39 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦| 数学物理

    留数定理(The Residue Theorem)是复变函数理论的一个重要内容。The Argument Principle 是留数定理的一个重要结果,该原理将一个曲线的环饶数(winding number)与曲线内包含的零点和极点联系了起来。可是,在多数《数学物理方法》的书本和课程里,却鲜有提及此原理。本文中,我们对此原理做一简洁介绍。


    考虑复平面上的一个有向封闭围道C,取逆时针旋转方向。要求函数g(z)在C上以及包围的内部区域解析;函数f(z)在C上解析,在C内只有有限数目的极点(pole)和零点(zero),即f(z)是该定义区域上的亚纯函数(meromorphic function)。


    The argument principle 说:

  (1)

这里,pk和zk分别是函数f(z)的n(pk)阶极点和m(zk)阶零点。


证明

    由pk是f(z)的n(pk)阶极点,可以将f(z)写成洛朗级数:

             (2)

这里,f1(z)在pk点以及邻域内解析,非零。

有:              (3)

    由f1(z)的性质知f1'(z)/f1(z)在pk点以及邻域内解析。因此,pk是f'(z)/f(z)的一阶极点(simple pole)。并由g(z)的解析性质,知pk是被积函数g(z)f'(z)/f(z)的一阶极点(simple pole),有留数:

  (4)

    同样的方法,对于零点可以发现:

  (5)

这里,f2(z)在zk点以及邻域内解析,非零。因此,zk是被积函数g(z)f'(z)/f(z)的一阶极点(simple pole),有留数:

  (6)


综上,我们发现所有的pk和zk均是被积函数的一阶极点,由留数定理,立即得到式(1)。



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1 刘全慧

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