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终结猜想-10-几何性质

已有 4372 次阅读 2019-6-20 08:03 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

 

古人宋真宗皇帝赵恒曰:

富家不用买良田,书中自有千钟粟。
安居不用架高楼,书中自有黄金屋。
娶妻莫恨无良媒,书中自有颜如玉。
出门莫恨无人随,书中车马多如簇。
男儿欲遂平生志,五经勤向窗前读。

这首诗表示的意思是:读书考取功名是当时人生的一条绝佳出路,考取功名后,才能得到财富和美女。现代人大都也将“书中自有黄金屋书中自有颜如玉”理解为通过读书,获取功名利禄,得到财富和美女。从某种程度上,这助长了学人的功利心。按照大呆的理解和体会,我们可以将这首诗重新理解,书中自有黄金屋和颜如玉,重点在 “自有”两个字。也就是说,是通过读书获得精神层面的享受。就是在读书的过程中获得黄金屋和颜如玉般的精神享受。实际上也是如此,我们读小说,可以深入到小说中的情节中,与小说中的主人公和人物共患难,同欢乐,同悲切。可以说是,与古人神交。在科学研究过程中,学习和专研文献,从中有所收获和领悟,探索自然的奥秘,从中有所发现,均可以获得如同黄金屋和颜如玉一样的享受。在探索三维伊辛模型精确解的过程中,大呆如痴如醉,如癫如狂,领悟到大自然的奥秘和美丽,获得了黄金解,数学上最美丽的解。所以,大呆深刻地体会到:书中自有黄金屋,书中自有颜如玉。

在人类文明的知识大厦中,数学是大厦的基础,几何与代数、拓扑是大厦三个最重要的支柱。在获得一个物理模型精确解的同时,我们将会对该物理体系的数学结构有很好的理解,特别是通过对一些数学关系式的理解,可以了解体系的几何结构。对二维伊辛模型,在OnsagerKaufman的论文中获得的几何关系式是双曲三角函数关系,可以在一个二维庞加莱(Poincaré)盘上表示。对于二维庞加莱盘,大家也许比较陌生,但是要是提到荷兰画家埃舍尔的名画圆形极限IV”大家可能就比较熟悉了。埃舍尔就是通过画作来表现庞加莱盘的几何关系:双曲三角函数关系,盘的中心位置到边缘位置物体的大小从大变小,到边缘变成无限小。对三维伊辛模型,在我的猜想论文中获得的几何关系是双曲三球面(或四球)的关系,可以在四维庞加莱球上表示。大家可以想象将埃舍尔的圆形极限IV”从二维空间拓展到四维空间。注意,三球面具有由四元数乘法给定的群结构。这个三球面的几何与在我的猜想论文中构建的四元数本征矢量的想法一致。另外一方面,由于我的猜想论文中的发现,简单正交伊辛模型的对偶变换是2个对偶正交晶格的边和它们对应面之间进行的。所以,在其它三维晶格之间的对偶也同样应该是对偶晶格的边和它们对应面之间的对偶。已知一个具有单位边长的四面体的对偶多面体是另外一个相反取向具有单位边长的四面体。可以发现在2个对偶四面体晶格(或者一个四面体晶格和一个三维蜂窝晶格)之间的对偶关系。这种对偶关系可以将四面体晶格上的一个低温(高温)模型映射到三维蜂窝晶格上的一个高温(低温)模型。

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荷兰画家埃舍尔的画作圆形极限IV”

在科学研究的过程中,人们往往有一个信念,大自然是简单的,尽管我们生活的世界里物质运动的现象错综复杂,千差万别,但是在其背后起关键作用的规律是非常少的。例如,经典力学就是牛顿三大定律,电磁学就是麦克斯韦方程组,量子力学中最基本的定律也就那么几个。大自然中物质之间的作用力也就四种,就这样人们还不满意,力图统一成一种作用力。量子力学和广义相对论能够在一定条件下很好地描述物理世界,但人们仍然希望将两者统一起来,建立一个大统一理论。所有这些都表明,人们心中坚持一个简单的大自然的理念。如何透过现象看本质,用简单的物理思想和定律揭示一个看似非常复杂的问题的基本规律,将一个复杂的问题用最简单的物理图像和数学公式描述清楚,确实是一门学问。一个求解问题的方法或者思路如果将问题搞得越来越复杂,则肯定没有抓到问题的根本,肯定什么地方出了问题,应该果断地放弃。另外一方面,在探索一个未知答案的问题时,获得的解是否简单可以作为一个指导性的评价标准。同样,解是否美也可以是一个评价标准。当然,简单往往就是美的,这两个标准有相通之处。简单和美尽管不是一个百分百确定性评价正确性的唯一标准,但确实可以作为一个标准来辅助性使用。在没有正确性评价标准的情况下,有强胜于无。

在我的猜想论文中获得的三维伊辛模型居里温度的条件 实际上是一个星-三角关系,即在连续极限下的(复合)-巴克斯特方程。这个关系式实际上就是-巴克斯特方程的解。三维伊辛模型的权重因子是几何位相,类似于Berry效应、Aharonov-Bohm效应、Josephson效应和量子霍尔效应等中出现的几何位相。而且,在伊辛模型的交换能与热激发能之间的平衡与几何对偶、分形和准晶相关。在一个立方体和它的内切二十面体之间通过黄金率存在对偶。立方体伊辛模型的居里温度在黄金点表明,最对称的三维晶格中交换能与热激发能在这一点达到平衡。同时,正方伊辛模型的居里温度为白银点。黄金点和白银点也分别与Fibonacci数和Octonacci数联系,它们是三维十重和二维八重对称准晶的投影角。所以,在它们之间一定存在几何的联络。另外一方面,黄金点和白银点可以写成连分数和连根号的形式,分别代表种分形:花状和枝状,在这种分形之间存在对偶关系。这充分表明,自然界的许多方面存在密切的联系,而这些联系可以通过最基本的数以及几何形状建立起来。以上的结果展示了一个基本的道理,简单和美在大自然中无所不在。当然,这一回介绍的三维伊辛模型的几何性质都是一些暴露在表面的性质,而隐藏在其中的深层次的几何关系有待感兴趣的数学家们从拓扑几何、微分几何等方面去探究,相信肯定会有所斩获。

        科学研究就如同在大海中航行,突然看到一座冰山,尽管冰山非常宏大壮观,实际上露出海面的仅仅是冰山一角。隐藏在海面下的冰山可能比我们看到的更宏大。通过对三维伊辛模型的研究,我们已经从代数、拓扑、几何等方面深入地探讨了其性质,对三维伊辛模型的数学结构有了较为深入的了解。但是,这仅仅是开始,如果我们将提出两个猜想视为求解三维伊辛模型的第一乐章,对其数学结构的探究可以视为第二乐章,交响曲的高潮部分还在后面。此时我们仅仅是探到冰山一角。而要彻底解决问题,道路仍然漫长。

请大家继续关注下一回:终结猜想-11-波兰论剑

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

  1. 提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3. 证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2


 

 



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