从数学到物理学及其相互促进发展（2）

中国科学院  力学研究所  吴中祥

（接（1））

1. 经典物理学

经典物理学已经注意到运动的相对性和方向性，研究物体的运动就要确定相应的参考系和矢量。

经典物理学把时间看作与参考系无关的绝对参量 (即所谓“绝对时间”)，仅对空间采用3个彼此线性无关的 (对于正交系，为彼此正交的) 基矢组成的轴矢系，创建了3维矢量、矢算的数学。

矢量的维数：[基矢j] j=1,2,3,

对于正交系：

[基矢j]点乘[基矢k] =1；j=k，

                   =0； j不=k，

维数：仅有1维，成为标量。

[基矢j]叉乘[基矢k] =[基矢l]；jkl循环=123循环，

维数：C(3,2)=3，仍为基矢。

   3维矢量代数：

加法：A(t)[矢]+B(t)[矢]={(Aj(t)+Bj(t))[基矢j],j=1到3求和}，

减法：A(t)[矢]-B(t)[矢]={(Aj(t)-Bj(t))[基矢j],j=1到3求和}，

点乘：A(t)[矢] 点乘B(t)[矢]={(Aj(t) Bj(t)),j=1到3求和}，成为标量

叉乘：A(t)[矢] 叉乘B(t)[矢]={(Aj(t)Bk(t)-Ak(t)Bj(t))[基矢l],jkl循环=123循环}，仍为矢量

一切物理矢量也就都可采用相应的3维矢量、矢算，全面具体地表达、处理。

3维空间位置矢量：

r(t)[矢]={rj(t)[基矢j],j=1到3求和}。

而r(t)，及其各分量的“模长，rj(t)，又都是时间，t，的函数。

3维空间任意矢量：

A(t)[矢]={Aj(t)[基矢j],j=1到3求和}。

而A(t)，及其各分量的“模长，Aj(t)，又都是时间，t，的函数。

3维空间位置矢量的模长：

r(t)=( r(t)[矢] 点乘 r(t)[矢])^(1/2)

  =( rj(t)^2,j=1到3求和)^(1/2)

3维空间位置矢量的微分:：

dr[矢]={drj(t)[基矢j],j=1到3求和}。

   3维空间位置偏分矢量：

D[矢]={ddrj [基矢j],j=1到3求和}。

   3维空间速度矢量由空间位置矢量的时间导数表达：

v[矢]={vj(t)[基矢j],j=1到3求和}= dr/dt[矢]={drj(t)dt[基矢j],j=1到3求和}。

d/dt= v[矢]点乘D[矢]

 ={drj(t)dt[基矢j],j=1到3求和}点乘{ddrj [基矢j],j=1到3求和}。

v[矢]=dr/dt[矢] ={drj(t)dt[基矢j],j=1到3求和}= (v[矢]点乘D[矢])r(t)[矢]。

D r(t) [矢]= D (rj(t)^2,j=1到3求和)^(1/2) [矢]

       ={ rj[基矢j],j=1到3求和}(rj(t)^2,j=1到3求和)^(-1/2)

       = r(t) [矢]/ r(t)，

D(1/r(t) )[矢]= D(rj(t)^2,j=1到3求和)^(-1/2) [矢]

       ={ rj[基矢j],j=1到3求和}(rj(t)^2,j=1到3求和)^(-3/2)

       = r(t) [矢]/ r(t)^3，

物体的3维空间动量矢量由物体粒子的质量，m，乘 3维空间速度矢量表达：

p[矢]={pj(t)[基矢j],j=1到3求和}=mv[矢]={mvj(t)[基矢j],j=1到3求和}。

  量纲分析：

   有了长度、时间、质量的单位就可以对各种物理量进行量纲分析。

   例如：采用长度[L]为厘米、时间[T]为秒、质量[M]为克，即 CGS  单位。

物理量     公式           量纲

速度       dr/dt           [L][T]^(-1)

加速度     d^2r/dt^2       [L][T]^(-2)

动量       mdr/dt          [M][L][T]^(-1)

量纲

动量矩2线矢：r[矢]叉乘P[矢]，[M][L]^2[T]^(-1)                  

   仍然可由与r[矢]和P[矢]都正交的1线矢表达。

   (此处的速度矢量是与作用粒子连线彼此正交的)

3维空间惯性力矢量由3维空间动量矢量的时间导数表达：

F[矢]={Fj(t)[基矢j],j=1到3求和}= dp/dt[矢]={drj(t)/dt[基矢j],j=1到3求和}

 又=(v[矢]点乘D [矢]) p[矢]=md^2r/dt^2[矢]。            

   亦即：由3维空间自旋矢量点乘3维空间速度矢量表达的3维空间自旋力矢量。

(此处的速度矢量是沿着作用粒子连线的)

量纲：[M][L][T]^(-2)

