留数定理(The Residue Theorem)是复变函数理论的一个重要内容。The Argument Principle 是留数定理的一个重要结果，该原理将一个曲线的环饶数(winding number)与曲线内包含的零点和极点联系了起来。可是，在多数《数学物理方法》的书本和课程里，却鲜有提及此原理。本文中，我们对此原理做一简洁介绍。

    考虑复平面上的一个有向封闭围道C，取逆时针旋转方向。要求函数g(z)在C上以及包围的内部区域解析；函数f(z)在C上解析，在C内只有有限数目的极点(pole)和零点(zero),即f(z)是该定义区域上的亚纯函数(meromorphic function)。

    The argument principle 说：

  (1)

这里，p_k和z_k分别是函数f(z)的n(p_k)阶极点和m(z_k)阶零点。

证明：

    由p_k是f(z)的n(p_k)阶极点，可以将f(z)写成洛朗级数：

             (2)

这里，f₁(z)在p_k点以及邻域内解析，非零。

有：              (3)

    由f₁(z)的性质知f₁'(z)/f₁(z)在p_k点以及邻域内解析。因此，p_k是f'(z)/f(z)的一阶极点(simple pole)。并由g(z)的解析性质，知p_k是被积函数g(z)f'(z)/f(z)的一阶极点(simple pole),有留数：

  (4)

    同样的方法，对于零点可以发现：

  (5)

这里，f₂(z)在z_k点以及邻域内解析,非零。因此，z_k是被积函数g(z)f'(z)/f(z)的一阶极点(simple pole),有留数：

  (6)

综上，我们发现所有的p_k和z_k均是被积函数的一阶极点，由留数定理，立即得到式(1)。