观念大革命：非自然约束条件不能决定分布形态只能确定

分布常数

美国归侨冯向军博士，2017年7月29日写于美丽家乡

【摘要】自1957年以来，詹尼斯所提出的最大信息熵原理霸占国际热力学和统计力学科学舞台业已整整60年了【1】。尽管与我有奇缘的巴西人Tsallis【2】于1988年所提出的Tsallis广义熵把詹尼斯最大信息熵原理作为特征常数q->1时最大Tsallis广义熵原理的特例【3】，但是詹尼斯最大信息熵原理的影响仍然巨大，迷惑了象我的学术知音张学文先生一样的诚实而善良的学者的科学生命整整一生，令他们如醉如痴把詹尼斯最大信息熵原理当作神圣不可侵犯的教条。现在终于明白了，作为历史遗产的詹尼斯最大信息熵原理虽然在实用方面对科学作出过重大的、不可磨灭的贡献，但存在一般而言不自洽(不相容)、所导出的分布不具备最大发生概率等重大理论缺陷。因此可以说詹尼斯最大信息熵原理在观念上误导了人们整整60年。本文的目的就是要拨乱反正、正本清源，对由詹尼斯最大信息熵原理所导致的错误观念进行观念大革命。

【学术知音张学文先生基于最大信息熵原理的诚实信念或信仰】

张学文  2017-7-22 21:52

3.对最大熵如果补另外一个，而且不允许更多，的约束，情况就有重要进展：如果补一个代数平均值为确定值，那么在最大熵+平均值确定下概率分布就只能，唯一，的确定为负指数
4.如果平均值不是指代数平均而是几何平均值，则（最大熵+几何平均值=常数）对应的分布只能是幂律。

7.这是一个很漂亮的物理模型呀，我看不出它存在自身的矛盾。

【对詹尼斯最大信息熵原理所导致的错误观念进行观念大革命】

（一）在完全相同的"代数平均值为确定值"或变量的统计平均值不变的约束条件下，按最大Tsallis广义熵所推导出来的Tsallis分布【4】【5】指出：绝大多数(q不等于1的)复杂系统的分布不是负指数分布而是无穷多种不同q值的非标准幂律分布。请注意：这无穷多种不同q值的非标准幂律分布可以对应同一个变量的统计平均值常量。

（二）既然在完全相同的"代数平均值为确定值"或变量的统计平均值不变的约束条件下，系统的分布既可以是负指数分布又可以是无穷多种不同q值的非标准幂律分布，那么非自然约束条件变量的统计平均值不变就不能确定分布。一般而言我们有：非自然约束条件一般而言不能确定分布！

(三）定理：任意给定的分布的形态均可视为是由自洽约束条件下的最大发生概率来决定的，自然约束条件和一切非自然约束条件在决定分布的形态中不起任何作用而只对确定已被决定的分布的待定常数起作用。

证明：

假设符合实际的概率分布pi=f(xi)，就有：

pi = f(xi)，i=1，2，...,n。    (1-1)

这其中，xi是概率pi所对应的变量值。

于是自然而然有自洽约束条件：

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) = 常数 = n *（pi/f（xi)) = n    (1-2)

或

pi/f(xi) = 1，i = 1，2，...n。    （1-3）

又假设任意非自然约束条件为：

p1fp(x1) + p2fp(x2) +...+pnfp(xn) = 常量C    (1-4)

这其中fp是某种与具体物理相关的函数。

我们还有自然约束条件：

p1 + p2 +...+ pn = 1    (1-5)

以目标函数发生概率P的对数log(P)以及上述自然约束条件，非自然约束条件和自洽约束条件可构造拉格朗日算子

L = log(p1) + log(p2) +...+ log(pn)

+ C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) - n)

+ C3(p1fp(x1) + p2fp(x2) + pnfp(xn) - C)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi =  1 /pi + C1 + C2/f(xi) + C3fp(xi)= 0，

i = 1，2，...，n。

命：C1 = 0, C2 = -1，C3 = 0，就有：

pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。  

因为C1 = C3 = 0，所以实际上自然约束条件和一切非自然约束条件在决定分布的形态中不起任何作用。但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述分布pi = f(xi)也必定是令拉格朗日算子L或自洽约束条件下的目标函数发生概率的对数取得最大值或极大值的概率分布。这也就是说：上述分布pi = f(xi)也必定是令自洽约束条件下的发生概率取得最大值或极大值的概率分布。这种分布pi = f(xi)符合最大发生概率原理。

 于是无须任何其他的广义熵极值原理，也无须自然约束条件和一切非自然约束条件，唯独只靠最大发生概率原理：自洽约束条件下的发生概率最大，我们就能推导出了满足自洽约束条件并且具备最大发生概率的分布 pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。 因此自然约束条件和一切非自然约束条件在决定分布的形态中不起任何作用而只对确定已被决定的分布的待定常数起作用。

（四）包括负指数分布、幂律分布在内的一切分布p(xi)均可视为给定事件在变量间隔xi后才出现的一种二项概率分布【6】，i = 1，2，...，n。从这种观点及其推理过程来看，一切分布p(xi)的形态完全只与xi相关，与诸如变量的统计平均值之类的非自然约束条件毫无关系。这一事实从另一角度支持本文的结论。最大发生概率原理及与之相对应的自洽约束条件与把一切分布p(xi)均视为给定事件在变量间隔xi后才出现的一种二项概率分布的观点遥相呼应。

参考文献

【1】Jaynes, E. T. (1957). "Information Theory and Statistical Mechanics"， Physical Review，Vol. 106，No. 4，620-630，May 15，1957. http://www.doc88.com/p-9942714807822.html

【2】冯向军，中国人真正的科学创新的勇气和自信，科学网，2017年7月28日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1068394.html

【3】Tsallis, C. (1988). "Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics". Journal of Statistical Physics，Vol. 52，Issue 1-2, 479–487，July，1988.https://link.springer.com/article/10.1007/BF01016429

【4】Wikipedia，Tsallis distribution. https://en.wikipedia.org/wiki/Tsallis_distribution

【5】Wikipedia，q-exponential distribution.https://en.wikipedia.org/wiki/Q-exponential_distribution

【6】冯向军，由二项分布所推导出的负指数分布来看离散概率的一种物理意义，科学网，2016年7月20日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1067357.html