3维空间惯性力矢量与3维空间离心力矢量彼此正交。

3维空间自旋矢量由3维空间动量矢量的旋度表达：

S[矢]= D[矢]叉乘p[矢]

={ddrj [基矢j],j=1到3求和}叉乘{pj[基矢j],j=1到3求和}

={(dpk/drj-dpj/drk) [基矢l],jkl循环=123循环求和}，

   仍由与D[矢]和p[矢]都正交的1线矢表达。

   (此处的速度矢量是沿着作用粒子连线的)

3维空间自旋力矢量由3维空间自旋矢量点乘3维空间速度矢量表达：

S[矢]=v [矢]点乘(D[矢]叉乘p[矢])

={drj/dt[基矢j],j=1到3求和}

点乘{(dpk/drj-dpj/drk) [基矢l],jkl循环=123循环求和}

={(dpk/drj-dpj/drk)drj/dt [基矢k]

+(dpk/drj-dpj/drk)drk/dt [基矢j]

,jkl循环=123循环求和}

={(dpl/drk-dpk/drl)drl/dt +(dpk/drj-dpj/drk)drk/dt) [基矢j]

,jkl循环=123循环求和}，

   成为与v [矢]和(D[矢]叉乘p[矢]) 都正交的1线矢，即：离心力。

质量，m，的粒子在3维空间位置，r，处的3维空间引力势，U (为标量场)，由质量，m，除以 3维空间位置模长，r，乘引力量纲系数，k，的负值表达， 即：

U=-km/r，

质量，m，的粒子对在3维空间位置，r，处质量为m’粒子的3维空间引力矢量，由空间引力势，U，的梯度，DU[矢]，乘在r处粒子的质量，m’，表达：

F引[矢]=m’DU[矢]=-m’{dU/drj [基矢j],j=1到3求和}

={kmm’rj [基矢j],/r^3 j=1到3求和}。

   量纲：

   k[M]^2[L] ^(-2)= [M] [L] [T]^(-2)，

   k=[M] ^(-1) [L] ^3 [T]^(-2)，

   1798年，开文地士 即用 纽秤 测得引力量纲系数，k，现在测得：

k=6,685x10^8 厘米^3克^(-1)秒^(-2)，

电荷量，q，的粒子在3维空间位置，r，处，与电荷量，q’，的粒子的3维空间静电力矢量由电荷量，q乘q’ 除以3维空间位置平方，r^2，矢量表达,即：

Fe[矢]=qq’/ r^2[矢]。（按CGS单位）

电荷的量纲：

[Q]^2/ [L]^2)= [M] [L] [T]^(-2)，[Q]= [M]^(1/2) [L]^(3/2) [T]^(-1)，

电荷量，q，的粒子在3维空间位置，r，处的空间电磁场强度矢量由3维空间静电力矢量除以q’，即：电荷量，q，除以 3维空间位置，r^2，的矢量表达：

E[矢]= Fe[矢] / q’= q[矢] /r^2，

3维空间电位势矢量由电荷量，q，乘v[矢]，除以3维空间位置，r，矢量的负值表达，即：

A[矢]=- qv[矢] /r

3维空间静电力矢量由q’乘空间电位势矢量的时间导数表达，即：

Fe[矢]=q’ D A [矢]，

3维空间磁力矢量由q’乘空间电位势矢量的旋度表达，即：

Fh[矢]= q’ (D[矢]叉乘A[矢])。

3维空间磁力矢量与3维空间静电力矢量彼此正交。是带电粒子在3维空间运动的统一表现。

其实，所有物体都由带电粒子组成，所谓“电中性”只是其等量正负电荷间的距离与其和其它物体作用的距离相比，正负电荷的电磁作用可以忽略不计。

3维的代数和解析矢算就成为经典物理学必不可少的重要工具。

不同参考系的中心（原点）间的牵引位置矢量、牵引速度矢量等，也都由3维空间矢量表达。

因而，不同参考系间的相互变换就是“伽利略变换”。

并以不同参考系间的“牵引运动”，是惯性（相对静止或等速直线运动）或非惯性（加速运动）的性质，定义该参考系的的性质。

由各粒子相应的3维空间运动方程，只要确定其初始条件和边界条件，就可确定其相应的宏观运动轨迹。

对于大量粒子，不可能确定其各粒子的初始条件和边界条件，因而，不可能确定其各粒子相应的宏观运动轨迹。

但可以由相应的3维空间的热力学函数，研讨其平衡态和非平衡态的运动规律。

也可以由3维空间的位置和速度组成的相宇进行的统计，求得其微观的几率运动规律，并由其最可几分布函数`和各微观物理量求得相应的各宏观物理量。

   以及声波和光波的研究。

这样，就已可统一表达、研讨，并演绎推导出从宏观到微观，物体移动到天体运行的，力、声、热、电磁，光，等许多特性和规律。

 （未完待续）