负指数分布形成的一种可能的真实物理过程

美国归侨冯向军博士，2017年8月10日写于美丽家乡

 如下所示的物理系统的玻尔兹曼能量分布的推导过程表明：负指数分布形成的一种可能的真实物理过程恰恰是系统能量的算术统计平均值变化的过程，不过系统能量的算术统计平均值变化得按玻尔兹曼公式引起熵增而已。当年还在神坛上的最大信息熵原理预言：要得到能量的负指数分布，就必须保持能量的算术统计平均值不变。现在看来这是纯粹的胡说巴道。

假设封闭系统其环境温度T恒定，所包含的宏观粒子数为N，并且达到了热平衡态。该系统仅包含2个能级E1和E2。E2 > E1。处于能级E1的粒子数为n1而处于能级E2的粒子数为n2。n1 + n2 = N。这时系统微观状态总数W满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-1)

熵S = klog(W)，这其中k为玻尔兹曼常数。（1-2）

有：

S = k(log(N!) - log(n1!) - log(n2!))    (1-3)

这时系统能量的算术统计平均值为：Eavg1 =（n1/N）E1 + （n2/N）E2。    

在温度T不变的前提下，考察系统以可逆过程吸收能量

deltaE = E2 - E1    (1-4)

因为此原因，系统的熵从S变到S*，低能态粒子少了1个而高能态粒子多了一个。有：

S* = k(log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!)) (1-5)

这时系统能量的算术统计平均值为：

Eavg2 =（(n1-1)/N）E1 + （(n2+1)/N）E2 = Eavg1 + (E2 -E1)/N

系统能量的算术统计平均值Eavg2 >  系统能量的算术统计平均值Eavg1。

正是因为系统能量的算术统计平均值的增加才引起了系统熵增。当系统熵增与微观状态数的变化之间的关系服从玻尔兹曼公式时，系统能量就服从负指数分布。

熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = k(log(n1/(n2+1)) (1-6)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = klog(n1/n2) (1-7)

但是等温可逆过程的熵增量deltaS满足下式：

deltaS = deltaE/T    (1-8)

就有：

n1/n2 = exp(deltaE/(kT))(1-9)

n1/n2 =exp(-(E1 - E2)/(kT))    (1-10)

n1 = aexp(-E1/(kT))    (1-11)

n2 = aexp(-E2/(kT))    (1-12)

a = N/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT))    (1-13)

能量的概率分布pi = ni/N = bexp(-Ei/kT)，i = 1，2    （1-14）

这其中，

b = a/N = 1/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT)) （1-15）

不失一般性，考察n个能级的系统，可得

能量的概率分布pi = ni/N = cexp(-Ei/kT) （1-14）

这其中i = 1，2，...n，而

c = 1/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT)+...+ exp(-En/(kT))）  

须强调的是，我们完全不需要最大信息熵原理外加能量的统计平均值不变的假设也推导出了著名的玻尔兹曼分布这一负指数分布。这是一件值得深思的事。

所谓玻尔兹曼公式的实质是指出：微观粒子状态数的相对变化与系统能量变化成正比，比例系数是1/（kT）。

dW/W = dE/(kT)    (1-14)

只要 （1-14）成立，系统能量的分布就服从负指数分布，与最大信息熵原理外加能量的统计平均值不变的假设毫无关系。后者违反因果律。纯粹是凑数据的虚妄相想，与现实毫无关系。

参考文献

【1】http://www.docin.com/p-1828672305.html

【2】http://www.docin.com/p-500625710.html